วันนี้มาดูข้อนี้นะครับเกี่ยวกับการแก้อสมการลอการิทึม เป็นโจทย์ สอวน.คอมพิวเตอร์ ปี2558
11.เซตคำตอบของอสมการ \(2^{\log_{5}x}+x^{\log_{5}2}<1\) เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้
ก. (-2,0) ข. (-1,0) ค. (0,1) ง. (1,2)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สมบัติของลาการิทึมครับใครจำสมบัติไม่ได้จะยากครับ เริ่มทำกันเลยค่อยๆดูแล้วผมทำผิดตรงไหนเม้นต์บอกด้วยนะครับ
\begin{array}{lcl}2^{\log_{5}x}+x^{\log_{5}2}&<&1\\2^{\log_{5}x}+2^{\log_{5}x}\\&<&1\\2\cdot2^{\log_{5}x}&<&1\\2^{1+\log_{5}x}&<&1\\2^{1+\log_{5}x}&<&2^{0}\\ ดังนั้น\\1+\log_{5}x&<&0\\\log_{5}x&<&-1\\x&<&5^{-1}\\x&<&\frac{1}{5}\\x&<&0.2\end{array}
แต่เงื่อนไขอีกอันหนึ่งที่เราลืมไม่ได้ก็คือ โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมต้องเป็นจำนวนจริงบวกนั่นก็คือตัวเลขหลังล็อกต้องเป็นจำนวนจริงบวก จากโจทย์ข้างบนเราจะเห็นตัวนี้อยู่ในโจทย์ \(\log_{5}x\) เราต้องรู้ว่า x ซึ่งอยู่หลังล็อกตรงนี้ต้องมากกว่าศูนย์หรือก็คือเป็นบวกนั่นเอง ตอนนี้ที่เราแก้อสมการมา เราได้
\[x<0.2\] และหลังล็อกต้องมากกว่าศูนย์ก็คือ
\[x>0\] ถ้านำสองช่วงนี้มาอินเตอร์เซกกันจะได้คำตอบของอสมการข้อนี้คือ
\[x\in (0,0.2)\] ซึ่งคำตอบอยู่ในช่วงของ ค. (0,1)