การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น หรือ ภาษาอังกฤษ คือ Linear Permutation เป็นนำสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนในแนวเส้นตรง ซึ่งก็จะแบ่งการเรียงออกเป็น
- การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
- การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่มีสิ่งของบางสิ่งเหมือนกันหรือซ้ำกัน
แต่ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด มาเริ่มกันเลยครับ
สมมติผมมีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่งคือ A,B,C
นำมาจัดเรียงในที่นี้ก็คือนำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นคราวละ 3 สิ่ง ก็จะได้ 6 วิธีที่แตกต่างกันคือ
วิธี 1 คือ A,B,C
วิธี 2 คือ A,C,B
วิธี 3 คือ C,A,B
วิธี 4 คือ C,B,A
วิธี 5 คือ B,C,A
วิธี 6 คือ B,A,C
แต่ถ้าผมหยิบของนำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2 สิ่งก็จะได้ 6 วิธี คือ
วิธี 1 คือ A,B
วิธี 2 คือ A,C
วิธี 3 คือ B,C
วิธี 4 คือ B,A
วิธี 5 คือ C,A
วิธี 6 คือ C,B
****ในเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนเราถือว่า A,B กับ B,A เป็นวิธีการที่แตกต่างกัน
แต่ถ้าผมหยิบของนำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 1 สิ่งก็จะได้ 3 วิธี คือ
วิธี 1 คือ A
วิธี 2 คือ B
วิธี 3 คือ C
ทั้งหมดที่ผมยกตัวอย่างคือ concept ของการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น แต่ถ้าเราใช้สูตรในการคำนวณหาวิธีการทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนก็จะใช้สูตร
\[P_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}\]
เมื่อ n คือจำนวนสิ่งของทั้งหมด และ r คือจำนวนสิ่งของที่หยิบมาเรียงสับเปลี่ยน
ความหมายของสูตรก็คือมีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นำหรือว่าหยิบมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ r สิ่ง
เช่นถ้าเรา มีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่ง คือ A,B,C
นำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 3 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด
\(P_{3,3}=\frac{3!}{(3-3)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{3!}{1!}=6\) วิธี
แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด
\(P_{3,2}=\frac{3!}{(3-2)!}=6\) วิธี
แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 1 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลียนทั้งหมด
\(P_{3,1}=\frac{3!}{(3-1)!}=3 \) วิธี เท่ากันกับที่ผมได้ยกตัวอย่างไว้ข้างบน
มาดูตัวอย่างแบบฝึกหัดกันเลยครับ
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าจัดให้นักเรียน 3 คน คือ ก ข และ ค ยืนเรียงกันเป็นแนวเส้นตรงจะจัดได้กี่วิธี
วิธีทำ ก็คือการนำสิ่งของแตกต่างกัน 3 สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้
\(P_{3,3}=\frac{3!}{(3-3)!}=3!=6\) วิธี
ได้ 6 วิธี แต่ แต่ละวิธีมีหน้าตาเป็นอย่างไรเราไม่สนใจนะครับสนใจเฉพาะจำนวนวิธีเฉยๆ
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าจัดลูกบอลที่แตกต่างกัน 5 ลูก ลงในกล่อง 3 ใบที่วางเรียงกันได้กี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ก็เหมือนหยิงสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนโดยหยิบคราวละ 3 สิ่งดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ
