เฉลยข้อสอบ A-level วิชาคณิตศาสตร์ เรื่องเซต

1. กำหนด \(U\) แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ \(A,B\) เป็นสับเซตของ \(U\) โดยที่ \(n(U)=100\quad ,n(A\cap B)=35\) และ \(n(A^{\prime}\cap B^{\prime})=9\) ถ้า \(n(A)\geq 61\) แล้ว \(n(B)\) ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด [A-level 1 (มี.ค.66/26)]

วิธีทำ     ข้อนี้จะแสดงวิธีทำแบบง่ายๆ โดยดูจากแผนภาพเอานะคับ อย่างน้อยข้อนี้คนที่จะอ่านเข้าใจต้องเคยเรียนเกี่ยวกับแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์มาบ้างคับ 

จากรูปนะ พื้นที่สีเขียวต้องมีสมาชิกอย่างน้อยสุดคือ 26 (\(\geq 26\)) เพราะว่าเอาไปบวกกับ \(35\) จะได้ค่า \(\geq 61\) ตามเงื่อนไขในโจทย์  ที่นี้โจทย์บอกว่าสมาชิกในเซต \(B\) ก็คือพื้นที่สีแดงมากสุดที่เป็นไปได้คือเท่าไร  เราอยากให้สมาชิกในพื้นที่แดงมันมาก แสดงว่าสมาชิกในพื้นที่สีเขียวต้องน้อยๆ ถูกไหม และสมาชิกในพื้นที่เขียวน้อยสุดที่เป็นได้คือ 26  ที่เสร็จเราละ เราเอาจำนวนสมาชิกทั้งหมดตั้ง ลบออกจำนวนสมาชิกในพื้นที่สีเขียวกับสีเหลือง ก็จะได้สมาชิกในพื้นที่สีแดงมากที่สุดที่เป็นไปได้ นั่นคือ

\begin{array}{lcl}n(B)&=&100-(26+9)\\&=&100-35\\&=&65\quad\underline{Ans}\end{array}

---

2. ให้ \(U\) เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และ \(A,B,C\) เป็นสับเซตของ \(U\)

ถ้า \(A\cap B=B\cap C=A\cap C=A\cap B\cap C\)

\(n(A)=n(B)=n(C)=10\quad , n(U)=30\) และ \(n((A\cup B\cup C)^{\prime})=6\) แล้ว \(n((A\cup B)\cap C^{\prime})\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต 1 (เม.ย.64/8)]

1. 14
2. 16
3. 17
4. 20
5. 23

วิธีทำ

ข้อนี้วาดรูปดูและเข้าใจแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ก็ทำได้แล้วครับ

จากรูปภาพด้านบน เราจะเห็นว่าพื้นที่สีแดงคือพื้นที่ที่เราต้องการรู้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว ซึ่งเราหาได้โดยเอาพื้นทั้งหมด \(A\cup B\cup B\) ลบออกด้วย พื้นที่ของ \(C\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}n((A\cup B)\cap C^{\prime})&=&n(A\cup B\cup C)-n(C)\\&=&24-10\\&=&14\end{array}