อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติเป็นการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกล่าวคือ ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC  ที่มี C  เป็นมุมฉากและมีความยาวด้านเป็น \(a,b,c\)  ดังรูปด้านล่าง

ด้าน  \(a\)  เรียกว่าด้านตรงข้ามมุม A

ด้าน \(b\)   เรียกว่าด้านประชิดมุม A  (เป็นด้านที่ติดมุม A)

ด้าน  \(c\)   เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามมุมฉาก)

ที่นี้เรามาดูความหมายหรือว่านิยามต่างๆของอัตราส่วนตรีโกณมิติซึ่งเขานิยามจากสามเหลี่ยมมุมฉากนี่แหละครับ ก็คือ

อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  (ความจริงเอามุม B ก็ได้นะแต่ไม่เอามุมฉากแล้วแต่ว่าเราจำนำมุมไหนมาพิจารณาแต่ในที่นี้เราพิจารณาโดยใช้มุม A  ครับ)  ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ  \(\frac{a}{c}\)   เรียกว่าไซน์ของมุม A   หรือเขียนแทนด้วย

\[\sin A=\frac{a}{c}\]

หรือที่เราชอบท่องว่า ไซน์ข้ามฉาก  ก็คือเอาความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  หารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นเอง

อัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A  ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ  \(\frac{b}{c}\)  เรียกว่าโคไซน์ของมุม A  หรือเขียนแทนด้วย

\[\cos A=\frac{b}{c}\]

หรือที่เราชอบท่องว่า คอสชิดฉาก  ก็คือเอาความยาวของด้านประชิดมุม A  หารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  ต่อความยาวของด้านประชิดมุม A  หรือ  \(\frac{a}{b}\)  เรียกว่าแทนเจนต์ของมุม A  หรือเขียนแทนด้วย

\[\tan A=\frac{a}{b}\]

นักคณิตศาสตร์เรียกอัตราส่วนทั้งสามนี้ก็คือ

\[\sin A=\frac{a}{c}\]

\[\cos A=\frac{b}{c}\]

\[\tan A=\frac{a}{b}\]

ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ   

ผมอยากให้พวกเราคนอ่านลองไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีความยาวของของด้านยาวเท่าไรก็ได้และให้มีหนึ่งมุมตั้งชื่อว่าเป็นมุม A ก็ได้มีขนาดเท่ากับ 30 องศา แล้วลองหาค่า

\(\sin A\)  หรือว่า \(\sin 30^{\circ}\)  ดู   ซึ่ง

\[\sin 30^{\circ}=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{1}{2}\]

ไม่ว่าจะวาดความยาวด้านยาวเท่าไรสุดท้ายตัดทอนแล้วจะได้ค่า \(\frac{1}{2}\)   เสมอ

นั่นคือ   \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)   เสมอครับถึงแม้แต่ละคนจะวาดความยาวของด้านต่างกันก็ตามสุดท้ายตัดทอนแล้วจะเหลือ \(\frac{1}{2}\) ครับ ลองไปวาดดูนะอย่าพึ่งเชื่อผม

ในสมัยกรีกโบราณนักคณิตศาสตร์ผู้เลื่องชื่อท่านหนึ่งซึ่งมีชื่อว่า ทอเลมี(Ptolemy) ผู้ซึ่งว่างงานที่สุดในโลก ได้ทดลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมแหลมขนาดต่างๆดังนี้  \(30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}\)  แล้วได้อัตราส่วนตรีโกณมิติที่น่าสนใจดังตารางต่อไปนี้

ต่อไปเราลองไปทำแบบฝึกหัดกันดูดีกว่าครับ

1. จงหาค่าไซน์  โคไซน์และแทนเจนต์ของมุม A และมุม B  จากรูปต่อไปนี้

1)

วิธีทำ  

\(\sin A=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{5}{13}\)

\(\cos A=\frac{ด้านประชิดมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{12}{13}\)

\(\tan A=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านประชิดมุม A}=\frac{5}{12}\)

\(\sin B=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{12}{13}\)

\(\cos B=\frac{ด้านประชิดมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{5}{13}\)

\(\tan B=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านประชิดมุม A}=\frac{12}{5}\)

2. กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC  มีมุม C  เป็นมุมฉาก และ  a,b,c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  มุม B และมุม C ตามลำดับ

1) ถ้า  \(\tan A=\sqrt{2}\)   และ  \(a=10 \)   จงหา  \(b\)

วิธีทำ ก่อนทำให้ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดูคร่าวๆครับ

