วันนี้(31 มกราคม 2556) นึกอยากเขียนเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ พอดีไปเจอข้อสอบ o-net ม.3 เห็นออกเกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกปี ก็เลยวันนี้เอาหน่อยแล้วกัน เผื่อเป็นประโยชน์ให้ผู้อ่านเอาไปใช้ในการสอบ ม.5 ก็อ่านได้นะครับผมได้เพิ่มเติมแบบฝึกหัดของ ม.5 เข้าไปด้วยแล้วครับ อ้อสำหรับอีกลิงค์หนึ่งอันนี้สำหรับ ม.5 โดยเฉพาะเป็นการหาค่าฟังกชันตรีโกณมิติ ตามลิงค์ไปเลยคับ การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
พิจารณา การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป คือ
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 คือสามเหลี่ยม \(ABC\)
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 \(DEF\)
สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสองรูปนั้นมีด้านแต่ละด้านยาวไม่เท่ากัน แต่มีขนาดของมุมคงที่เท่ากันทั้งสองรูปคือ\(30^{\circ}\) พบว่า (ลองทำดูเองได้น่ะครับถ้าไม่เชื่อ) ไม่่ว่าขนาดความยาวของด้านสามเหลี่ยมมุมฉากจะยาวเพิ่มขึ้นเป็นเท่าไรก็ตาม แต่ขนาดของมุมยังคงเท่าเดิมคือ \(30^{\circ}\) จะทำให้ได้ว่า
อัตราส่วน \(\frac{BC}{AB}\)ของรูปที่ 1 จะเท่ากับ อัตราส่วนของ \(\frac{FG}{DF}\)ของรูปที่ 2 เสมอและทั้งสองอัตราส่วนนั้น มีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) เสมอ พูดง่ายๆก็คือ ไม่ว่าความยาวของด้านจะเปลี่ยนไปเป็นเท่าไรก็ตามแต่ขนาดของมุมคงที่คือ \(30^{\circ}\) แล้วอัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม\(30^{\circ}\)กับด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\)
นั่นก็คือ
\(\frac{BC}{AB}=\frac{FG}{DF}=\frac{1}{2}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าไซน์(sine)ของมุม \(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้
\(\sin30^{\circ}=\frac{BC}{AB}=\frac{FG}{DF}=\frac{1}{2}\)
และ
\(\frac{AC}{AB} = \frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าโคไซน์(cosine)ของมุม \(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้
\(\cos30^{\circ}=\frac{AC}{AB} = \frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
และ
\(\frac{BC}{AC}=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) เรียกอัตราส่วนนี้ว่าเทนเจนต์(tangent)ของมุม\(30^{\circ}\) หรือเขียนใหม่จะได้
\(\tan30^{\circ}=\frac{BC}{AC}=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
นี่เป็นตัวอย่างของการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ซึ่งค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่างๆสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้เลยครับ
มุม | sin | cos | tan |
\(30^{\circ}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
\(45^{\circ}\) |
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
\(60^{\circ}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
ตัวอย่างการนำไปใช้ครับ
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ \(\bigtriangleup ABC \) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี \(\widehat{B}\)เป็นมุมฉาก \(BC=5\)หน่วย และ \(\widehat{A}=30^{\circ}\) จงหาความยาวของ \(\overline{AB}\) และความยาวของ \(\overline{AC}\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(\tan30^{\circ}=\frac{5}{AB}\)
และจาก \(\tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) แทนค่าลงไปเลย จะได้
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{AB}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{AB}{5}\)
\(AB=5\sqrt{3}\)
หาความยาวของ \(\overline{AC}\)
เนื่องจาก \(\sin30^{\circ}=\frac{5}{AC}\)
และจาก \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\) แทนค่าลงไปจะได้
\(\frac{1}{2}=\frac{5}{AC}\)
\(AC=\frac{5}{0.5}\)
\(AC=10\)
ตอบ \(\overline{AB}=5\sqrt{3}\)หน่วย และ \(\overline{AC}=10\) หน่วย
ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(\bigtriangleup ABC \) เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จงหาความยาวของด้าน \(AB\) และด้าน \(AC\)
1) ความยาวของด้าน \(AB\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ฟังก์ชัน \(\tan \) ในการหาความยาวของ \(AB\) นะครับ
\(\tan 30^{\circ }= \frac{BC}{AB}\)
แทนค่าของ \(\tan30^{ \circ} \) ด้วย \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ลงไปในโจทย์เลยครับ จะได้
