1. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\) ค่าของ \(f\left(f'(f''(2553))\right)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอ แล้วก็หาอนุพันธ์หรือว่าดิฟก็จะได้คำตอบคับ แต่ก็หา \(f(x)\) อาจจะต้องใช้แรงเยอะหน่อย
จาก \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\quad\cdots (1)\)
กำหนดให้ \(A=2x+1\) จะได้ \(2x=A-1\)
เราจะเห็นว่า \(4x^{2}=(2x)^{2}=(A-1)^{2}=A^{2}-2A+1\)
\(14x=7(2x)=7(A-1)=7A-7\)
เราเอาค่าที่เราได้ตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เลย จะได้
\begin{array}{lcl}f(2x+1)&=&4x^{2}+14x\\f(2x+1)&=&(2x)^{2}+7(2x)\\f(A-1+1)&=&(A-1)^{2}+7(A-1)\\f(A)&=&A^{2}-2A+1+7A-7\\f(A)&=&A^{2}+5A-6\end{array}
ตอนนี้เราได้
\(f(A)=A^{2}+5A-6\) ดังนั้น
\(f(x)=x^{2}+5x-6\) ซึ่งจะได้ \(f(9)=9^{2}+5(9)-6=81+45=120\)
\(f'(x)=2x+5\) ซึ่ง \(f'(2)=2(2)+5=9\)
\(f''(x)=2\) ซึ่งจะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองของ \(f\) มีค่าเท่ากับ 2 เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นอะไรก็ตาม ดังนั้น \(f''(2553)=2\) ซึ่งเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(f'(f''(2553)))&=&f(f'(2))\\&=&f(9)\\&=&120\end{array}
2.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(g:R\to R\) เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย \(g(x)=\frac{1}{2x+3}\) เมื่อ \(x\neq -\frac{3}{2}\) ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันที่ \((f\circ g)(x)=x\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) แล้ว \(f''(\frac{1}{2})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(-8\)
- \(8\)
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากโจทย์ให้หา \(f''(\frac{1}{2})\) ดังนั้นเราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน
เริ่มจาก
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x\\f(g(x))&=&x\\f(\frac{1}{2x+3})&=&x\quad \cdots (1)\end{array}
ทิ้งสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน มาดูตรงนี้ก่อน
ให้ \(A=\frac{1}{2x+3}\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{2x+3}\\so\\2x+3&=&\frac{1}{A}\\and\\2x&=&\frac{1}{A}-3\\x&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\end{array}
ตอนนี้เราได้ว่า
\(A=\frac{1}{2x+3}\)
\(x=\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\) เอาตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(\frac{1}{2x+3})&=&x\\f(\frac{1}{\frac{1}{A}})&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\f(A)&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\so\\f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{3}{2}\\f(x)&=&\frac{x^{-1}}{2}-\frac{3}{2}\\so\\f'(x)&=&-\frac{1}{2}x^{-2}\\so\\f''(x)&=&x^{-3}\\f''(x)&=&\frac{1}{x^{3}}\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(f''(x)=\frac{1}{x^{3}}\) จึงได้คำตอบว่า
\(f''(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\)
3. ถ้า \(f,g\) และ \(h\) สอดคล้องกับ \(f(1)=g(1)=h(1)=1\) และ \(f'(1)=g'(1)=h'(1)=2\) แล้วค่าของ \((fg+h)'(1)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 1
- 2
- 4
- 6
วิธีทำ ข้อนี้ เข้าให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \((fg+h)\) ที่ \(x=1\) ดังนั้นให้เราเริ่มต้นที่
\((fg+h)(x)\) ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของฟังก์ชันนิดหนึ่ง เช่น
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
\(fg(x)=f(x)g(x)\)
เริ่มทำกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}(fg+h)(x)&=&fg(x)+h(x)\\&=&f(x)g(x)+h(x)\\so\\(fg+h)'(x)&=&f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+h'(x)\\then\\(fg+h)'(1)&=&f(1)g'(1)+g(1)f'(1)+h'(1)\\&=&(1)(2)+(1)(2)+2\\&=&6\quad \underline{Ans}\end{array}
