ต่อไปเรามาหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดครับซึ่งเป็นเนื้อหาที่เราจะได้เรียนตอน ม.4 ครับ ซึ่งสามารถหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดจากทฤษฏีต่อไปนี้ครับ
ทฤษฏีบท ถ้าจุด \(P(x,y)\) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด \(P_{1}(x_{1},y_{1})\) และ \(P_{2}(x_{2},y_{2})\) แล้ว
\[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\] และ
\[y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\]
ต่อไปเรามาใช้ทฤษฏีนี้เพื่อทำแบบฝึกหัดหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดดีกว่าครับ
1. จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดแต่ละคู่ต่อไปนี้
1) \((\frac{1}{2},2)\) และ \((3,-1)\)
วิธีทำ ทำตามทฤษฏีเลยนะครับไม่ยากเลยแค่แทนค่าลงบวกลบคูณหารออกมาก็ได้คำตอบแล้วครับ
\[x=\frac{\frac{1}{2}+3}{2}=\frac{7}{4}\]
\[y=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\]
ดังนั้นจุดกึ่งกลางระหว่าง \((\frac{1}{2},2)\) และ \((3,-1)\) คือ \((\frac{7}{4},\frac{1}{2})\)
2) \((-1,-2)\) และ \((-1,-1)\)
วิธีทำ หาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดกันเลยแทนค่าลงไปในสูตรเลยครับ
\[x=\frac{(-3)+(-1)}{2}=-2\]
\[y=\frac{(-2)+(-1)}{2}=\frac{-3}{2}\]
ดังนั้นจุดกึ่งกลางระหว่าง \((-1,-2)\) และ \((-1,-1)\) คือ \((-2,\frac{-3}{2})\)
2. จุด M เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง PQ จงหาพิกุดของจุด P ถ้า
1) M มีพิกัดเป็น (1,2) และ Q มีพิกัดเป็น (3,4)
วิธีทำ ผมให้ P มีพิกัดเป็น (x,y) โจทย์บอกว่าจุด M เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง PQ ดังนั้นจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}1&=&\frac{3+x}{2}\\x+3&=&2\times 1\\x&=&2-3\\x&=&-1\end{array}
อีกจุดคือ
\begin{array}{lcl}2&=&\frac{4+y}{2}\\4+y&=&2\times 2\\y&=&4-4\\y&=&0\end{array}
ดังนั้นจุด P มีพิกัดเป็น (-1,0)
3. จงแสดงว่าจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีจุดยอดที่ A(2,1),B(7,1),C(9,3) และ D(4,3) เป็นจุดเดียวกัน
วิธีทำ ดูประกอบครับข้อนี้
การทำข้อนี้จากรูป
หาจุดกึ่งกลางของ AC คือซึ่งผมให้พิกัด (m,n) เป็นจุดกึ่งกลางของ AC จะได้
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{2+9}{2}=\frac{11}{2}\\n&=&\frac{1+3}{2}=2\end{array}
ดังนั้นจุดกึ่งกลางของ AC อยู่ที่พิกัด \((\frac{11}{2},2)\)
หาจุดกึ่งกลางของ BD ซึ่งผมให้พิกัด (p,q) เป็นจุดกึ่งกลางของ BD จะได้
\begin{array}{lcl}p&=&\frac{7+4}{2}=\frac{11}{2}\\q&=&\frac{1+3}{2}=2\end{array}
ดังนั้นจุดกึ่งกลาง BD อยู่ที่พิกัด \((\frac{11}{2},2)\)
จะเห็นว่า จุดกึ่งกลางของ AC และ BD คือจุดเดียวกันคือจุด \((\frac{11}{2},2)\) นั่นคือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมนี้เป็นจุดเดียวกันครับ
4. R(-7,-5) , S(3,7) ,T(6,1) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จงหาความยาวของเส้นมัธยฐานจากจุด S ไปยังด้าน RT
วิธีทำ ก่อนทำข้อนี้เรามาดูความหมายของเส้นมัธยฐานก่อน เพราะบางคนอาจจะยังไม่รู้ความหมายของคำคำนี้ เส้นมัธยฐานจากจุด S ไปยังด้าน RT คือ เส้นที่ลากจากจุด S แล้วไปแบ่งครึ่งด้าน RT ออกเป็นสองส่วนเท่าๆกัน ดังนั้นจุดที่แบ่งครึ่งด้าน RT ก็คือจุดกึ่งกลางของจุด R(-7,-5) และจุด T(6,1) เรามาหาจุดกึ่งกลางของจุด R(-7,-5) และจุด T(6,1) กันครับแทนค่าตามสูตรที่เป็นทฤษฏีด้านบนเลยนะครับ
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-7+6}{2}=\frac{-1}{2}\\y&=&\frac{-5+1}{2}=-2\end{array}
ดังนั้นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด R และจุด T คือจุด \((\frac{-1}{2},-2)\) นั่นเองครับ
โจทย์บอกว่าจงหาความยาวของเส้นมัธยฐานจากจุด S ไปยังด้าน RT ก็คือหาความยาวของเส้นสีแดงตามรูปนั่นเองครับซึ่งการหาความยาวของเส้นนี้ก็คือหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดก็คือจุด S(3,7) กับ จุด \(A(\frac{-1}{2},-2)\) ดูตามรูปนะครับ มาเริ่มหากันเลยครับใครไม่รู้ว่าหายังไงก็อ่านตามลิงค์ที่ผมทำไว้ให้นะครับ
\begin{array}{lcl}&=&\sqrt{(3-(-\frac{1}{2}))^{2}+(7-(-2))^{2}}\\&=&\sqrt{(3+\frac{1}{2})^{2}+(7+2)^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{49}{4}+81}\\&=&\sqrt{\frac{373}{4}}\\&=&\frac{\sqrt{373}}{2}\end{array}
ตอบแล้วนะครับความยาวของเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด S ไปยังด้าน RT ยาวเท่ากับ \(\frac{\sqrt{373}}{2}\) หน่วย
สนับสนุนเว็บไซต์