ในการเรียนเรื่องเมทริกซ์นี้เราจะมีนิยามมากมายเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ต่างๆอีกอันหนึ่งที่สำคัญก็คือ ไมเนอร์ของเมทริกซ์ (minor) วันนี้เราจะมาดูนิยามของไมเนอร์ของเมทริกซ์กันครับ
บทนิยาม
ให้ \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) เมื่อ \(n\geq 2\) ไมเนอร์ (minor) ของ \(a_{ij}\) คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ \(i\) และหลักที่ \(j\) ออก เขียนแทนไมเนอร์ของ \(a_{ij}\) ด้วย \(M_{ij}(A)\)
ไปดูตัวอย่างการหาไมเนอร์ของเมทริกซ์กันครับ
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดเมทริกซ์ \(A\) ดังต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}
จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวของ \(A\)
วิธีทำ ไปดูนิยามของไมเนอร์ของเมทริกซดีๆนะครับ จากเมทริกซ์ที่กำหนดให้จะเห็นว่า
\(a_{11}=1\)
\(a_{12}=2\)
\(a_{21}=3\)
\(a_{22}=4\)
เขาให้หาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวของ \(A\) ดังนั้นเริ่มหากันเลย
\(M_{11}(A)\) คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ \(A\) ซึ่งถ้าเราเอาเมทริกซ์ \(A\) มาตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ออกก็จะได้ดังรูป
ดังนั้นเมื่อตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ออกแล้วก็จะเหลือเมทริกซ์หน้าตาแบบนี้ครับ
\begin{bmatrix}4\end{bmatrix} เสร็จแล้วเราก็หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ต่อครับซึ่งดีเทอร์มิแนนของเมทริกซ์ [4] มีค่าเท่ากับ 4
นั่นก็คือ
\(M_{11}(A)=4\)
ไมเนอร์ของสมาชิกตัวอื่นๆก็ทำเหมือนกันครับ ลองคิดตามเองนะครับ
\(M_{12}=3\)
\(M_{21}=2\)
\(M_{22}=1\)
สรุปการหาไมเนอร์ของเมทริกซ์อีกครั้งนะคับ
1. ตัดแถว ตัดหลักออกก่อน สมมติต้องการหา \(M_{23}(A)\) ก็ตัดแถวที่ 2 ตัดหลักที่ 3 ของเมทริกซ์ \(A\) ออกกอ่น
2. เมื่อตัดแถวตัดหลักออกแล้วก็หาดีเทอร์มิแนนต์ของสมาชิกที่เหลือครับ
มาดูตัวอย่างกันต่อครับ
ตัวอย่างที่ 2 จงหาไมเมอร์ของสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ์
\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\end{array}
หา \(M_{11}(B)\)
ก็ต้องตัดแถวที่ 1 หลักที่ 1 ของเมทริกซ์ \(B\)ออกก่อนก็จะได้ดังรูป
ตัดออกแล้วก็จะได้เมทริกซ์ดังนี้
\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}
ต่อไปก็นำเมทริกซ์ที่เหลือนี้แหละครับไปหาดีเทอร์มิแนนต์ต่อครับ
ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของ
\begin{array}{lcl}det(\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix})=(5)(9)-(6)(8)=45-48=-3\end{array}
ดังนั้น \(M_{11}(B)=-3\)
หา \(M_{12}(B)\)
ทำเหมือนเดิมครับคือตัดแถวที่ 1 ตัดหลักที่ 2 ออก ก่อนก็จะได้ดังรูป
ตัดออกแล้วก็จะได้เมทริกซ์ดังนี้
\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix}
ต่อไปก็นำเมทริกซ์ที่เหลือนี้แหละครับไปหาดีเทอร์มิแนนต์ต่อครับ
ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของ
\begin{array}{lcl}det(\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix})=(4)(9)-(6)(7)=36-42=-6\end{array}
ดังนั้น \(M_{12}(B)=-6\)
ต่อไปไม่มีรูปให้ดูแล้วนะครับพยายามคิดเองครับ
\(M_{13}(B)=(8)(4)-(7)(5)=32-35=-3\)
\(M_{21}(B)=(2)(9)-(3)(8)=18-24=-6\)
\(M_{22}(B)=(1)(9)-(3)(7)=9-21=-12\)
\(M_{23}(B)=(8)(1)-(2)(7)=8-14=-6\)
\(M_{31}(B)=(2)(6)-(3)(5)=12-15=-3\)
\(M_{32}(B)=(1)(6)-(3)(4)=6-12=-6\)
\(M_{33}(B)=(1)(5)-(2)(4)=5-8=-3\)