\(P_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!}=60\) วิธี
ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร A,B,C,D,E,F โดยที่ D,E,F อยู่ติดกัน
วิธีทำ โจทย์แบบนี้ออกบ่อยต้องการให้สิ่งของอยู่ติดกัน เราก็จับสิ่งของที่ต้องการให้ติดกันมัดรวมกันแล้วนับเป็นหนึ่งมัด ฉะนั้นตอนนี้เรามีส่ิงของทั้งหมด 4 สิ่งต่อไปนำสิ่งของเหล่านี้มาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้จำนวนวิธี
คือ \(P_{4,4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24\) วิธี แต่งานยังไม่เสร็จนะ เพราะไอ้ที่เรามัดรวมกันไว้มันสลับที่ภายในมัดได้ก็ต้องไปคำนวณตรงนี้อีก ซึ่งในมัดมีสิ่งของ 3 สิ่งใช่ไหมครับ คือ D,E,Fเอาสิ่งของเหล่านี้มีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเลยก็จะได้จำนวณวิธีทั้งหมด
คือ \(P_{3,3}=6\) วิธี
แล้วนำ มาคูณกันก็จะได้คำตอบ คือ \(24\times 6 =144\) วิธี
อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งที่ต้องนำมาคูณเพราะข้อนี้เราใช้กฏการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือ นำสิ่งของทั้งหมดมาเรียงเรียงสับเปลี่ยนทำได้ 24 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 คือ นำสิ่งของที่เรามัดรวมกันมาเรียงสับเปลี่ยนทำได้ 6 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการทำงานคือ \(24\times 6 =144\) ใครยังไม่แม่นกฏการคูณกลับไปอ่านเพิ่มเติมก่อนนะครับ
ตัวอย่างที่ 4 จงหาจำนวนวิธีในการจัดผู้ชาย 5 คน และผู้หญิง 2 คน ยืนเรียงแถว โดย
1) จัดยืนเรียงแถวโดยไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
ตอบ \(P_{7,7}=5040\)
2) จัดยืนเรียงแถวโดยให้ผู้หญิง 2 คนยืนติดกัน
ตอบ มัดผู้หญิงรวมกันก่อนทำเหมือนข้อก่อนหน้าจะได้ \(P_{6,6}\times P_{2,2}=1440\)
3) จัดยืนเรียงแถวโดยให้ผู้หญิง 2 คนยืนแยกกัน และหัวแถวกับท้ายแถวต้องเป็นผู้ชาย
ตอบ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือ จัดชายหัวยืนหัวแถวกับท้ายแถว จัดได้คือ
\(P_{5,2}=\frac{5!}{3!}=20\) วิธี
ขั้นตอนที่ 2 จัดตรงกลางที่อยู่ระหว่าง ชายหัวแถว กับชายท้ายแถวโดยหญิงต้องยืนแยกกัน
การจัดตรงนี้จะคิดแบบตรงกันข้ามครับก็คือ
จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = จำนวนวิธีในการยืนเรียงแถวแบบไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีที่ผู้หญิงยืนติดกัน
จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = 5! - 4!2!
จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = 120-48=72 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ \(20\times 72 =1440\) วิธี
ใครมีอะไรสงสัยสอบถามได้นะครับ
ตัวอย่างที่ 5 จะสร้างจำนวนที่มีสี่หลัก จากเลขโดด 2,4,6,8,9 ได้ทั้งหมดกี่จำนวน โดยที่แต่ละจำนวนนั้นต้องไม่มีเลขโดดในหลักใดซ้ำกันเลย
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับ มีของที่ต่างกันห้าสิ่งซึ่งก็คือตัวเลข 2,4,6,8,9 นำมาสร้างเลขสี่หลักก็คือนำสิ่งของมาจัดเรียงสับเปลี่ยนคราวละ4 สิ่งก็จะได้
\(P_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!)}\)
