• ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (61)

    61. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

    \(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\) และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

    แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 6
    2. 7
    3. 10
    4. 17

    วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

    \begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

    จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

    \(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

    \begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

    ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

    โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

    ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

    จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}

     

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (62)

    62. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

    ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

     

  • ฟังก์ชัน ม.4

    ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ

    จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์  สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2  แบบ  

    แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้  \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)

    แบบที่ 2  ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)

    ดูรูปประกอบ

                                        แบบที่ 1

                                         แบบที่ 2

    จากรูปความสัมพันธ์  แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า  ฟังก์ชัน จำไว้เลย

    แต่

    ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

    นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ

    ตัวอย่าง 1  ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

    1) \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\)

    เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน

    2) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}\)

    เป็นฟังก์ชัน

    3) \(\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}\)

    เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ

    4) \(\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}\)

    ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1

    5) \(\{(2,3),(2,4),(2,5)\}\)

    ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ

    6) \(\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} \)

    โดยที่ \(\quad\) \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)

    ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y   ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)

    (0,0)  เพราะ \(0^{2}=0\)  

    (1,1)  เพราะ \(1^{2}=1\)

    ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

    \(\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}\)

    นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

    7) \(\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}\)

    โดยที่ \(\quad\) \(A=\{1,2,3,4,5\}\)

    ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี \(\quad\) \( (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)

    ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

    \(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\)

    นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

    8) \(\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}\)

    ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1)  เพราะ \((-1)^{2}=1\)

    (1,1)  เพราะ  \(1^{2}=1\)

    (0,0)  เพราะ \(0^{2}=0\)

    ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

    \(\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}\) \(\quad\) จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน

    นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน

     

  • ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

    ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันเพิ่ม กับฟังก์ชันลดนะครับ ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะใช้การประยุกต์เกี่ยวกับอนุพันธ์เพื่อหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ลดในช่วงใดบ้าง แต่ก่อนที่จะไปดูเนื้อหาตรงนี้ เรามาดูทบทวนนิยามของฟังก์เพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อน ซึ่งเรียนมาตั้งแต่ ม.4 แล้วนะครับ

    นิยาม

    \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\)  ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\)

    \(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})>f(x_{2})\)

    หรือถ้าพูดเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ ถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มและค่า y ก็เพิ่มตามด้วยหรือ ค่า x ลด ค่า y ก็ลดตามด้วย ฟังก์นั้นจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

    แต่ถ้า ฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มแต่ค่า y กลับลดลง หรือ ค่า x ลด แต่ค่า y กลับเพิ่มขึ้นคือแปรผกผันกัน ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลด  

    ต่อไปเราจะประยุกต์เรื่องของอนุพันธ์ในการหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดครับ ดูต่อด้านล่างเลย

    ทฤษฎีบท  ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \(A\subset D_{f}\)

     1. ถ้า \(f^{\prime}(x)<0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง \(A\)

     2. ถ้า \(f^{\prime}(x)>0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง \(A\)

    อ่าน ทฤษฎีบทแล้ว ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดเพื่อดูว่าฟังก์ชันไหนเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

    แบบฝึกหัด

    1. จงหาช่วงซึ่งฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

    1) \(f(x)=3-2x-x^{2}\)

    วิธีทำ  จาก

    \(f(x)=3-2x-x^{2}\)

    \(f^{\prime}(x)=-2-2x=-2(1+x)\)

    ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้  \(-2(1+x)>0\)

    \begin{array}{lcl}-2(1+x)&>&0\\1+x&<&0\\x&<&-1\end{array}

    จะเห็นว่า  \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)>0\)  เมื่อ \(x<-1\)

    ตามทฤษฎีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((-\infty,-1)\)

    ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้  \(-2(1+x)<0\)

    \begin{array}{lcl}-2(1+x)&<&0\\1+x&>&0\\x&>&-1\end{array}

    จะเห็นว่า  \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)<0\)   เมื่อ \(x>-1\)

    ตามทฤษฏีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \((-1,\infty)\)

    ดูภาพประกอบ ผมจะวาดกราฟให้ดูโดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับ ดูภาพประกอบจะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น และที่สำคัญอย่าลืม นิยาม ของฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม

    2) \(f(x)=2x^{2}-x-3\)

    วิธีทำ จาก

    \(f(x)=2x^{2}-x-3\)

    \(f^{\prime}(x)=4x-1\)