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{AB}\)
\(AB=5 \cdot \sqrt{3}\)
\(AB=5\sqrt{3}\)
2) ความยาวของด้าน \(AC\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ฟังก์ชัน \(\sin\) ในการหาความยาวของ \(AC\) น่ะครับ
\(sin30^{\circ}=\frac{BC}{AC}\)
แทนค่าของ \(\sin30^{\circ}\) ด้วย \(\frac{1}{2}\) และ \(BC=5\) จะได้
\(\frac{1}{2}=\frac{5}{AC}\)
\(AC=5 \times 2 \)
\(AC=10\)
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(\bigtriangleup ABC \) เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก ดังรูป จงหาความยาวของด้าน \(AC\) และ หาขนาดของมุม \(A\) และมุม \(C\)
วิธีทำ
1.หาขนาดของมุม \(A\)
\(\tan A =\frac{BC}{AB}\)
\(\tan A=\frac{2}{2\sqrt{3}}\)
\(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
เนื่องจาก \(\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ดังนั้น \(A=30^{\circ}\)
ตอบ มุม \(A\) มีขนาาด \(30^{\circ}\)
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ \(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) และ \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) จงหาค่าของ
\(\sec\theta + cosec\theta\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขของมุมที่เขาให้มาคือ \(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) นั่นคือเรารู้ว่า มุมนั้นตกอยู่ในควอร์ดเร็นท์ที่ 1 นั่นหมายความว่าไซน์ คอส แทน เซค โคเซค เป็นบวกหมดเลยครับ ข้อนี้เราจะหาคำตอบโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากมาช่วยครับ จาก
\(\sin\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)
และ
\(\sin\theta=\frac{4}{5}\)
ดังนั้นเราจึงได้ว่า ด้านตรงข้ามมุมยาว 4 หน่วย และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 5 หน่วย จึงได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ
จากรูปจะได้ว่า
\(sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{5}{3}\)
\(cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{5}{4}\)
นั่นคือจะได้
\begin{array}{lcl}\sec\theta+cosec\theta&=&\frac{5}{3}+\frac{5}{4}\\&=&\frac{20+15}{12}\\&=&\frac{35}{12}\end{array}
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ \(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\) และ \(\cot\theta=\frac{8}{15}\) จงหาค่าของ \(\cos\theta+cosec\theta\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขของมุมที่เขาให้มาคือ \(0\leq\theta \leq\frac{\pi}{2}\) นั่นคือเรารู้ว่า มุมนั้นตกอยู่ในควอร์ดเร็นท์ที่ 1 นั่นหมายความว่าไซน์ คอส แทน เซค โคเซค เป็นบวกหมดเลยครับ ข้อนี้เราจะหาคำตอบโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากมาช่วยครับ จาก
\(\cot\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุม}\)
และ
\(\cot\theta=\frac{8}{15}\)
ดังนั้นเราจึงได้ว่า ด้านประชิดมุมยาว 8 หน่วย และด้านตรงข้ามมุมยาว 15 หน่วย จึงได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\cos\theta+cosec\theta&=&\frac{8}{17}+\frac{17}{15}\\&=&\frac{409}{255}\end{array}
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ \(\sin\theta=\frac{1}{3}\) และ \(\sec\theta<0\) จงหาค่าของ \(\tan\theta\)
วิธีทำ ข้อนี้มาวิเคราะห์กันหน่อยครับ ค่าไซน์เท่ากับหนึ่งส่วนสาม ซึ่งก็คือค่าไซน์มีค่าเป็นบวกนั่นเองครับ ซึ่งคาไซน์เป็นบวกแสดงว่าทีตาต้องตกอยู่ควอร์ดเร็นต์ที่ 1 หรือ ควอร์ดเร็นต์ที่ 2 แต่ ค่าเซคทีตา น้อยกว่า 0 ซึ่งก็คือเป็นลบดังนั้น ทีตา ต้องตกอยู่ในควอร์ดเร็นต์ที่ 2 แน่นอน เมื่อทีตาตกอยู่ในคอร์ดเร็นต์ที่ 2 จึงทำให้ค่า แทนทีตา เป็นลบ ข้อนี้คำตอบต้องติดลบแน่นอน
ตามรูปด้านบนนะครับ
จากสามเหลี่ยมมุมฉากเราได้ \(\tan\theta=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
แต่ \(\theta \in q_{2}\) ดังนั้น \(\tan\theta<0\)
เราจึงได้ว่า คำตอบคือ \(\tan\theta=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ \(\cot\theta=5\) และ \(\sin\theta<0\) จงหาค่าของ \(\cos\theta\)
วิธีทำ เนื่อง คอตทีตาเท่ากับ 5 คือมีค่าเป็นบวก ดังนั้นมุมทีตาต้องตกอยู่ในควอร์เร็นต์ที่ 1 หรือ 3 แต่โจทย์บอกอีกว่า ค่าไซน์นั้นน้อยกว่า 0 ด้วย ดังนั้นทีตาต้องตกอยู่ในควอร์ดเร็นต์ที่ 3 นั่นคือคำตอบหรือค่าคอสทีตาของเราต้องเป็นลบครับ
ดูตามรูปสามเหลี่ยมด้านบนนะครับ
จะได้ \(\tan\cos\theta=\frac{5\sqrt{26}}{26}\)
แต่เนื่องจาก \(\theta \in q_{3}\) ดังนั้น
\(\cos\theta=-\frac{5\sqrt{26}}{26}\)