การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาโดยใช้สูตร ก่อนที่จะกล่าวถึงเรื่องนี้ ก็ต้องพูดให้น้องๆได้เข้าใจ
ก่อนน่ะคับว่าการเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่การท่องจำสูตร น่ะคับ สูตรทุกอย่างมีที่มีที่ไป และมีการพิสูจน์แล้วว่าใช้ได้จริงๆ ไม่ได้มั่วทุกสูตรมีที่มาที่ไป ถ้าน้องๆว่างผมแนะนำให้ไปหาอ่านพวกบทพิสูจน์สูตรต่างๆว่ากว่าจะได้สูตรมาแต่ละอย่างเขามีวิธีการทำอย่างไรบ้าง มันจะทำให้เราเข้าอย่างลึกซึ้งคับและสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น เราไม่ได้จำอย่างเดียวอย่างน้อยเราก็รู้ว่ามันมีที่มาที่ไปอย่านี้น่ะ แต่บางครั้งเราก็ต้องมี
การท่องจำบ้างหลีกเลี่ยงไม่ได้ เพราะสถานการณ์มันบีบบังคับให้ต้องจำ คงไม่มีใครไปพิสูจน์สูตรเพื่อใช้เองในห้องสอบหรอกน่ะ เขียนมาซะยีดยาว วันนี้ผมก็จะมานำเสนอ การใช้สูตร ในการหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลากันคับ เป็นเนื้อหาความรู้วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3 น่ะคับ สามารถนำไปใช้สอบปลายภาคได้เลย วันนี้(8 กันยายน 2556 ) รู้สึกว่าใกล้วันสอบปลายภาคของน้องๆพอดีเลย เริ่มกันเลยคับไม่ยากน่ะ
ถ้าโจทย์กำหนดสมการพาราโบลาให้ในรูปแบบของสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\) เราสามารถหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาที่กำหนดโดยสมการแบบนี้ ดังนี้
จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดจะอยู่ที่
\[\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)\]
หลายคนอาจจะงงว่าใช้สูตรยังไง เราไปดูตัวอย่างการใช้สูตรคับ
1.จากสมการพาราโบลาที่กำหนดให้ในแต่ละข้อให้นักเรียนหาคำตอบต่อไปนี้
- เป็นาพาราโบลาคว่ำหรือหงาย
- จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่จุดใด
- แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร
- ค่ำต่ำสุดหรือคือสูงสุดคือ
1.1 กำหนดสมการพาราโบลา \(y=x^{2}+6x+8\)
วิธีทำ จากโจทย์ \(y=x^{2}+6x+8\) จะเห็นว่าสมการพาราโบลาอยู่ในรูปแบบของ สมการ
\(y=ax^{2}+bx+c\) เมื่อลองเที่ยบกันดูจะเห็นว่า
ค่า a=1 ,b=6 ,c=8
ค่าของ a=1 เป็นบวกดังนั้นเป็นพาราโบลาหงาย
มีจุดต่ำสุดอยู่ที่ ใช้สูตรเลยคับ
\(\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)\) แทนค่า a=1,b=6,c=8 ลงไปในสูตร จะได้
\(\left(\frac{-6}{2(1)},\frac{4(1)(8)-(6)^{2}}{4(1)}\right)\)
\(\left(\frac{-6}{2},\frac{32-36}{4}\right)\)
\(\left(-3,-1\right)\)
ดังนั้นจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (-3,-1)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3
ค่าต่ำสุดคือ y=-1
ไม่ยากน่ะง่ายๆ แต่ต้องจำสูตรให้ได้คับ
1.2 กำหนดสมการพาราโบลา \(y=x^{2}+12x+36\)
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าสมการพาราโบลาอยู่ในรูปแบบสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\) เมื่อลองเที่ยบกันดูจะเห็นว่า ค่า a=1 ,b=12 , c=36
ค่า a=1 เป็นบวกแสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย
มีค่าต่ำสุดอยู่ที่ ใช้สูตรในการหาต่ำสุดคับ
\(\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)\) แทนค่า a=1 ,b=12 , c=36 ลงไปในสูตรจะได้
\(\left(\frac{-12}{2(1)},\frac{4(1)(36)-12^{2}}{4(1)}\right)\)
\(\left(\frac{-12}{2},\frac{144-144}{4}\right)\)
\((-6,0)\)
ดังนั้นจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (-6,0)
แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-6
ค่าต่ำสุดคือ y=0
เสร็จแล้วคับ
เรื่องต่อไปที่คาดว่าจะเขียน แต่ไม่รู้จะได้เขียนหรือเปล่า คือเรื่องความคล้าย อันนี้ต้องดูก่อนว่า ว่างไหม ยังไงก็ติดตามดูและก็อ่านหนังสือทำความเข้าใจไปก่อนน่ะเรื่องความคล้ายไม่ยากเลยคับ
1.3 กำหนดสมการพาราโบลา \(y=2x^{2}-8x+20\)
วิธีทำ ข้อนี้จะมีรูปให้ดูด้วยนะคับ ไอ้จุดต่ำสุด หรือ จุดสูงสุด บางทีเขาเรียกจุด 2 จุดนี้ว่า จุดวกกลับ นะคับให้เราเข้าใจไว้ด้วย
จากสมการพาราโบลาที่โจทย์กำหนดให้จะได้ว่า \(a=2\quad ,b=-8\quad ,c=20\) ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสุดคือ ผมจะแยกหานะคับ
\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2\)
\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{4(2)(20)-(-8)^{2}}{4(2)}=\frac{160-64}{8}=\frac{96}{8}=12\)
ดังนั้นจุดต่ำสุด หรือว่า จุดวกกลับ คือ \((2,12)\) ดังรูปด้านล่างคับ