\(P_{5,4}=\frac{5!}{1!}\)
\(P_{5,4}=120\)
ดังนั้นจะสร้างเลขสี่หลักได้ 120 จำนวน
ตัวอย่างที่ 6 ในที่ทำงานแห่งหนึ่งมีตำแหน่งที่ต่างกันว่างอยู่ 5 ตำแหน่ง โดยที่เป็นตำแหน่งสำหรับชาย 3 ตำแหน่ง และตำแหน่งสำหรับผู้หญิง 2 ตำแหน่ง มีผู้มาสมัครเข้าทำงานเป็นชาย 6 คน หญิง 5 คน จะมีวิธีจัดคนที่มาสมัครเข้าทำงานได้กี่วิธี
วิธีทำ จะเห็นว่าข้อนี้เป็นการทำงานสองขั้นตอน คือจัดตำแหน่งของสำหรับชายและจัดตำแหน่งสำหรับหญิง เมื่อเป็นการทำงานสองขั้นตอนข้อนี้ต้องใช้กฎการคูณ
จัดตำแหน่งสำหรับชายได้ \(P_{6,3}\)
จัดตำแหน่งสำหรับหญิงได้ \(P_{5,2}\)
จำนวนวิธีจัดคนเข้าทำงานคือ
\(P_{6,3} \times P_{5,2}\)
\(=\frac{6!}{(6-3)!} \times \frac{5!}{(5-2)!}\)
\(=\frac{6!}{3!} \times \frac{5!}{3!}\)
\(=6\times 5 \times 4 \times 5\times 4\)
\(=2400\) วิธี
ตัวอย่างที่ 7 จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดานโดยที่ไม่มีหญิง 2 คนใดยืนติดกัน
วิธีทำ ข้อนี้ใช้หลักการง่ายๆ เขาไม่อยากให้หญิงยืนติดกัน เราก็จัดชายก่อนแล้วค่อยเอาหญิงมาแทรก ดูรูปประกอบนะครับ
ชายมีทั้งหมด 6 คน เอามาเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด ได้จำนวนวิธีในการจัดคือ 6! วิธี
ต่อไปจัดหญิงเข้าไปแทรกซึ่งมีที่ให้แทรก 7 ที่
หญิงคนที่ 1 แทรกได้ 7 วิธี
หญิงคนที่ 2 แทรกได้ 6 วิธี
หญิงคนที่ 3 แทรกได้ 5 วิธี
ดังนั้นจัดนวนวิธีจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คนยืนแถวหน้ากระดานโดยไม่มีหญิง 2 คนยืนติดกันเท่ากับ
\(6!\times 7 \times 6 \times 5\)=151,200 วิธี
ตัวอย่างที่ 8 จำนวนคี่ที่มากกว่า 300 แต่น้อยกว่า 900 มีทั้งหมดกี่จำนวนโดยที่เลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแยกทำเป็นสองกรณี ไม่อย่างนั้นจะทำไม่ได้จะเกิดการขัดแย้งในระหว่างที่เราเลือกตัวเลขใส่ลงไปในแต่ละหลัก แยกทำเลยนะครับ พยายามอ่านให้เข้าใจ โจทย์แบบนี้ชอบออกข้อสอบ
กรณีที่ 1
หลักร้อย เป็นจำนวนคี่ คือ 3,5 และ 7
ฉะนั้นหลักร้อยเลือกเลขโดดได้ 3 วิธี คือเลข 3 หรือ 5 หรือ 7
หลักหน่วยเลือกได้ 4 วิธี หลักหน่วยต้องเป็นเลขคี่และเลขโดดต้องไม่ซ้ำกันในแต่ละหลัก คือถ้าเลือกเลข 7 เป็นหลักร้อยหลักหน่วย ก็เลขให้เลือกคือ 1,3,5,9 ก็คือเลือกได้ 4 วิธี ระวังนะเลือกเลข 7 ไม่ได้เพราะเข้าห้ามใช้เลขซ้ำ
หลักสิบ เลือกเลขโดดได้ 8 วิธี หลักสิบใส่เลขโดดอะไรลงไปก็ได้ แต่ห้ามไปซ้ำกับหลักหน่วยและหลักร้อย จากเลขโดดมีสิบตัวคือ เลฃ 0-9 เลือกใช้ไปแล้ว 2 ตัวดังนั้นเหลือ 8 ตัวให้เลือกก็คือเลือกได้ 8 วิธี
ดังนั้น มีวิธีสร้างจำนวนได้ \(3 \times 4 \times 8=96\) วิธี
กรณีที่ 2
หลักร้อย เป็นจำนวนคู่ คือ 4,6,8
ฉะนั้นหลักร้อยเลือกเลขโดดได้ 3 วิธี
หลักหน่วย เลือกเลขโดดได้ 5 วิธี หลักหน่วยเป็นจำนวนคี่และเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
หลักสิบ เลือกเลขโดดได้ 8 วิธี
ดังนั้น มีวิธีสร้างจำนวนได้ \(3 \times 5 \times 8 =120 \) วิธี
ดังนั้น จำนวนคี่ที่มีค่ามากกว่า 300 แต่น้อยกว่า 900 โดยที่เลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกันมี 96+120 = 216 จำนวน
ตัวอย่างที่ 9 มีหนังที่แตกต่างกัน 8 เล่ม ในจำนวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถวยาวแถวเดียว จะจัดได้กี่วิธี โดยที่หนังสือคณิตศาสตร์อยู่แยกกันทุกกลุ่ม
