ค้นหา

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ขึ้นชื่อว่าโจทย์ปัญหาเชื่อว่าหลายๆคนอ่านแล้ว คงไม่ค่อยชอบเท่าไหร่ เพราะว่ามันยากโจทย์มันยาวขี้เกียจ

อ่าน  ขี้เกียจคิดตาม  อ่านแล้วไม่รู้เรื่องไม่รู้จะเริ่มตรงไหนก่อน  ผมก็เหมือนกันตอนเรียนมัธยมต้นก็ไม่ค่อยชอบเหมือนกันเรื่องโจทย์ปัญหา ไม่ใช่ไม่ค่อยชอบสิ ไม่ชอบเลยดีกว่า เพราะว่าต้องมานั้งอ่านโจทย์ อ่านเสร็จแล้ววิเคราะห์โจทย์ สร้างประโยคสัญลักษณ์จากโจทย์ ยุ่งยากเหลือเกิน  แต่เด็กๆนักเรียนรู้ไหมหัวใจหลักสำคัญของคณิตศาสตร์มันอยู่ตรงไหน  มันอยู่ตรงนี้แหล่ะ ตรงโจทย์ปัญหานี้แหล่ะ ถ้าเราวิเคราะห์แก้โจทย์ปัญหาบ่อยๆ การวิเคราะห์ตรงนี้แหล่ะมันจะค่อยๆฝั่งลึกลงไปในตัวเรา จะทำให้เรานั้น เป็นคนมีเหตุมีผล ทำ

อะไรมักจะคิดวิเคราะห์ถึงเหตุผลและความเป็นไปได้ก่อน คือพูดง่ายๆก่อนจะทำมีการคิดวางแผนก่อน ถ้าเรามีการวางแผนก่อนการทำงานโอกาสที่จะประสบความสำเร็จมันก็มีมากกว่าพวกที่ไม่วางแผนใช่ป่าว ดังนั้นอย่าละเลยตรงนี้ครับ ฝึกไปเรื่อยๆ แล้วมันส่งผลดีต่อเราในภายภาคหน้า  อารัมภบทซ่ะยาวเลย เรามาเริ่มกันดีกว่า สำหรับหลักเกณฑ์และวิธีการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนั้นมีดังนี้

1.แน่นอนแหล่ะต้องอ่านโจทย์ก่อน ไม่ได้ตลกน่ะต้องอ่านทำความเข้าใจโจทย์ก่อน

2.มาถึงขั้นตอนที่สอง เมื่ออ่านโจทย์เข้าใจขั้นตอนที่สองคือ ขั้นตอนการกำหนดตัวแปร(สำคัญมาก) หลักการกำหนดตัวก็ง่ายๆคับ  โจทย์ถามหาอะไร เราก็ให้ตัวที่โจทย์ถามหานั่นแหล่ะเป็นตัวแปร ตัวอย่างเช่น

  • โจทย์ถามว่าจงหาจำนวนสองจำนวนนั้น วิธีการกำหนดตัวแปรก็คือ ให้จำนวนแรกแทนด้วยตัวแปร x  และจำนวนที่สองแทนด้วยตัวแปร y
  • โจทย์ถามว่าจงหานวนเหรืยญบาทและเหรียญสิบบาทว่ามีกี่เหรียญ วิธีการกำหนดตัวแปร ให้มีเหรียญบาทมีจำนวน x เหรียญ และเหรียญสิบบาทมีจำนวน y เหรียญ

นี่คือหลักการง่ายๆในการกำหนดตัวแปรคับ ไม่ยากเลย

3.ตอนนี้เรามีตัวแปรแล้ว ขั้นตอนที่สามก็เป็นการนำตัวแปรที่เรามีอยู่นั้นมากระทำตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมา ตัวอย่างเช่น โจทย์บอกว่าสองเท่าของจำนวนแรกมากกว่าห้าอยู่สาม เราก็จัดการแปลงเงื่อนไขของโจทย์ที่เป็นข้อความนี้ให้เป็นประโยคสัญลักษณ์  สองเท่าของจำนวนแรก ก็คือ ให้เอาสองคูณกับจำนวนแรกก็คือ สองคูณเอ็กซ์(2x) มากกว่าห้าอยู่สาม นั่นก็คือให้เอา สองเอ็กซ์มาลบกับห้าแล้วให้เท่ากับสามนั้นเอง เราจึงได้ประโยคสัญลักษณ์คือ