ดูรูปประกอบนะ 

\begin{array}{lcl}\tan A &=&\frac{a}{b}\\ \sqrt{2}&=&\frac{10}{b}\\b&=&\frac{10}{\sqrt{2}}\\b&=&5\sqrt{2}\end{array}

2) ถ้า \(\tan B=\frac{1}{4}\)   และ  \(a=3\)  จงหา   \(b\)

วิธีทำ   ดูรูปข้อ 1)  ประกอบนะครับ

\begin{array}{lcl}\tan B&=&\frac{b}{a}\\\frac{1}{4}&=&\frac{b}{3}\\b&=&\frac{3}{4}\end{array}

3)  ถ้า  \(a=5\)    และ   \(b=12\)  จงหา   \(\sin A\)

วิธีทำ  เนื่องจาก

\begin{array}{lcl}\sin A&=&\frac{a}{c}\\&=&\frac{5}{c}\end{array}

จากตรงนี้ไม่สามารถหาค่า  \(\sin A\)  ต่อได้เนื่องจาก ติดค่า  \(c\)   เราต้องหาค่าซีโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครับ

จาก

\begin{array}{lcl}c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\\c^{2}&=&5^{2}+12^{2}\\c^{2}&=&169\\c&=&13\end{array}

ดังนั้น 

\begin{array}{lcl}\sin A&=&\frac{a}{c}\\&=&\frac{5}{c}\\&=&\frac{5}{13}\end{array}

ต่อไปมาทำแบบฝึกหัดโจทย์การประยุกต์อัตราส่วนตรีโกณมิติ

1.  ต้นไม้ต้นหนึ่งทอดเงายาว  40  เมตร แนวของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดปลายของเงาต้นไม้และยอดต้นไม้ทำมุม 20 องศา กับเงาของต้นไม้ จงหาความสูงของต้นไม้นี้

วิธีทำ แน่นอนโจทย์แบบนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอัตรส่วนตรีโกณมิติแน่นอนเราจะใช้ตัวไหนดี  ไซน์  โคไซน์หรือว่าเทนเจนต์  ข้อนี้เขาให้หาความสูงของต้นไม้ ใช่ไหม ถ้าใช้ไซน์ หรือว่า โคไซน์ไม่ได้แน่ะเพราติดตัวแปรสองตัวดังนั้นข้อนี้ใช้ เทนเจนต์ครับจาก   ผมให้ต้นไม้สูง  y  นะครับแล้วแก้สมการหาค่า  y 

\begin{array}{lcl}\tan 20^{\circ}&=&\frac{y}{40}\\0.36&=&\frac{y}{40}\\y&=&40\times 0.36\\y&=&14.4\end{array}

ดังนั้นต้นไม้นี้สูง  14.4  เมตร

2. ลูกเสือคนหนึ่งต้องการหาความสูงของเสาธงของโรงเรียน  ถ้าขณะที่เขามองยอดเสาธงมุมเงยจากระดับสายตาไปยังยอดเสาธงมีขนาด  45  องศา เขายืนอยู่ห่างจากเสาธงเป็นระยะทาง 12  เมตร และความสูงจากพื้นดินถึงระดับตาของเขาเป็น 1.5 เมตร อยากทราบว่า เสาธงสูงเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ใช้เทนเจนต์ครับข้อนี้ ผมให้ y คือความสูงของเสาธงที่ยังไม่รวมกับความสูงของลูกเสือ

\begin{array}{lcl}\tan 45^{\circ}&=&\frac{y}{12}\\1&=&\frac{y}{12}\\y&=&12\\ \end{array}

ข้อนี้ต้องเอาความสูงที่เราได้นี้ไปบวกกับความสูงของลูกเสือคนนี้ก่อนถึงจะเป็นความสูงของเสาธงอย่างแท้จริงครับดังนั้นคำตอบที่ถูกคือ  12+1.5=13.5  เมตร

3. กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC  ซึ่งมี \(\hat{C}=90^{\circ}\)  และ มุม  \(\hat{B}=2\hat{A}\)   ถ้า \(AC=4\sqrt{3}\)   แล้ว  \(AB+BC\)  เท่ากับเท่าใด(O-NET 58)

1.  \(10\sqrt{2}\)      2. 12          3. \(10\sqrt{3}\)      4.13      5. 16

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ o-net ปี 58  ไม่ยากนะครับแต่โหดตรงที่มี 5  ตัวเลือกเดายากกว่าเดิม 555

มาดูวิธีการทำกันครับข้อนี้ค่อยๆอ่านเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ไม่ยากครับค่อยๆอ่านวาดรูปประกอบได้ยิ่งดีครับจะได้มองเห็นภาพชัดเจน