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนตัวอย่างที่ 7 ก็คือจัดหนังสือเล่มอื่นที่ไม่ใช้หนังสือคณิตศาสตร์ซึ่งมี 5 เล่ม
ดังนั้นจัดได้ \(5!\) วิธี จะเห็นว่ามีที่ว่างให้แทรกหนังสือคณิตศาสตร์ 6 ที่
ดังนั้น หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 1 เลือกแทรกในที่ว่างได้ 6 วิธี
หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 2 เลือกแทรกในที่ว่างได้ 5 วิธี
หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 3 เลือกแทรกในที่ว่างได้ 4 วิธี
ฉะนั้น จัดหนังสือคณิตศาสตร์แทรกได้ \(6 \times 5 \times 4 =120 \) วิธี
นั่นคือ จำนวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 8 เล่ม เท่ากับ \(5! \times 120 = 14400\) วิธี
ตัวอย่างที่ 10 จะจัดคน 5 คนยืนเป็นแถวเพื่อถ่ายรูป โดยจะถ่ายทีละกีคนก็ได้ จะมีภาพถ่ายที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่ภาพ
วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยว่าต้องแยกเป็นกรณีในการคิดเพราะบอกว่าถ่ายทีละกี่คนก็ได้
กรณีที่ 1 ถ่ายทีละ 1 คน
ฉะนั้นถ้าถ่ายทีละ 1 คน มีคน 5 คน ก็จะได้ภาพที่แตกต่างกัน 5 ภาพ
กรณีที่ 2 ถ่ายทีละ 2 คน
ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=20\) ภาพที่แตกต่างกัน
กรณีที่ 3 ถ่ายทีละ 3 คน
ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,3}=\frac{5!}{2!}=60\) ภาพที่แตกต่างกัน
กรณีที่ 4 ถ่ายทีละ 4 คน
ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,4}=\frac{5!}{1!}=120\) ภาพที่แตกต่างกัน
กรณีที่ 5 ถ่ายทีละ 5 คน
ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,5}=\frac{5!}{1}=5!=120\) ภาพที่แตกต่างกัน
ดังนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกันทั้งหมด \(5+20+60+120+120=325 \) ภาพ
ตัวอย่างที่ 11 มีหนังสือเคมี 3 เล่มต่างกัน หนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่มต่างกัน และหนังสือภาษาอังกฤษ 4 เล่มต่างกัน จะจัดวางบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี
1. ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2. ถ้าหนังสือคณิตศาสตร์วางในตำแหน่งหัวแถวและหางแถว
3.ถ้าหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
วิธีทำ
1.ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม ก็คือนำสิ่งของที่ต่างกันทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด (3+2+4)! วิธี
2. ถ้าหนังสือคณิตศาสตร์วางในตำแหน่งหัวแถวและหางแถว
หนังสือคณิตศาสตร์มี 2 เล่มดังนั้นจะไปว่างหัวแถวท้ายแถวได้ 2 วิธี ก็คือ
คณิตเล่มที่ 1...................คณิตเล่มที่ 2
คณิตเล่มที่ 2...................คณิตเล่มที่ 1
แบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณีก็ได้
กรณีที่ 1 คือจัดวางหนังสือคณิตแบบ คณิตเล่มที่ 1....................คณิตเล่มที่ 2
ดังนั้นเอาหนังสือ เคมี 3 เล่ม และภาษาอังกฤษ 4 เล่มมาเรียงสับเปลี่ยนระหว่างหนังสือคณิต 2 เล่นได้ (3+4)! วิธี
กรณีที่ 2 คือจัดวางหนังสือคณิตแบบ คณิตเล่มที่ 2......................คณิตเล่มที่ 1
ดังนั้นเอาหนังสือ เคมี 3 เล่ม และภาษาอังกฤษ 4 เล่มมาเรียงสับเปลี่ยนระหว่างหนังสือคณิต 2 เล่นได้ (3+4)! วิธี
ดังนั้นขอ 2. ตอบ (3+4)!+(3+4)!=2(7!)
