วันนี้มาฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5  คณิตศาสตร์พื้นฐานผมจะเฉลยให้ดูบางข้อสำหรับคนที่เรียนในห้องเรียนไม่ทันหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษ ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจครับ ไม่ยากมากครับ

1. ในการจับสลากชื่อของนักเรียน 30 คน ซึ่งเป็นชาย 18 คน หญิง 12 คน จงหาความน่าจะเป็นในการที่จับสลากใบแรกได้

1) นักเรียนชาย

2) นักเรียนหญิง

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับแน่นอนครับจากสูตรในการหาค่าความน่าจะเป็นคือ

\[P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\]

n(S)   ในที่นี้ก็คือจำนวนนักเรียนทั้งหมดดังนั้น   \(n(S)=30\)    

โจทย์บอกว่าจงหาความน่าจะเป็นในการที่จับสลากใบแรกได้นักเรียนชาย จากตรงนี้เราจะได้ว่า  \(n(E)=18\)   เพราะนักเรียนชายมี 18 คน ดังนั้น

ความน่าจะเป็นที่จะจับสลากใบแรกได้ชื่อนักเรียนชายคือ  \(\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะจับสลากใบแรกแล้วได้ชื่อนักเรียนหญิงก็คือ \(\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)

---

2. ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่ 4 คู่ เป็นถุงเท้าสีดำ 2 คู่ และสีขาว 2 คู่ ถ้าทำการทดลองสุ่มโดยหยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีเดียวกัน

วิธีทำ ข้อนี้ระวังการหาค่าของ \(n(S)\)  ครับ ข้อนี้ผมจะพยายามไม่ใช้สูตรในการหา \(n(S)\)  นะครับเพื่อการเห็นภาพที่ชัดเจน    ผมจะกำหนดให้

ด1  คือ ถุงเท้าสีดำคู่ที่ 1

ด2   คือ ถุงเท้าสีดำคู่ที่ 2

ข1   คือ ถุงเท้าสีขาวคู่ที่ 1

ข2   คือ ถุงเท้าสีขาวคู่ที่ 2

เราก็จะได้ถุงเท้าพวกนี้อยู่ในลิ้นชักเดียวกัน

ด1,ด2, ข1,  ข2     

แล้วโจทย์บอกว่าสุ่มหยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ดังนั้น เราจะได้จำนวนวิธีในการสุ่มหยิบทั้งหมดคือ

{(ด1ด2),(ด1ข1),(ด1ข2),(ด2ข1),(ด2ข2),(ข1ข2)}

ก็จะได้ว่า  \(n(S)=6\)

และอีกอย่าที่เราได้คือสุ่มหยิบแล้วได้ถุงเท้าสีเดียวกันคือ

{(ด1ด2),(ข1ข2)}

ก็จะได้ว่า  \(n(E)=2\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบถุงเท้าแล้วได้ถุงเท้าสีเดียวกันเท่ากับ

\[P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

ไม่ยากนะครับถ้าใครมองภาพออกข้อนี้ทำง่ายนิดเดียวเอง

---

3.ในกล่องใบหนึ่งมีเบี้ย 6 อัน ซึ่งแต่ละอันเขียนตัวเลข 3,4,7,9,10  หรือ 11 ไว้ถ้าสุ่มหยิบเบี้ย 1 อัน ออกมาจากกล่องใบนี้ จงหาโอกาสที่จะได้เบี้ยที่มีตัวเลขที่เป็น

1) จำนวนคู่

2) จำนวนเฉพาะ

3) จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว

4) จำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับโจทย์บอกว่ามีเบี้ย 6 อันซึ่งแต่ละอันมีตัวเลขกำกับไว้สุ่มหยิบเบี้อออก 1 อันดังนัันแซมเปิลสเปสหรือ S  ก็คือ

\(\{3,4,7,9,10,11\}\)    ซึ่ง     \(n(S)=6\)

ต่อไปทำหาคำตอบทีละข้อย่อยนะครับ

1) จงหาโอกาสที่จะหยิบได้เบี้ยเป็นจำนวนคู่

แสดงว่าเหตูการณ์ที่เราสนใจคือหยิบเบี้ยได้จำนวนคู่ก็คือ

\(E=\{4,10\}\)    ซึ่ง    \(n(E)=2\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เบี้ยเป็นจำนวนคู่คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

2) จงหาโอกาสที่จะหยิบได้เบี้ยเป็นจำนวนเฉพาะ

แสดงว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจคือหยิบได้เบี้ยที่เป็นจำนวนเฉพาะก็คือ

\(E=\{3,7,11\}\)    ซึ่ง    \(n(E)=3\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เบี้ยเป็นจำนวนเฉพาะคือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(s)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

3) จงหาโอกาสที่จะหยิบได้เบี้ยที่เป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว

แสดงว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจคือเบี้ยที่มีหมายที่หารด้วย 3 ลงตัวก็คือ

\(E=\{3,9\}\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เบี้ยที่เป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวคือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

4) จงหาโอกาสที่จะหยิบได้เบี้ยที่เป็นจำนวนที่กำลังสองสมบูณร์  จำนวนเป็นเป็นกำลังสองสมบูรณ์คือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(n^{2}\)    เมื่อ n เป็นจำนวนนับ นั่นคือเราจะได้ว่าเบี้ยที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ก็คือ  4 กับ 9    เพราะ  \(4=2^{2},9=3^{2}\)

\(E=\{3,9\}\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เบี้ยที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(s)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