จากรูปจะได้

\[\cos A=\frac{4\sqrt{3}}{AB}\]      เพราะฉะนั้น

\[AB=\frac{4\sqrt{3}}{\cos A}\quad\quad ....(1)\]

จากรูปจะได้

\[\tan A=\frac{BC}{4\sqrt{3}}\]     เพราะฉะนั้น

\[BC=4\sqrt{3}\tan A \quad\quad ....(2)\]

จากสมการด้านบนจะเห็นว่าเราจะหา AB และ BC  ยังไม่ได้เพราะติดขนาดของมุม A  เราต้องหาขนาดของมุม A ก่อนครับ  อย่าลืมนะว่ามุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากับ 180 องศา และโจทย์บอกว่ามุม C มีขนาด 90 องศา นั่นคือ

\begin{array}{lcl}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\ \hat{A}+\hat{B}+90^{\circ}&=&180^{\circ}\\\hat{A}+\hat{B}&=&90^{\circ}\\\hat{A}+2\hat{A}&=&90^{\circ}\\ 3\hat{A}&=&90^{\circ}\\ \hat{A}&=&30^{\circ}\end{array}

ได้ค่าขนาดของมุม A แล้วง่ายแล้วที่นี้หาคำตอบอัตราส่วนตรีโกณมิติข้อนี้ได้แน่ครับ

เนื่องจาก  \(\hat{A}=30^{\circ}\)

\[\cos A=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\tan A=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

เอาไปแทนค่า cosA  กับ tanA  ไปแทนค่าในสมการที่ (1)  และ  (2)  เลยครับเพื่อหาคำตอบออกมาครับ

จากสมการที่ (1)  

\begin{array}{lcl}AB&=&\frac{4\sqrt{3}}{\cos A}\\AB&=&\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\AB&=&4\sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\\AB&=&8\end{array}

จากสมการที่ (2)

\begin{array}{lcl}BC&=&4\sqrt{3}\tan A\\BC&=&4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3} \\BC&=&4\end{array}

ดังนั้น โจทย์ให้หา  \(AB+BC=8+4=12\)    ตอบ

4. ชายคนหนึ่งเห็นยอดตึกแห่งหนึ่งด้วยมุมเงย  \(45^{\circ}\)  เมื่อชายคนนี้เดินเข้าใกล้ตึกอีก 10 เมตร เขาจะมองเห็นยอดตึกด้วยมุมเงย  \(60^{\circ}\)  ตึกหลังนี้มีความสูงใกล้เคียงกับค่าในข้อใดมากที่สุด

1. 25  เมตร        2. 30 เมตร      3. 35 เมตร      4. 40 เมตร       5. 45 เมตร

วิธีทำ  วิธีทำข้อนี้เหมือนเดิมครับให้วาดรูปดูจะเห็นภาพชัดเจนครับ

จากรูปจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\tan 60^{\circ}&=&\frac{y}{x}\\\tan 45^{\circ}&=&\frac{y}{10+x}\end{array}

แทนค่า  \(\tan 60^{\circ}\) ด้วย  \(\sqrt{3}\)  จะได้

\begin{array}{lcl} \sqrt{3}&=&\frac{y}{x}\\y&=&\sqrt{3}x\quad\quad ...(1)\end{array}

 และ แทนค่า \(\tan 45^{\circ}\)  ด้วย 1 จะได้

\begin{array}{lcl}1&=&\frac{y}{10+x}\\y&=&10+x\quad\quad ...(2)\end{array}

ต่อไปก็แก้ระบบสมการครับเพื่อหาค่า  y  ครับ

แทน  y  ด้วย  \(\sqrt{3}x\) ใน  (2) จะได้

\begin{array}{lcl}\sqrt{3}x&=&10+x\\1.732x&=&10+x\\1.732x-x&=&10\\0.732x&=&10\\x&=&\frac{10}{0.732}\\x&=&13.66\end{array}

แทน  x  ด้วย  13.66 ใน (2)  จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&10+13.66\\&y=&23.66\end{array}

ค่า  y  ที่เราได้นี้เราต้องนำไปบวกกับความสูงของคนที่มองตึกนี้ด้วย  ซึ่งโดยทั่งไปแล้วความสูงของคนไม่เกิน 2 เมตรแน่นอนจึงทำให้ความสูงของตึกอยู่ที่ประมาณ  25.66  ซึ่งใกล้เคียงกับตัวเลือกที่ 1 มากที่สุดครับ