3.ถ้าหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
จัดหนังสือแต่ละวิชาหมัดรวมกัน แล้วนำมาจัดวางสลับกันได้ 3! วิธี
หนังสือเคมี 3 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 3! วิธี
หนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 2! วิธี
หนังสือภาษาอังกฤษ 4 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 4! วิธี
ดังนั้น มีวิธีจ้ัดได้ทั้งหมด 3!3!2!4!=1728 วิธี
ตัวอย่างที่ 12 ครูคนหนึ่งนำนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน มาถ่ายรูปร่วมกับครู โดยยืนเป็นแถวยาว จะมีวิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
1) ครูยืนตรงกลาง
วิธีทำ แนวคิดข้อนี้คือจัดให้ครูยืนตรงกลางก่อน แล้วเอานักเรียนที่เหลือ 8 คน มายืนเรียงสับเปลี่ยนกันครับตามรูป
ฉะนั้นข้อนี้ก็คือ จัดครูทิ้งไว้ตรงกลางก่อน แล้วเอาคนที่เหลือ 8 คนมาเรียงสับเปลี่ยนฉะนั้นถ้าให้ครูยืนตรงกลางจะจัดการยืนเรียงกันแบบนี้ได้ทั้งหมด \(8!=40320\) วิธี ครับ
2) ครูยืนตรงกลาง นักเรียนชายยืนติดกัน และนักเรียนหญิงยืนติดกัน
วิธีทำ การทำข้อนี้ ดูจากรูปประกอบครับ
แนวคิดก็คือเขาต้องการให้หญิงติดกัน และชายก็ติดกันเราก็เอาชายมามัดรวมกัน และหญิงมามัดรวมกัน จะได้ก้อน 2 ก้อน เอาสองก้อนนี้มาเรียงสับเปลี่ยนกัน ทำได้ \(2!\) วิธี ต่อไปภายในก้อนสองก้อนนี้ของชายและหญิงมันสับเปลี่ยนกันข้างในได้ครับ สับเปลี่ยนข้างในก้อนผู้ชายทำได้ \(4!\) วิธี และสับเปลี่ยนข้างในก้อนผู้หญิงทำได้ \(4!\) วิธี ดังนั้นการยืนเรียงแถวแบบนี้ทำได้ทั้งหมด \(2!4!4!=1152\) วิธี
3) ครูยืนตรงกลางและติดกับนักเรียนชายคนหนึ่งและนักเรียนหญิงคนหนึ่ง
วิธีทำ ดูจากรูปนะครับ ข้อนี้อาจแยกคิดเป็น 2 กรณีก็ได้ หรือใครจะคิดรวบเป็นแค่ 1 กรณีก็ได้ครับ ดูรูปประกอบนะ
มาดูการคิด
กรณี 1 ก่อนครับ
มองเป็นการทำงาน 3 ขั้นตอนครับ
ขั้นตอนที่ 1 จัดนักเรียนหญิงมายืนข้างครูก่อน ทำได้ทั้งหมด \(P_{4,1}\) วิธี
ขั้นตอนที่ 2 จัดนักเรียนชายมายืนข้างครูด้วย ทำได้ทั้งหมด \(P_{4,1}\) วิธี
ขั้นตอนที่ 3 จัดนักเรียนที่เหลือคือเหลือนักเรียนชาย 3 คนและนักเรียนหญิง 3 คนมาเรียงสับเปลี่ยนทำได้ \(P_{6,6}=6!\) วิธี ดังนั้นใน กรณี 1 จะยืนได้ทั้งหมด
\(P_{4,1}\times P_{4,1}\times P_{6,6}=4\times 4\times 6!=11520\) วิธี
กรณี 2 ทำเหมือนกรณี 1 เลยครับได้คำตอบเท่ากันครับคือ \(11520\) วิธี
ดังนั้น
ครูยืนตรงกลางและติดกับนักเรียนชายคนหนึ่งและนักเรียนหญิงคนหนึ่งทำได้ทั้งหมด \(11520+11520=23040\) วิธี
