ทฤษฎีบททวินาม

ทฤษฎีบททวินาม เป็นทฤษฎีที่เอาไว้กระจายพวกพหุนามที่มันยกกำลังเลขเยอะๆครับ เพราะถ้าคูณกันแบบธรรมดาอาจจะผิดพลาดได้  เรามาดูกันว่าทฤษฎีบททวินามนั้น มีลักษณะเป็นอย่างไร

ทฤษฎีบททวินาม

ถ้า \(x,y\) เป็นจำนวนจริงและ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

 \((x+y)^{n}=\binom{n}{0}x^{n-0}y^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\cdots +\binom{n}{r}x^{n-r}y^{r}+\cdots +\binom{n}{n}x^{n-n}y^{n}\)

ต่อไปเราไปดูการนำทฤษฎีบททวินามไปใช้กันครับ

ตัวอย่าง 1 จงกระจาย \((2x+3y^{2})^{4}\) โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(2x+3y^{2})^{4}&=&\binom{4}{0}(2x)^{4-0}(3y^{2})^{0}+\binom{4}{1}(2x)^{4-1}(3y^{2})^{1}+\binom{4}{2}(2x)^{4-2}(3y^{2})^{2}\\&+&\binom{4}{3}(2x)^{4-3}(3y^{2})^{3}+\binom{4}{4}(2x)^{4-4}(3y^{2})^{4}\\&=&(2x)^{4}+4(2x)^{3}(3y^{2})+6(2x)^{2}(3y^{2})^{2}+4(2x)(3y^{2})^{3}+(3y^{2})^{4}\\&=&16x^{4}+96x^{3}y^{2}+216x^{2}y^{4}+216xy^{6}+81y^{8}\end{array}

ตัวอย่าง 2 จงกระจาย \((2x-y)^{5}\) โดยใช้ทฤฎีบททวินาม

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(2x+(-y))^{5}&=&\binom{5}{0}(2x)^{5-0}(-y)^{0}+\binom{5}{1}(2x)^{5-1}(-y)^{1}+\binom{5}{2}(2x)^{5-2}(-y)^{2}+\binom{5}{3}(2x)^{5-3}(-y)^{3}\\&+&\binom{5}{4}(2x)^{5-4}(-y)^{4}+\binom{5}{5}(2x)^{5-5}(-y)^{5}\\&=&32x^{5}-80x^{4}y+80x^{3}y^{2}-40x^{2}y^{3}+10xy^{4}-y^{5}\end{array}

ตัวอย่าง 3 จงหาสัมประสิทธิ์ของ \(x^{6}y^{4}\) จากการกระจาย \((2x+3y)^{10}\)

วิธีทำ   ข้อนี้เราต้องกลับไปดูวิเคราะห์สูตรทฤษฎีบททวินามนิดหน่อยครับแล้วเราจะเห็นเองว่าจะหาคำตอบข้อนี้ได้อ่ยางไร  จะเห็นว่าขอนี้ \(n=10\) จะได้ว่าเวลาเรากระจายออกจะมีพจน์แบบนี้เกิดขึ้น

\(\binom{10}{\square}(2x)^{10-\square}(3y)^{\square}\) แต่ที่นี้เขาต้องการให้เลขยกำลังของ \(y\) เป็น \(4\)  ดังนั้น \(\square =4\)  นั่นเองครับเราจะได้ต่อดังนี้

\begin{array}{lcl}\binom{10}{\square}(2x)^{10-\square}(3y)^{\square}&=&\binom{10}{4}(2x)^{10-4}(3y)^{4}\\&=&210\times 2^{6}x^{6}\times 3^{4}y^{4}\\&=&210\times 64\times 81x^{6}y^{4}\\&=&1088640x^{6}y^{4}\end{array}

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ \(x^{6}y^{4}\) คือ \(1088640\)

ตัวอย่าง 4   จงหาสัมประสิทธิ์ของ \(x^{9}y^{14}\) จากการกระจาย \((x^{3}-3y^{2})^{10}\)

วิธีทำ   ทำเหมือนของข้างบนเลยครับจะเห็นว่า \(n=10\) นั่นเองดังนั้นเวลากระจายจะมีพจน์แบบนี้เกิดขึ้น