    ซึ่งจะเห็นได้ว่า

    \begin{array}4x-1&>&0\\x&>&\frac{1}{4}\end{array}

    จะเห็นได้ว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1>0\) เมื่อ \(x>\frac{1}{4}\)

    นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((\frac{1}{4},\infty)\)

    และอีกอัน

    \begin{array}{lcl}4x-1&<&0\\x&<&\frac{1}{4}\end{array}

    จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1<0\) เมื่อ \(x<\frac{1}{4}\)

    นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟัง์ชันลดบนช่วง \((-\infty,\frac{1}{4})\)

    ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

    3)\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)

    วิธีทำ จาก

    \(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)

    \(f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)=6(x+3)(x-2)\)

    จะเห็นได้ว่า

    \begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&>&0\end{array}

    เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\)  สำหรับการแก้สมการนี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้นะครับ ช่วงและการแก้อสมการ

    ซึ่งจากการแก้อสมการ

    \(f^{\prime}(x)>0\) เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\)  ดังนั้น

    \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) 

    อีกอันหนึ่ง

    \begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&<0&\end{array}

    เมื่อ \(x\in (-3,2)\)  นั่นก็คือ

    \(f^{\prime}(x)<0\) เมื่อ \(x\in (-3,2)\) ดังนั้น

    \(f\) เป็นฟ้งก์ชันลดในช่วง \(x\in (-3,2)\)

  • โจทย์ฟังก์ชัน

    ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย

    ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\)  จงหา 

    1.1   \(f(0)\)   แทน 0  ลงไปใน x เลยครับก็จะได้

    \(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)

    1.2  \(f(2)\)  แทน 2 ลงไปใน  x  เลยครับจะได้

    \(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)

    ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\)    จงหา

    1.1  \(f(x+h)\)     ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน  x+h   ลงใน x  พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x  เปลี่ยนเป็น x+h  ครับ

    \(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)

    \(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)

    1.2  \(f(x+h)-f(x)\)    อย่าลืมนะ  \(f(x+h)\)    เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ

    \(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)   และ 

    \(f(x)=x^{2}-3x+5\)  

    ดังนั้น  

    \(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\)      กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ

    \(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\) 

    \(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)

    \(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)

    ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ

    1.  ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\)   จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\)  และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  เมื่อ \(h\neq 0\)

    วิธีทำ

    จาก

    \(f(x)=x^{2}+3x-5\)

    จะได้

    \(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)

    \(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)

    \(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)

    \(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)

    \(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)

    ทำอันสุดท้ายต่อครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}

    2. ถ้า

    \(f(x)=\left\{\begin{matrix}
    & 1 & when \quad x<1\\
    & x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
    & 2 & when \quad  x>3
    \end{matrix}\right.\)

    จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0

    วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยาก แต่ง่ายที่มองว่ายากเพราะว่าอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ เรามาลองทำไปพร้อมก้นช้าๆครับ

    หา \(f(-2)\)  แสดงว่า x เรามีค่าเท่ากับ -2   เนื่องจาก -2<1  กลับไปดูที่โจทย์ครับโจทย์บอกว่า

    \(f(x)=1\)  เมื่อ  x<1  หมายความว่าถ้า x มีค่าน้อยกว่า 1 ค่าของ f(x) จะเท่ากับ 1 

    เนื่องจาก -2<1  ดังนั้น

    \(f(-2)=1\)

    หา \(f(0)\)

    เนื่องจาก 0<1  ดังนั้น

    \(f(0)=1\) ด้วย

    หา \(f(1)\)

    เราจะเห็นโจทย์เขาบอกว่า  f(x)=x หรือว่าเท่ากับตัวมันเองเมื่อ \(1\leq x \leq 3\) ดังนั้นข้อนี้ x=1 ตรงตามเงื่อนไขนี้พอดี ดังนั้น

    \(f(1)=1\)

    หา  \(f(\frac{1}{2})\)

    เราจะเห็นว่าโจทย์เขาบอกว่า \(f(x)=1\)  เมื่อ x<1  ความหมายคือถ้า x มันน้อยกว่าหนึ่ง f(x) มันจะเท่ากับหนึ่งเสมอ ดังนั้น x เราเท่ากับหนึ่งส่วนสองดังนั้นข้อนี้

    \(f\frac{1}{2}=1\)

    หา \(f(\sqrt{3})\)

    เนื่องจาก \(\sqrt{3}\) มีค่าประมาณ 1.732 ดังนั้นต้องใช้ อันนี้ครับ

    \(f(x)=x\)  นั่นคือ

    \(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\)

