21.ผลสำเร็จของ \(5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\cdots}}}}\) มีค่าเท่าใด

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราไม่รู้วิธีการมันจะยากมาก แต่ถ้าเรามีความรู้เรื่องพวกนี้ รากอนันต์ ก็จะทำให้เราทำโจทย์ข้อนี้ง่ายขึ้นคับ ให้เราสนใจตัวที่มันซ้ำกันมากๆไว้นะ ซึ่งผมจะกำหนดดังนี้

กำหนดให้  

\[\color\red{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\cdots}}}=A}\]

จะได้

\begin{array}{lcl}2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\cdots}}}&=&A\\2-\frac{1}{A}&=&A\\2A-1&=&A^{2}\\A^{2}-2A+1&=&0\\(A-1)(A-1)&=&0\end{array}

นั่นคือได้ \(A=1\) แล้วเอาค่า \(A\) นี้ไปแทนค่าในโจทย์จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\cdots}}}}&=&5-\frac{1}{A}\\&=&5-\frac{1}{1}\\&=&5-1\\&=&4\end{array}