ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูป
แบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร
|
นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน \(f=\{(x,y)\in R \times R^{+} \mid y=a^{x} ,a>0,a\neq 1\}\) |
จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1 ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น
\(y=10^{x}\)
\(y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
\(y=(\sin 30^{\circ})^{x}\)
\(y=(\sqrt{2})^{x}\)
ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ ซึ่งมีมากมายครับ นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นครับ
ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \(y=3^{x}\)
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้
ถ้า \(x=-2\) จะได้
จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย -2 ได้ว่า
\(y=3^{-2}\)
\(y=\frac{1}{3^{2}}\)
\(y=\frac{1}{9}\)
นั่นคือ ถ้า \(x=-2\) ได้ว่า \(y=\frac{1}{9}\)
ถ้า \(x=-1\) จะได้
จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย -1 ได้ว่า
\(y=3^{-1}\)
\(y=\frac{1}{3^{1}}\)
\(y=\frac{1}{3}\)
นั่นคือ ถ้า \(x=-1\) ได้ว่า \(y=\frac{1}{3}\)
ถ้า \(x=0\) จะได้
จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 0 ได้ว่า
\(y=3^{0}\)
\(y=1\)
นั่นคือ ถ้า \(x=0\) ได้ว่า \(y=1\)
ถ้า \(x=1\) จะได้
จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 1 ได้ว่า
\(y=3^{1}\)
\(y=3\)
นั่นคือ ถ้า \(x=1\) ได้ว่า \(y=3\)
ถ้า \(x=2\) จะได้
จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 2 ได้ว่า
\(y=3^{2}\)
\(y=9\)
นั่นคือ ถ้า \(x=2\) ได้ว่า \(y=9\)
นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมาครับ
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) |
จากตารางจะได้คู่อันดับ
\((-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9)\)
นำคู่อันดับไปพลอตกราฟครับ ก็จะได้กราฟดังนี้ครับ
เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงครับ
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\)
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้
ถ้าให้ \(x=-2\) จะได้ค่า y คือ
\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \)
\(y=\frac{(1)^{-2}}{(4)^{-2}}=4^{2}=16\)
นั้นคือ ถ้าให้ \(x=-2\) ได้ \(y=16\)
ถ้าให้ \(x=-1\) จะได้ค่า y คือ
\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\)
\(y=\frac{(1)^{-1}}{(4)^{-1}}=4\)
นั่นคือ ถ้าให้ \(x=-1\) จะได้ \(y=4\)
ถ้าให้ \(x=0\) จะได้ค่า y คือ
\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{0}=1\) จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
นั้นคือ ถ้าให้ \(x=0 \) จะได้ \(y=1\)
ถ้าให้ \(x=1\) จะได้ค่า y คือ
\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{1}{4}\)
นั่นคือ ถ้าให้ \(x=1\) จะได้ \(y=\frac{1}{4}\)
ถ้าให้ \(x=2\) จะได้ค่า y คือ
\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\)
นั้นคือ ถ้าให้ \(x=2\) จะได้ \(y=\frac{1}{16}\)
จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตารางคับ จะได้
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y\) | \(16\) | \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{16}\) |
นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างครับ
กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคับ แต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆคับ
จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า
ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) |
ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น
เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y\) | \(16\) | \(4\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{16}\) |
ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ \(y=a^{x}\) ถ้า ค่า \(a>1\) ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น
\(y=5^{x}\) \(,a=5\) ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
\(y=4^{2x}=(4^{2})^{x}=16^{x} \) \(,a=16\) ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มคับ
แต่ถ้า ค่าของ \( 0<a<1\) ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดคับ ยกตัวอย่างเช่น
\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) \(,a=\frac{1}{2}\) ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลดคับ
\(y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) \(,a=\frac{1}{3}\) ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดคับ
มาดูกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล กันหลายๆแบบครับ เป็นกราฟที่ plot โดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับใครอยากใช้ก็ไปดาวน์โหลดมาใช้ได้ฟรีเลยครับ ซึ่งจะเห็นได้ว่า กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,1)\) เสมอครับ และจะมีกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และเป็นฟังก์ชันลด ดูตามรูปได้เลยครับผม หวังว่าคงจะเห็นภาพชัดเจนมากขึ้นนะครับ
ติดตามข้อมูลและเรียนรู้การทำแบบฝึกหัด 1.4 คณิตศาสตร์ ม.5 เพิ่มเติมได้ทีคลิปวิดีโอข้างล่างนี้ได้