ให้  A และ B เป็นเซตใดๆ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B เขียนแทนด้วย \( A \times B\) โดยที่

\(A\times B=\{(x,y) | x \in A , y\in B\} \)

จากความหมายข้างต้น แสดงว่า \(A \times B \)   เป็นเซตๆหนึ่ง โดยที่สมาชิกในเซตเป็นคู่อันดับ ซึ่งสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเป็นสมาชิกในเซต A และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเป็นสมาชิกในเซต B

ตัวอย่างที่ 1

1) ให้ \(A=\{a,b,c\} , B=\{p,q\}\)      จงหา  \(A\times B \)

จะได้ว่า

\( A \times B =\{(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)\}\)

หรือจะใช้แผนภาพในการหาคำตอบก็ได้น่ะ

ผลคูณคาร์ทีเซียน

2) ให้ \(B=\{1,2\} ,B=\{3,5\}\)       จงหา     \(A\times B \)

จะได้ว่า

\(A\times B=\{(1,3),(1,5),(2,3),(2,5)\}\)

จากตัวอย่างที่ได้ยกให้ดูข้างต้นน่ะคับ...สามารถสรุปได้เป็นสมบัติที่สำคัญ...ดังนี้

1. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก m ตัว และ B มีจำนวนสมาชิก n ตัว แล้ว \(A\times B \)  จะมีจำนวนสมาชิก (m)(n)    ตัว

ตัวอย่างเช่น \(A=\{1,2,3\}\)      และ \(B=\{4,5\}\)

จะเห็นว่าจำนวนสมาชิกของ A หรือว่า   n(A)=3

และจำนวนสมาชิกของ B หรือว่า   n(B)=2

ดังนั้น  จำนวนสมาชิกของ\(A\times B\)     หรือ   \(n(A\times B)=(3)(2)=6 \)       ตัว

2. \(A \times B = \varnothing \)      ก็ต่อเมื่อ        \(A=\varnothing\)      หรือ    \(B=\varnothing\)

3. ถ้า \(A\times B=A\times C\)      และ       \(A\neq \varnothing \)    แล้ว     \(B=C\)

4. \(A\times (B \cup C)=(A\times B)\cup(A\times C) \)

5. \(A\times (B\cap C)=(A\times B) \cap (A\times C) \)

6. \( A \times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)\)


เรามาทำแบบฝึกหัดผลคูณคาร์ทีเซียนเพิ่มเติมกันครับ

1. จงหา \(A\times B\)  เมื่อกำหนด \(A\) และ \(B\) ดังต่อไปนี้

1) \(A=\{1,2\},\quad B=\{3,6,7\}\)

วิธีทำ  ดูแผนภาพด้านบนประกอบนะครับจะได้อย่างน้อยคราวๆเราต้องรู้ว่าสมาชิกหลักจากคูณเสร็จต้องมีสมาชิก 6 ตัวครับ

\(A\times B=\{(1,3),(1,6),(1,7),(2,3),(2,6),(2,7)\}\)


2) \(A=\{-3,-2,-1\}\quad B=\{1,2,3\}\)

วิธีทำ  

\(A\times B=\{(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,1),(-2,2),(-2,3),\\(-1,1),(-1,2),(-1,3)\}\)


2. ถ้า \(n\) เป็นจำนวนสมาชิกของเซต \(A\) และ \(m\) เป็นจำนวนสมาชิกของเซต \(B\) แล้วจงหาจำนวนสมาชิกของ \(A\times B\),\(A\times A\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(A\) มีสมาชิก \(n\) ตัว

และ \(B\)  มีสมาชิก \(m\)  ตัว  ดังนั้น

จำนวนสมาชิกของ \(A\times B\)  เท่ากับ \(nm\)  ตัว หรือเขียนแทนด้วย \(n(A\times B)=nm\)  และอีกอัน

\(n(A\times A)=nn=n^{2}\)


3. กำหนดให้ \(M=\{1,2\},\quad N=\{2,3\},\quad P=\{4,5\}\)  จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1) \((M\times N) \cup (M\times P)\)

วิธีทำ  เนื่องจาก

\(M\times N=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}\)

\(M\times P=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)\}\)

ดังนั้นเราจะได้ว่า

\((M\times N) \cup (M\times P)=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)\}\)


2) \((M\times N) \cap (M\times P)\)

วิธีทำ  เนื่องจาก

\(M\times N=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}\)

\(M\times P=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)\}\)

จะเห็นว่า \((M\times N)\)  และ \((M\times P)\)  ไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลยดังนั้น

\((M\times N)\cap (M\times P)=\emptyset\)


4. ถ้า \(E=\{1,2,3\}\)  และ \(r=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(3,3),(2,1)\}\) จงหาว่า \(r\) เป็นความสัมพันธ์ใน \(E\) หรือไม่

วิธีทำ เราหาความสัมพันธ์ใน \(E\)  ก่อนครับจะได้ว่าความสัมพันธ์ใน \(E\)  คือ 

\(E\times E=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\) และจาก

\(r=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(3,3),(2,1)\}\)

เห็นชัดเลยว่า \(r\subset (E\times E)\) ดังนั้น \(r\) เป็นความสัมพันธ์ใน \(E\)


5. กำหนดให้ \(A=\{0,2,4\}\quad\quad B=\{0,1,2\}\)  และ \(r\) เป็นความสัมพันธ์จาก \(A\)  ไป \(B\)

ถ้า \((x,y)\in r\)  เมื่อ \(x>y\)

1)  จงเขียน \(r\) แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ  เนื่องจาก

\(A\times B)=\{(0,0),(0,1),(0,2),(2,0),(2,1),(2,2),(4,0),(4,1),(4,2)\}\)

และโจทย์บอกว่า \(r\)  เป็นความสัมพันธ์จาก \(A\) ไป \(B\)  โดยสมาชิกที่อยู่ใน \(r\)  ต้องมีสมบัติคือ \(x>y\)  ดังนั้น \(r\) สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกคือ

\(r=\{(2,0),(2,1),(4,0),(4,1),(4,2)\}\)


Pin It