\(2x-5=3\)  ได้เป็นสมการที่หนึ่ง

ต่อไปเราก็ไปดูเงื่อนไขที่สองว่าโจทย์บอกว่ายังไง  มักจะมีสองเงื่อนไขน่ะคับ เพราะว่ามีสองตัวแปร ตัวอย่างเช่น โจทย์บอก ครึ่งหนึ่งของจำนวนที่สองรวมกันสิบเป็นสิบสอง ก็แปลงเป็นประโยคสัญลักษณ์เหมือนเดิม คำว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนี่สอง ก็คือให้ เศษหนึ่งส่วนสองไปคูณกับจำนวนที่สอง ก็คือ เอาเศษหนึ่งส่วนสองไปคูณวายนั้นเองแล้วบวกกับสิบเท่ากับสิบสอง ก็จะได้ ประโยคสัญลักษณ์คือ

\(\frac{1}{2}y+10=12\) ให้เป็นสมการที่สอง

เมื่อเราได้สมการสองสมการตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาแล้วเราก็ทำการแก้ระบบสมการเพื่อหาจำนวนสองจำนวนนั้นก็คือหาค่า x กับ y นั่นเองคับ

4.ขั้นตอนสุดท้ายคือขั้นตอนการตรวจคำตอบ ขั้นตอนนี้ก็ไม่ยากแล้วนำคำตอบที่ได้ไปแทนลงสมการ แล้วตรวจสอบดูว่าเป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงก็เป็นอันว่าจบ คำตอบนั้นใช่ได้ นำมาตอบได้เลย

นี่คือขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  เขียนซะยาวเลย ก็พยายามอ่านทำความเข้าใจน่ะ เดี่ยวจะยกตัวอย่างให้ดู่น่ะคับ

1.ถ้าครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่งและสี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นเป็น 50 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น

วิธีทำ การทำข้อนี้ไม่ยากคับ...มาวิเคราะห์โจทย์กันก่อน...ว่าโจทย์ให้หาอะไร...โจทย์บอกว่าให้จำนวนสองจำนวนนั้น...จัดการกำหนดตัวแปรเลยคับ...โจทย์ให้หาอะไร...ให้ตัวนั้นแหล่ะ...ตัวที่โจทย์ให้หาแหล่ะเป็นตัวแปรคับ...กำหนดตัวแปรเลย

ให้จำนวนที่หนึ่งแทนด้วยตัวแปร \(x\)

จำนวนที่สองแทนด้วยตัวแปร \(y\)

ที่นี้มาดูเงื่อนไขหรือข้อความนั้นในโจทย์แปลงข้อความที่เป็นตัวหนังสือให้เป็นประโยคสัญลักษณ์...หรือว่าให้เป็นสมการคับ...โจทย์บอกว่า...ถ้าครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่ง แปลงเป็นประโยคสัญลักษณ์ก็จะได้ว่า

\(\frac{1}{2}x=3y\)   ครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งก็คือให้เอาเศษหนึ่งส่วนสองคูณกับจำนวนๆหนึ่ง  คำว่าเป็น...มันก็คือเครืองหมายเท่ากับ...คับ...เป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่ง....ก็คือให้เอาสามคูณอีกจำนวนหนึ่งซึ่งก็คือสามคูณวาย...คับ

ที่นี้มาดูเงื่อนไขอีกเงื่อนไขในโจทย์คับ...โจทย์เขาบอกว่า...สี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นเป็น 50 แปลงจากข้อความให้เป็นประโยคสัญลักษณ์คับ...ผลต่างของสองจำนวนคือเอา (x-y) คับ สี่เท่าของผลต่างของจำนวนสองจำนวนก็คือให้เอา 4 คูณกับ (x-y)  เป็น 50 ก็คือ \(4(x-y)=50\)

จากโจทย์เรา...ก็จะได้ระบบสมการดังนี้...คับ...

