23.จงหาจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดแต่ไม่เกิน \(\frac{10002^{3}}{9998\times 10000}-\frac{9998^{3}}{10000\times 10002}\)

1. 22
2. 20
3. 18
4. 16

วิธีทำ  ข้อนี้เราจะทำแบบตรงๆ ไม่ได้เพราะมันต้องคิดเลขเยอะมาก คิดตรงๆไม่ได้แน่ๆ  ถ้าสังเกตที่โจทย์ จะเห็นตัวเลขไฮไลท์ตัวหนึ่งที่เป็นคีย์แมนในข้อนี้ก็คือ 10000  เราต้องสมมติให้ตัวนี้เป็นตัวแปรตัวหนึ่งเพื่อให้ง่ายต่อการทำโจทย์  เรากำหนดให้ \(10000=y\) นะคับซึ่งไปไปเราจะได้ว่า

\(10002=10000+2=y+2\)

\(9998=10000-2=y-2\)

ที่เราเอาพวกนี้ไปแทนค่าในโจทย์จะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}\frac{10002^{3}}{9998\times 10000}-\frac{9998^{3}}{10000\times 10002}&=&\frac{(y+2)^{3}}{y(y-2)}-\frac{(y-2)^{3}}{y(y+2)}\\&=&\frac{(y+2)^{3}(y+2)-(y-2)^{3}(y-2)}{y(y-2)(y+2)}\\&=&\frac{(y+2)^{4}-(y-2)^{4}}{y(y^{2}-4)}\\&=&\frac{[(y+2)^{2}-(y-2)^{2}][(y+2)^{2}+(y-2)^{2}]}{y(y-4)^{2}}\\&=&\frac{[(y+2)-(y-2)][(y+2)+(y-2)][y^{2}+4y+4+y^{2}-4y+4]}{y(y^{2}+4)}\\&=&\frac{(4)(2y)(2y^{2}+8)}{y(y^{2}+4)}\\&=&\frac{(8)(2)(y^{2}+4)}{y^{2}-4}\\&=&\frac{16(y^{2}+4)}{y^{2}-4}\\&=&\frac{16(y^{2}-4+4+4)}{y^{2}+4}\\&=&\frac{16[(y^{2}-4)+8]}{(y^{2}-4)}\\&=&\frac{16(y^{2}-4)}{(y^{2}-4)}+\frac{(16)(8)}{(y^{2}-4)}\\&=&16+\frac{(16)(8)}{(y^{2}-4)}\\&=&16+\frac{128}{10000^{2}-4}\end{array}

ซึ่งเราจะเห็นว่าไอ้เจ้าตัวนี้ \(\frac{128}{10000^{2}-4}<1\) ดังนั้น

\(16+\frac{128}{10000^{2}-4}\) ได้ค่าออกมาเป็น 16 กว่าๆ ข้อนี้จึงตอบ \(16\)