4. กำหนดให้ \(f(x)=1+\frac{a}{x}\) และ \(g(x)=x^{2}+b\) ถ้า \((f\circ g)(x)=\frac{1}{2}\) และ \(f''(-1)=2\) แล้ว \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(-\frac{1}{3}\)
- \(-\frac{1}{4}\)
- \(\frac{1}{4}\)
- \(\frac{1}{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควร วิธีการดูว่าข้อไหนยากให้ดูตรงที่โจทย์ให้มา จะเห็นว่าโจทย์ให้ \(f(x),g(x),(f\circ g),f''(-1)\) ให้มาเยอะมาก แสดงว่าเราต้องนำพวกนี้ไปใช้เพื่อหาคำตอบ ซึ่งมันต้องใช้ให้ครบถึงจะหาคำตอบได้ มันก็เลยยากและยุ่งด้วย ค่อยๆอ่านดีแล้วกันคับ
เนื่องจากโจทย์ให้หา \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) ดังนั้นเราจะเริ่มต้นจากการหา \((\frac{f}{g})(x)\)ก่อนคับ
\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)}\\so\\(\frac{f}{g})'(x)&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[gx)]^{2}}\\then \\(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\end{array}
งานของเราต่อไปคือต้องหา \(a+b\) ให้ได้คับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(0)&=&\frac{1}{2}\\f(g(0))&=&\frac{1}{2}\quad\cdots (1)\\because\\ g(x)&=&x^{2}+b\\ so\\g(0)&=&0^{2}+b\\g(0)&=&b\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(g(0)=b\) เอาไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(g(0))&=&\frac{1}{2}\\f(b)&=&\frac{1}{2}\\because\\f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\so\\f(b)&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&=&-\frac{1}{2}\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะหาอีกสมการเพราะการหา \(a\) กับ \(b\) ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการเพื่อแก้ระบบสมการหาค่าของ \(a\) กับ \(b\)
\begin{array}{lcl}f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\f'(x)&=&-ax^{-2}\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\because\\f''(-1)&=&2\\and\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\then\\f''(-1)&=&2a(-1)^{-3}\\2&=&-2a\\so\\a&=&-1\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(a=-1\) ลองเอาค่า \(a\) นี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ \(b=2\)
นั่นก็คือ \(a+b=-1+2=1\)
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(a\) กับ ค่าของ \(b\) แล้ว และได้ค่า \(a+b\) แล้ว ต่อไปหาค่าพวกนี้รอไว้ก่อนเพราะได้ใช้แน่นอนคือ
\(g(x)=x^{2}+b\to g(1)=1^{2}+2=3\)
\(g'(x)=2x\to g'(1)=2(1)=2\)
\(f(x)=1+\frac{a}{x}\to f(1)=1+ (-\frac{1}{1})=0\)
\(f'(x)=-ax^{-2}\to f'(1)=-(-1)(-1)^{-2}=1\)
ต่อไปนำค่าต่างๆที่เราได้ไปแทนใน
\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\\(\frac{f}{g})'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^{2}}\\&=&\frac{(3)(1)-(0)(2)}{3^{2}}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}
5. ฟังก์ชัน \(f,g,h\) มีสมบัติว่า \((f\circ g)(x)=3x-14\) ,\(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) , \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จงหาค่าของ \(h'(0)\)
วิธีทำ ข้อนี้ ไม่ยากครับ ถ้าหัดทำข้อสอบบ่อยๆ ข้อพวกนี้ถือว่าสบายมากเลย เริ่มทำกันเลย
จาก \(f(\frac{x+6}{3})=x-2\)
กำหนดให้ \(A=\frac{x+6}{3}\) จะได้ \(x=3A-6\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(\frac{x+6}{3})&=&x-2\\f(A)&=&3A-6-2\\f(A)&=&3A-8\\so\\f(x)&=&3x-8\end{array}
ตอนนี้เราได้ว่า
\(f(x)=3x-8\) ดังนั้น
\(f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\) เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน
ต่อไป จาก \((f\circ g)(x)=3x-14\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&3x-14\\f(g(x))&=&3x-14\quad\cdots (2)\end{array}
ให้เราสังเกตสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) คือ