\(\frac{1}{2}x=3y\)   ให้เป็นสมการที่ \((1)\)

\(4(x-y)=50\)     ให้เป็นสมการที่ \((2)\)

เมื่อได้ระบบสมการแล้ว...ก็แก้ระบบสมการเพื่อหาค่า x และ y ออกมาให้ไดัคับ

เริ่มแก้ระบบสมการแล้วน่ะ...ดูให้ดี...มีชัยไปกว่าครึ่ง...

จากสมการที่ \((1)\) คือ

\(\frac{1}{2}x=3y\)  ย้ายสองไปคูณกับสาม...คับ จะได้

\(x=(2)3y\)

\(x=6y\) ให้เป็นสมการที่ \((3)\)

เห็นไหมล่ะ...เราได้ค่า x แล้วคือ x=6y  ดังนั้นเราก็นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนในลงสมการที่ \((2)\)

ต่อไปดูดีๆน่ะ...บรรทัดต่อไปนี้แหล่ะ...คาดว่า...จะไม่เข้าใจหลายคน...เริ่ม

แทน x ด้วย 6y ในสมการที่ \((2)\) (ให้ไปดูที่สมการที่(2)ตรงไหนที่มี x อยู่ให้เปลี่ยนเป็น 6y ให้หมด..คับ)

จากสมการที่(2) คือ \(4(x-y)=50\)  แทน x ด้วย 6y จะได้

\(4(6y-y)=50\)  หกวายลบวายเท่ากับห้าวาย...ใช่ป่าว

\(4(5y)=50\)  สี่คูณห้าวายเท่ากับ ยี่สิบวายใช่ป่าว

\(20y=50\)

\(y=\frac{50}{20}\)

\(y=\frac{5}{2}\)   รู้ค่า y แล้ว คือ y มีค่าเท่ากับ เศษห้าส่วนสอง ต่อไปก็หาค่าของ x บ้าง วิธีการหาค่า x ก็คือนำค่า y ซึ่งเรารู้ค่าแล้วว่ามีค่าเท่ากับ เศษห้าส่วนสอง...ไปแทนลงในสมการที่เรามีอยู่คือ อาจจะเป็นสมการที่ (1) ,(2) หรือสมการที่ (3) ก็ได้เลือกมาสักหนึ่งสมการ...ทำเลยน่ะ

แทน y ด้วย \(\frac{5}{2}\) ลงในสมการที่ (3)

จากสมการที่ (3) คือ \(x=6y\) แทนค่า y ลงไป...จะได้

\(x=6\frac{5}{2}\)

\(x=\frac{30}{2}\)

\(x=15\) เสร็จแล้วคับ

หลังจากมี่เราแก้ระบบสมการแล้ว...สรุปได้ว่า

\(x=15\) และ \(y=\frac{5}{2}\)

นั่นคือ...โจทย์ให้หาจำนวนสองจำนวน...จากที่

เราให้จำนวนที่หนึ่งคือ x และจำนวนที่สองคือ y เราจึงได้จำนวนสองจำนวนที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดคือ \( 15\) และ \(\frac{5}{2}\)

ข้อนี้...รู้สึกว่าจะเขียน...ยาวเหลือเกิน...อยากให้ทุกคนอ่านเข้าใจคับ...ไม่รู้จะอ่านรู้เรื่องหรือเปล่า...ข้อต่อไปสาบานได้เลยว่า...จะไม่เขียนยาวเท่าข้อนี้....อ่านแล้วเข้าใจ...หรือว่าไม่เข้าใจอย่างไร...เม้นต์บอกด้วยน่ะ...พี่น้อง...เดี่ยวจะเอาไปปรับปรุง...เด้อ


2.มะลิซื้อส้มโอผลเล็กราคาผลละ 30 บาท และผลใหญ่ราคาผลละ 35 บาท คิดเป็นเงิน 950 บาท เมื่อนำมารวมกันแล้วขายไปผลละ 40 บาท ได้เงิน 1,200 บาท จงหาว่ามะลิซื้อส้มโอแต่ละขนาดมาอย่างละกี่ผล