    หา  \(f(9)\)

    ดูที่โจทย์บอกมาครับโจทย์บอกว่า \(f(x)=2\)  เมื่อ x มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งเอ็กซ์คือเราคือเก้ามากกว่าสามอยู่แล้วดังนั้น

    \(f(9)=2\)

    หา \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\)  เมื่อ h>0

    เราจะเห็นว่า h มันมากกว่าศูนย์ อาจะเป็น หนึ่ง สอง สาม เมื่อนำ h+3  มันต้องมากกว่า 3 จริงไหมครับ เมื่อ มันมากกว่าสาม เราต้องใช้อันนี้ครับ

    \(f(x)=2\)  เมื่อ x>3  ดังนั้นเราจึงได้ว่า

    \(f(3+h)=2\) นั่นเอง

    ส่วน f(3) ใช้อันนี้ครับ \(f(x)=x\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า

    \(f(3)=3\)

    สรุปก็คือ

    \begin{array}{lcl}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}&=&\frac{2-3}{h}\\&=&-\frac{1}{h}\end{array}

    3. กำหนด \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\)  ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นสับเซตของ  \(U\times U\) จงเขียนกราฟพร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

    1)  \(f(x)=2x-3\)

    2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)

    วิธีทำ ลองหาค่าของ \(U\times U\)  ก่อนครับใครทำไม่เป็นก็ไปดูนี่ครับ ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) ก็จะได้

    \(\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),\\(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\\(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),\\(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),\\(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)\}\)

    นี่คือ \(U\times U\)  มีสมาชิกทั้งหมด 36 ตัวครับ  ต่อไปมาดูฟังก์ชันแรกก่อนครับ

    1)  ก็คือ \(f(x)=2x-3\)  หรือก็คือ \(y=2x-3\)  นั่นเองครับซึ่งก็คือ

    ถ้า \(x=0\)  จะได้ว่า \(y=-3\)  ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((0,-3)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

    ถ้า \(x=1\) จะได้ว่า  \(y=-1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((1,-1)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

    ถ้า \(x=2\) จะได้ว่า \(y=1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((2,1)\)  อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)

    ถ้า \(x=3\) จะได้ว่า \(y=3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((3,3)\)  อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)

    ถ้า \(x=4\) จะได้ว่า \(y=5\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((4,5)\)   อันนี้อยู่ใน  \(U\times U\)

    ถ้า \(x=5\) จะได้ว่า \(y=7\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((5,7)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

    ดังนั้นฟังก์ชัน

    \(f(x)=2x-3\)  เขียนใหม่ได้คือ

    \(f(x)=\{(2,1),(3,3),(4,5)\}\)

    โดเมนของฟังก์ชันนี้คือ \(\{2,3,4\}\)

    เรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ \(\{1,3,5\}\)

    กราฟของฟังก์ชันคือ

    ฟังก์ชัน 

    มาดูข้อที่สองกันครับจากฟังก์ชัน ข้อที่ 2 คือ

    2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)

    ดูที่เงื่อนไขฟังก์ชันนะ ก็คือทั้งเอ็กซ์และวายยกกำลังสองบวกกันแล้วต้องได้ 25  เราก็ไปดูที่ \(U\times U\) ว่ามีตัวไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ 25 บ้าง เช่น

    \((3,4)\)  จะเห็นว่า \(3^{2}=9\)  และ \(4^{2}=16\)  เห็นว่า \(9+16=25\)  ตามเงื่อนไขในฟังก์ชันเลย

    \((0,1)\) จะเห็นว่า \(0^{2}=0\)  และ \(1^{2}=1\)  เห็นว่า \(0+1=1\)  ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขฟังก์ชันที่กำหนดให้

    ถ้าลองๆไปดูที่ \(U\times U\) ด้านบนก็จะเห็นว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ

    \((3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\)

    ดังฟังก์ชัน  \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\) เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้คือ

    \(f=\{(3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\}\)

    จะได้

    โดเมนคือ \(\{3,4,0,5\}\)

    เรนจ์คือ \(\{4,3,0,5\}\)

    กราฟหน้าตาก็เป็นแบบนี้ครับ

    ฟังก์ชัน

    4. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

    ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

    5. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

    \(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)

    และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)

    ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

    แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 6
    2. 7
    3. 10
    4. 17

    วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

    \begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

    จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

    \(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

    \begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

    ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

    โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

    ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

    จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}