จำนวนเชิงซ้อน(complex number)

ตอนเราอยู่ ม.4 เราได้เรียนจำนวนจริง(real number) ซึ่งจำนวนจริงประกอบด้วย

จำนวนตรรกยะ(rational number)และจำนวนอตรรกยะ(irrational number) แต่มีปัญหาอยู่ถ้าเราลองแก้สมการ

\(x^{2}+1=0\)

\(x^{2}=-1\)   

ซึ่งจากตรงนี้จะเห็นได้ว่าไม่สามารถหาจำนวนจริงมาแทนค่าใน x  แล้วทำให้สมการเป็นจริงได้เลย เพราะไม่มีแน่นอนจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็น -1  ดังนั้นจึงมีการสมมติค่าค่าหนึ่งมาใช้คือค่า i  โดยนักคณิตศาสตร์กำหนดว่า ให้  \(i^{2}=-1\)  และเจ้าค่า i นี้มีชื่อเรียกอย่างเป็นทางการว่า หน่วยจินตภาพ(imaginary unit) ซึ่งพูดง่ายๆคือไอ้เจ้าค่า i นี้เป็นจำนวนซึ่งไม่มีอยู่จริงหรอกสมมติมันขึ้นมาเฉยๆ เป็นจำนวนในจินตนาการไม่มีอยู่จริงดังนั้นไอ้เจ้าค่า i นี้จึงถูกเรียกว่าว่า จำนวนจินตภาพ(imaginary number) ก็ได้  ซึ่งโดยนิยามของจำนวนจินตภาพคือ

จำนวนจินตภาพ(imaginary number)คือ จำนวนเชิงซ้อน(complex number)ที่ค่ากำลังสองเป็นจำนวนจริงลบ ดังนั้น

\(2i\)   เป็นจำนวนจินตภาพ เพราะ   \(2i\cdot 2i = 4i^{2}=4(-1)=-4\)

\(-3i\)  เป็นจำนวนจินตภาพ เพราะ   \(-3i\cdot -3i=9i^{2}=-9\)

สรุปก็คือจำนวนจริงที่คูณอยู่กับ i เป็นจำนวนจินตภาพหมด เช่น 2i,-5i,8i เป็นต้น

ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นเรื่องที่เกี่ยวกับจำนวนจินตภาพยังไม่ได้กล่างถึงจำนวนเชิงซ้อนเลยต่อไปจะกล่าวถึงจำนวนเชิงซ้อนบ้าง

จำนวนเชิงซ้อนคือ จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพมารวมกันเช่น

\(5+3i,7-6i,-3+9i,8-9i,-4-2i,7i,-23i \)   เป็นต้น

อย่าลืมน่ะจ๊ะ 5 ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะ 5=5+0i

-10 ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนน่ะเพราะ -10=-10+0i 

\(\frac{2}{3}\)ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะ\(\frac{2}{3}=\frac{2}{3}+0i\)

สรุปง่ายๆก็คือจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงจึงเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อนน่ะจ๊ะ

เกือบลืมบอกไป

บางทีจำนวนเชิงซ้อนจะเขียนให้อยู่ในรูปคู่อันดับก็ได้น่ะเช่น

5+2i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (5,2)

-5-2i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (-5,-2)

9i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ  (0,9)

24 ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (24,0)

มาดูส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อนบ้าง จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วย 2  ส่วนด้วยกัน  ยกตัวอย่างเช่น

2+5i,4-8i,-12+9i  ซึ่งถ้าเราสังเกตคือมีส่วนที่ไม่ติดค่า i  และก็ส่วนที่ติดค่า i  ซึ่งแต่ละส่วนก็มีชื่อเรียกกัน

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 5+3i

เรียก 5  ว่าส่วนจริงหรือภาษาอังกฤษคือ real part

เรียก 3 ว่าส่วนจินตภาพภาษาอังกฤษคือ imaginary part

ตัวอย่างที่ 2 ให้ z=-6-12i

จะเห็นว่า -6 คือส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z  ซึ่งสามารถเขียนแทนได้เป็น Re(z)=-6

จะเห็นว่า -12 คือส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z  ซึ่งสามารถเขียนแทนได้เป็น Im(z)=-12

ตัวอย่างที่ 3  กำหนดให้ \(z_{1}=5+12i,z_{2}=-56-i\)

\(Re(z_{1})=5,Im(z_{1})=12\)

\(Re(z_{2})=-56,Im(z_{2})=-1\)

ติดต่อ 0988281419 หรือ wisanu.kkung@gmail.com