66. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\) เมื่อ \(A,\quad B\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(f(1)=4\) และ \(f^{\prime}(0)=1\) แล้ว \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เมื่อ \(x\) มีค่าเท่าใดต่อไปนี้

1. \(\frac{1}{3}\)
2. \(1\)
3. \(\frac{4}{3}\)
4. \(2\)

วิธีทำ  หลักการในการหาจุด   มีดังนี้นะคับ

1. นำฟังก์ชันมาดิฟก่อน

2. นำที่ดิฟได้จากข้อที่ 1 มาเท่ากับ \(0\) แล้วแก้สมการหาค่าวิกฤต

3. หาอนุพันธ์อันดับสองเก็บไว้

4. นำค่าวิกฤตที่หาได้จากข้อที่ 2 ไปแทนในข้อที่ 3 แล้วบวก ลบ คูณ หาร หลังจากบวก ลบ คูณ หารแล้ว

    ถ้าค่าที่ได้น้อยกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

    ถ้าค่าที่ได้มากกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

อ่านเพิ่มเติมตามลิงก์นี้คับ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

เริ่มทำกันเลย แต่เดี๋ยวก่อนนะคับ เราต้องหาค่าของ \(A\) กับ \(B\) ให้ได้ก่อนนะคับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+2Ax+B\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+B\\1&=&B\\B&=&1\end{array}

ตอนนี้ได้ว่า \(B=1\) ต่อไปหาค่า \(A\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+x+4\\f(1)=4\\so\\f(1)&=&1^{3}+A(1)^{2}+1+4\\4&=&A+6\\A&=&-2\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า \(A=-2\) และ \(B=1\) ดังนั้น

\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+4\) เริ่มทำตามขั้นตอนด้านบนที่ผมอธิบายได้เลยคับ

ขั้นตอนที่ 1

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\end{array}

ขั้นตอนที่ 2

\begin{array}{lcl}3x^{2}-4x+1&=&0\\(3x-1)(x-1)&=&0\\x=1,\frac{1}{3}\end{array}

ดังนั้นได้ค่าวิกฤต คือ \(x=1,\quad x=\frac{1}{3}\)

ขั้นตอนที่ 3

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\\f^{\prime\prime}(x)&=&6x-4\end{array}

ขั้นตอนที่ 4

\(f^{\prime\prime}(x)=6x-4\)

\(f^{\prime\prime}(1)=6(1)-4=2>0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=1)\) เป็นค่าที่ทำให้\(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ 

\(f^{\prime\prime}(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{3}-4=-2<0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=\frac{1}{3})\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น \(x=1\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  ตอบ