\[f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\]
\[f(g(x))=3x-14\quad\cdots (2)\]
จะเห็นได้ว่าสมการที่ \(1)\) เท่ากับ \((2)\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3g(x)-8&=&3x-14\\3g(x)&=&3x-14+8\\g(x)&=&\frac{3x-6}{3}\\g(x)&=&x-2\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(g(x)\) แล้วนะ ซึ่งจะนำไปหาคำตอบได้คือ
จาก \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จะได้
\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6g(x)+12\\h(2x-1)&=&6(x-2)+12\\h(2x-1)&=&6x\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(h(2x-1)=6x\) เราต้องหา \(h(x)\) ให้ได้ เริ่มหาเลย
จาก \(h(2x-1)=6x\)
กำหนดให้ \(B=2x-1\) ได้ว่า \(x=\frac{B+1}{2}\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6x\\h(B)&=&6(\frac{B+1}{2})\\h(B)&=&3B+3\\so\\h(x)&=&3x+3\\then\\h'(x)&=&3\end{array}
เราจะเห็นว่า \(h'(x)=3\) เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นเลขอะไรก็ตาม ดังนั้น \(h'(0)=3\quad\underline{Ans}\)
6. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+ax+b\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ \(L_{1}\) และ \(L_{2}\) เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ \(x=a\) และ \(x=b\) ตามลำดับ ถ้า \(L_{1}\) ขนานกับ \(L_{2}\) และ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ หาความชันของ \(f\) ที่จุด\((x,y)\) ใดๆก่อนซึ่งความชันคือ
\[f'(x)=3x^{2}+a\]
ความชันของ \(f\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆคือ \(f'(x)=3x^{2}+a\)
จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=a\) ดังนั้น
ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3a^{2}+a\)
จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=b\) ดังนั้น
ความชันของเส้นตรง \(L_{2}\) คือ \(3b^{2}+a\)
เนื่องจาก \(L_{1}\) กับ \(L_{2}\) ขนานกัน ดังนั้นความชันเท่ากัน จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3a^{2}+a&=&3b^{2}+a\\so\\a^{2}&=&b^{2}\quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) เอาไว้ก่อน ต่อไปมาทางฟังก์ลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มาบ้างคือ
\[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\]
ต่อก่อนจะหาลิมิต เราหาพวก \(f(1+h)\) กับ \(f(1)\) เก็บไว้ก่อนคับ จาก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\so\\f(1+h)&=&(1+h)^{3}+a(1+h)+b\\f(1+h)&=&h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b\\and\\f(1)&=&1^{3}+a(1)+b\end{array}
ต่อไปหาลิมิตเลยคับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{[(1+h)^{3}+a(1+h)+b]-[1^{3}+a(1)+b]}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b-1-a-b}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h(h^{2}+3h+3+a)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9}{h^{2}+3h+3+a}&=&1\\\frac{9}{0^{2}+3(0)+3+a}&=&1\\\frac{9}{3+a}&=&1\\a&=&6\quad\cdots (2)\end{array}
ตอนนี้เราได้สมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) คือ
\[a^{2}=b^{2}\quad\cdots (1)\]
\[a=6\quad\cdots (2)\]
แทน \(a\) ด้วย \(6\) ลงในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}6^{2}&=&b^{2}\\36&=&b^{2}\\so\\b&=&\pm 6\end{array}
แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(a\) กับ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เราจึงได้ว่า \(b\) ต้องเท่ากับ \(-6\)
นั่นก็คือ จะได้ \(f(x)\) แล้วคับก็คือ
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\f(x)&=&x^{3}+6x-6\end{array}
จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}+6x-6)dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}-6x\Big|_{0}^{2}\\&=&4+12-12\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์