วิธีทำ ก็ทำตามขั้นตอนที่ผมได้อธิยายไว้น่ะคับ ไม่ยากคับ

กำหนดตัวแปรก่อน วิธีกำหนดตัวแปรโจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวที่โจทย์ถามหาแหละเป็นตัวแปรคับ ในข้อนี้โจทย์ถามว่ามะลิซื้อส้มโอแต่ละขนาดมาอย่างละกี่ผล ถามหาจำนวนผล เราก็กำหนดว่า

ให้มะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน  x ผล

ซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน y  ผล

เมื่อกำหนดตัวแปรแล้วก็ดูเงื่อนไขในโจทย์คับ พยายามเขียนประโยคข้อความให้เป็นประโยคสัญลักษณ์ให้ได้  ในโจทย์เขาบอกว่ามะลิซื้อส้มโอผลเล็กราคาผลละ 30 บาท ซือมาจำนวน x  ผล  ก็เป็นเงิน  30x บาท ใช่ป่าว

ซื้อส้มโอผลใหญ่ราคาผลละ 35 บาท ซื้อมาจำนวน y ผล ก็เป็นเงิน  35y บาท ใช่ป่าว   โจทย์บอกว่าซื้อแล้วคิดเป็นเงิน 950 บาท นั่นก็คือ

\( 30x+35y=950 \)

ต่อไปคับ  โจทย์บอกว่าเมื่อนำมารวมกันขายไปผลละ 40 บาท นั่นก็คือนำส้มโอผลเล็กมารวมกับส้มโอผลใหญ่แล้วก็ขายจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ

\(40(x+y)=1200\)

จะเห็นว่าตอนนี้เราได้สมการสองสมการเกิดเป็นระบบสมการขึ้นมา ต่อไปเราก็แก้ระบบสมการนี้เพื่อหาค่าของตัวแปรคับ

จาก

\( 30x+35y=950 \)     ตั้งชื่อว่า สมการที่ (1)

\(40(x+y)=1200\)       ตั้งชื่อว่า สมการที่ (2)      แก้ระบบสมการนี้คับ  เราเริ่มแก้ระบบสมการนี้โดยเริ่มที่สมการที่ (2) คับ 40 คูณอยู่ย้ายไปหารเลยคับ...จะได้

\(x+y=\frac{1200}{40}\)

\(x+y=30\)  ต่อไปย้าย y ไปอยู่ฝั่งขวาของสมการคับ...จะได้

\(x=30-y\)  รู้น่ะทำไมถึงย้าย y มาฝั่งขวาก็เพราะว่าเราจะใช้วิธีการแทนค่าในการแก้ระบบสมการข้อนี้คับ  จากบบรรทัดนี้เรารู้ว่า เอ็กซ์มันเท่ากับสามสิบลบวาย(รู้ค่าของเอ็กซ์แล้ว) ต่อไปเราก็

แทนค่า x ด้วย 30-y ในสมการที่(1) จะได้

\(30(30-y)+35y=950\)  แก้สมการต่อคับคูณสามสิบเข้าข้างในวงเล็บ

\(900-30y+35y=950\)

\(-30y+35y=950-900\)

\((-30+35)y=50\)

\(5y=50\)

\(y=\frac{50}{5}\)

\(y=10\)

นั่นแสดงว่ามะลิซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน 10 ผลคับ  ต่อไปหาค่าของ x คับ

แทน y ด้วย 10 ในสมการ \(x+y=30 \)(ลืมตั้งชื่อสมการ) จะได้

\(x+10=30\)

\(x=30-10\)

\(x=20\)

นั่นแสดงว่ามะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน 20 ผล

สรุปนิดหนึ่งคับ  นั่นคือจะได้ว่า

มะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน 20 ผล

ซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน 10 ผล


3. ติ๊กสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได้ 200 เหรียญ คิดเป็นเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบว่าติ๊กมีเหรียญแต่ละชนิดอย่างละกี่เหรียญ

 

4. รัตนามีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท ส่วนหนึ่งนำไปฝากธนาคารเพื่อรับดอกเบีย 2% อีกส่วนหนึ่งนำไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล 4% สิ้นปีมีรายได้รวมกัน 4,000 บาท อยากทราบว่ารัตนานำเงินไปลงทุนแต่ละประเภทเท่าใด

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com