ตัวอย่างที่ 13 ในการบรรจุคนเข้าทำงานในต่างๆ 5 ตำแหน่ง เป็นตำแหน่งสำหรับบรรจุหญิง 3 คน และตำแหน่งสำหรับบรรจุชาย 2 คน เข้าทำงาน ถ้ามีผู้สมัครเป็นชาย 8 คน เป็นหญิง 5 คน จะมีวิธีบรรจุคนเข้าทำงานได้กีวิธี
วิธีทำ ข้อนี้มองให้เป็นการทำงานสองขั้นตอน คือจะใช้กฎการคูณในการหาคำตอบของข้อนี้
ขั้นตอนที่ 1 คือจำนวนวิธีในการบรรจุผู้หญิงเข้าทำงาน เนื่องจากมีผู้หญิงมาสมัครจำนวน 5 คนแต่รับบรรจุเข้าทำงานได้แค่ 3 คน นั่นคือจำนวนวิธีในการรับผู้หญิงบรรจุเข้าทำงานเท่ากับ \(P_{5,3}\) วิธี
ขั้นตอนที่ 2 คือจำนวนวิธีในการบรรจุผู้ชายเข้าทำงาน เนื่องจากมีผู้ชายมาสมัครงานจำนวน 8 คนแต่รับบรรจุเข้าทำงานได้แค่ 2 คน นั่นคือจำนวนวิธีในการรับผู้ชายบรรจุเข้าทำงานเท่ากับ \(P_{8,2}\) วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการบรรจุคนเข้าทำงานเท่ากับ
\(P_{5,3}\times P_{8,2}=3360\) วิธี
ตัวอย่างที่ 14 ต้องการใช้ตัวอักษ 4 ตัวจากคำว่า ABSOLUTE โดยที่อักษรทั้ง 4 ตัวนั้นไม่ซ้ำกัน จะสามารถสร้างคำได้ทั้งหมดกี่คำโดยไม่คำนึงถึงความหมาย
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดอะไรมากเลย มีสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด 8 สิ่ง เลือกมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 4 สิ่งจะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ
\(P_{8,4}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}P_{8,4}&=&\frac{8!}{(8-4)!}\\&=&\frac{8!}{4!}\\&=&8\times 7\times 6\times 5\\&=&1680\end{array}
นั่นคือสร้างได้ทั้งหมด 1680 คำ
ตัวอย่างที่ 15 มีหน้งสือคณิตศาสตร์แตกต่างกัน 3 เล่ม มีหนังสือฟิสิกส์แตกต่าง 5 เล่ม ต้องการจัดหนังสือจำนวน 5 เล่มบนชั้นหนังสือเป็นแถวยาว จะมีวิธีการจัดหนังสือทั้งหมดกี่วิธี เมื่อมีหนังสือคณิตศาสตร์บนชั้นอย่างน้อย 1 เล่ม
วิธีทำ ข้อนี้เขาต้องการรู้ว่าการจัดเรียงหนังสือจำนวน 5 เล่มในชั้นหนังสือโดยในต้องมีหนังสือคณิตอย่างน้อย 1 เล่มจะมีทั้งหมดกี่วิธี
เราก็คิดแบบนี้คับ เราเอาวิธีการเรียงทั้งหมด ลบออกด้วย การจัดเรียงแบบที่ไม่มีหนังสือคณิตเลย ก็จะได้ การจัดเรียงที่มีหนังสือคณิต
วิธีทำ หนังมีทั้งหมด 8 เล่ม เลือกมา 5 เล่มเพื่อมาเรียงบนชั้น
จะได้วิธีการเรียงทั้งหมดคือ \(P_{8,5}=\frac{8!}{(8-5)!}=6720\)
วิธีการจัดเรียงโดยไม่มีหนังสือคณิตเลยก็คือเอาหนังสือฟิสิกส์มาจัดนั่นเองจะได้ \(P_{5,5}=5!=120\)
ข้อนี้ตอบ \(6720-120=6600\) วิธี