\(\binom{10}{\square}(x^{3})^{10-\square}(-3y^{2})^{\square}\) จะเห็นว่าโจทย์ต้องการให้ y มีเลขชี้กำลังเท่ากับ 14 ดังนั้น \(\square=7\) นั่นเองคิดตามด้วยนะจะได้ต่อว่า

\begin{array}{lcl}\binom{10}{7}(x^{3})^{10-7}(-3y^{2})^{7}&=&120x^{9}(-3)^{7}y^{7\times 2}\\&=&120\times (-2187)x^{9}y^{14}\\&=&-262,440x^{9}y^{14}\end{array}

ดังนั้น  สัมประสิทธิ์ของ \(x^{9}y^{14}\) คือ \(-262,440\)  นั่นเองครับ

ตัวอย่าง 5  จงหาพจน์ที่อยู่ตรงกลางจากกระจาย \((2x-3)^{10}\)

วิธีทำ   ข้อนี้ถ้าเราไปดูสูตรของทฤษฎีบททวินามเราจะเห็นว่า เราต้องเริ่มกระจายตั้งแต่

\(\binom{10}{0}(2x)^{10-0}(-3)^{0}+\binom{10}{1}(2x)^{10-1}(-3)^{1}+\cdots +\binom{10}{10}(2x)^{10-10}(-3)^{10}\)  จะเห็นว่ามีทั้งหมด 11 พจน์ นั่นคือพจน์ที่อยู่ตรงกลางคือพจน์ที่ 6 นั่นเอง ซึ่งถ้าเราคิดต่อจะเห็นว่าพจน์ที่อยู่ตรงกลางคือก้อนนี้ครับ

\(\binom{10}{5}(2x)^{10-5}(-3)^{5}\) 

ต่อไปเราก็ทำการทำให้เป็นผลสำเร็จต่อครับ

\begin{array}{lcl}\binom{10}{5}(2x)^{10-5}(-3)^{5}&=&\binom{10}{5}(2x)^{5}(-3)^{5}\\&=&252\times 2^{5}\times (-3)^{5}x^{5}\\&=&-1,959,552‬x^{5}\end{array}

ตัวอย่างที่ 6  ในการกระจาย \(\left(x^{2}+\frac{2}{x^{3}}\right)^{10}\)  โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าพจน์ที่มีค่าคงตัวเท่ากับเท่าใด ( ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ 2555)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้หาพจน์ที่เป็นค่าคงตัวก็คือหาพจน์ที่ไม่ติดแปรนั่นเองครับ  ฉะนั้นตัวแปรจะหายได้ก็คือตัวแปรนั้นมันต้องยกกำลังศูนย์ใช่ไหม เพราะว่า \(x^{0}=1\)  เรามาลองทำกันเลยครับ ทำคล้ายๆกับตัวอย่างที่ 4 ครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\binom{10}{\square}(x^{2})^{10-\square}(2x^{-3})^{\square}&=&x^{20-2\square}x^{-3\square}2^{\square}\end{array}

note: จะเห็นว่าเราต้องการให้ตัวแปรก็คือเอ็กซ์มันยกกำลังศูนย์ ดังนั้นไอ้พวกนี้บวกกันต้องได้ ศูนย์ ก็คือ

\begin{array}{lcl}20-2\square-3\square&=&0\\-5\square&=&-20\\\square&=&4\end{array}

นั่นก็คือถ้า \(\square = 0\)  ตัวแปร x ก็จะหายไปแล้วพจน์นี้ก็จะเป็นพจน์ค่าคงตัวครับทำต่อไปเลยจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\binom{10}{4}(x^{2})^{10-4}(2x^{-3})^{4}&=&\binom{10}{4}x^{12}x^{-12}2^{4}\\&=&\binom{10}{4}2^{4}\\&=&\frac{10!}{6!4!}16\\&=&3360\end{array}

ดังนั้นพจน์ที่เป็นค่าคงตัวก็คือ 3360 นั่นเองครับ

ตัวอย่างที่ 7  จงหาสัมประสิทธิ์ของ \(x^{7}\) จากการกระจาย \((2x-3)^{10}\)

วิธีทำ  พยายามดูวิธีการทำและคิดตามดีๆนะครับผม

\begin{array}{lcl}\binom{10}{r}(2x)^{10-r}(-3)^{r}&=&\binom{10}{3}(2x)^{10-3}(-3)^{3}\\&=&(120)(2x)^{7}(-27)\\&=&(120)(2)^{7}(x)^{7}(-27)\\&=&-414720x^{7}\end{array}

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ \(x^{7}\) คือ \(-414720\)

ดูวิดีโอประกอบได้ครับข้อนี้