การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม

การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม   ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงการหาดีเทอร์มิแนนต์(det) ของเมทริกซ์ที่มีขนาดสามคูณสามหรือ \(3\times 3\)  ครับซึ่งผมจะสรุปเป็นหลักการในการหาให้เลยครับ ส่วนใครต้องการรู้ที่มาที่ไปก็สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือทั่วไป หรือว่าหนังสือของ สสวท. ได้ครับ  ดูตัวอย่างประกอบและก็ทำไปพร้อมกับตัวอย่างเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหา \(det(A)\)  เมื่อกำหนดให้

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&1&2\\-3&2&4\\0&-1&3\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ จะเห็นว่า เมทริกซ์ \(A\) เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ \(3\times 3\)  นะครับ  วิธีการในการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาดสามคูณสาม คือ

ขั้นตอนที่ 1   นำหลักที่ 1 และหลักที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาเขียนต่อท้ายหลักที่ 3  ดังรูปครับ

ขั้นตอนที่ 2 ทำการคูณสมาชิกในแนวทแยงขึ้นและแนวทแยงลงดังรูปครับ

ขั้นตอนที่ 3   ให้นำผลคูณในทแยงขึ้นและแนวทแยงลงมารวมกันครับก็จะได้

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงลงคือ  \(6+0+6=12\)

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงขึ้นคือ \(0+(-4)+(-9)=-13\)

ขั้นตอนที่ 4  ให้เอาผลรวมของผลคูณในแนวทแยงลง ลบออกด้วย ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงขึ้น ครับก็จะได้

\(12-(-13)=12+13=25\)

นั่นก็คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ \(A\) เท่ากับ \(25\)  นั่นเองครับหรือถ้าเขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ \(det(A)=25\)

ลองทำดูครับไม่ยากตามขั้นตอนที่ผมได้กล่าวไว้ข้างต้นเลยครับ ลองไปทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมต่อครับ

แบบฝึกหัด จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

1)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}2&-1&0\\4&2&1\\4&2&1\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ  จะเห็นว่าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์มิติ \(3\times 3\)  นะครับดังนั้นก็หาดีเทอร์มิแนนต์ตามที่ผมได้กล่าวไว้ตามตัวอย่างข้างบนเลยครับเริ่มทำเลยครับ

\(\begin{bmatrix}2&-1&0\\4&2&1\\4&2&1\end{bmatrix}\begin{matrix}2&-1\\4&2\\4&2\end{matrix}\)

จะเห็นว่า

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงลงคือ \(4+(-4)+0=0\)

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงขึ้นคือ  \(0+4+(-4)=0\)

ดังนั้น  \(det(A)=0-0=0\)

2) 

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}2&3&1\\0&5&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ   จะเห็นว่าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์มิติ \(3\times 3\)  นะครับดังนั้นก็หาดีเทอร์มิแนนต์ตามที่ผมได้กล่าวไว้ตามตัวอย่างข้างบนเลยครับเริ่มทำเลยครับ

\(\begin{bmatrix}2&3&1\\0&5&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}\begin{matrix}2&3\\0&5\\0&0\end{matrix}\)

จะเห็นว่า

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงลงคือ \(-20+0+0=-20\)

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงขึ้นคือ  \(0+0+0=0\)

ดังนั้น  \(det(B)=-20-0=-20\)