---

4.ในกล่องใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู่ 5 หลอด ในจำนวนนี้มีหลอดดีอยู่ 3 หลอด และหลอดเสียอยู่ 2 หลอด ถ้าหยิบหลอดไฟฟ้าขึ้นมา 2 หลอด อย่างไม่เจาะจง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดี 1 หลอด

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดอะไรมาก ตาสี ตาสาไม่เคยเรียนหนังสือก็ทำได้  มีหลอดไฟ 5 หลอด

เป็นหลอดดี 3 หลอด ผมกำหนดให้

L1   เป็นหลอดดีดวงที่ 1

L2   เป็นหลอดดีดวงที่ 2

L3   เป็นหลอดดีดวงที่ 3

เป็นหลอดเสีย 2 หลอด และกำหนดให้

M1  เป็นหลอดเสียดวงที่ 1

M2  เป็นหลอดเสียดวงที่ 2

ดังนั้นสุ่มหยิบแบบไม่เจาะจงขึ้นมา 2 หลอดจะได้จำนวนวิธีทั้งหมดดังนี้

\(S=\{(L1L2),(L1L3),(L1M1),(L1M2),(L2L3),(L2M1)\\,(L2M2),(L3M1),(L3M2),(M1M2) \}\)    ซึ่งก็คือเราจะได้จำนวนวิธีในการสุ่มหยิบหลอดขึ้นมาที่แตกต่างกันทั้งหมด 10 วิธี นั่นคือ

\(n(S)=10\)

แต่โจทย์บอกว่าจงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดี 1 หลอด

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เราสนใจก็คือ

\(E=\{(L1M1),(L1M2),(L2M1),\\(L2M2),(L3M1),(L3M2)\}\)   นั่นก็คือ

\(n(E)=6\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดี 1 หลอด คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

---

5.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีต่างกัน

วิธีทำ ลูกบอลสีขาวมี 3 ลูก

กำหนดให้

\(w_{1}\) คือลูกบอลสีขาวลูกที่ 1

\(w_{2}\) คือลูกบอลสีขาวลูกที่ 2

\(w_{3}\) คือลูกบอลสีขาวลูกที่ 3

\(r_{1}\) คือลูกบอลสีแดงลูกที่ 1

\(r_{2}\) คือลูกบอลสีแดงลูกที่ 2

สุ่มหยิบลูกบอลพร้อมกันก็จะได้แซมเปิลสเปซดังนี้

\(S=\{w_{1}w_{2},w_{1}w_{3},w_{1}r_{1},w_{1}r_{2},w_{2}w_{3},w_{2}r_{1},w_{2}r_{2},w_{3}r_{1},w_{3}r_{2},r_{1}r_{2}\}\)

\(n(S)=10\)

ให้ \(E\) เป็นเหตุการณ์ที่หยิบออกมาแล้วลูกบอลสีต่างกันจะได้ว่า

\(E=\{w_{1}r_{1},w_{1}r_{2},w_{2}r_{1},w_{2}r_{2},w_{3}r_{1},w_{3}r_{2}\}\)

\(n(E)=6\)

นั่นคือความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบออกมาแล้วได้ลูกบอลสีต่างกันคือ

\(P(E)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

---

6.โยนลูกเต๋า 2 ลูก เหรียญ 2 เหรียญพร้อมๆกัน ความน่าจะเป็นที่ลูกเต่าทั้ง 2 ลูก ขึ้นหน้าตรงกันและเหรียญขึ้นหน้าต่างกันเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  โยนลูกเต๋า 2 ลูก เหรียญ 2 เหรียญพร้อมๆกัน ดังนั้นจำนวนเหตูการณ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ

\(n(S)=6\times 6\times 2\times 2=144\)

สนใจเหตุการณ์ที่ลูกเต่าทั้ง 2 ลูก ขึ้นหน้าตรงกันและเหรียญขึ้นหน้าต่างกัน นั่นคือสนใจอันนี้

(1,1,T,H),(1,1,H,T)

(2,2,T,H),(2,2,H,T)

(3,3,T,H),(3,3,H,T)

(4,4,T,H),(4,4,H,T)

(5,5,T,H),(5,5,H,T)

(6,6,T,H),(6,6,H,T)

นั่นคือ \(n(E)=12\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขี้นแต้มตรงกันและเหรียญขึ้นหน้าต่างกันเท่ากับ

\(P(E)=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}\)

---

7.ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนน้อยกว่า 200 จากการจัดเลขโดด 3 ตัวคือ 1,2,3 และแต่ละหลักเลขโดดต้องไม่ซ้ำกัน  เป็นเท่าใด

วิธีทำ  หาแซมเปิลสเปซก่อนครับ แซมเปิลสเปซในที่นี้ก็คือ จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดจากการนำเลขโดด 1,2,3 มาจัดให้เป็นจำนวนต่างๆที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยเลขโดดไม่ซ้ำกัน เริ่มหากันเลย แบ่งกรณีในการหาครับ

กรณี 1 นำเลขโดด 1,2,3 มาจัดเป็นจำนวน 1 หลักได้

3 จำนวนคือ 1,2,3

กรณี 2 นำเลขโดด 1,2,3 มาจัดเป็นจำนวน 2 หลักได้

6จำนวนคือ 12,13,23,21,31,32

กรณี 3 นำเลขโดด 1,2,3 มาจัดเป็นจำนวน 3 หลักได้

6 จำนวนคือ 123,132,213,231,312,321 สามารถใช้กฎการคูณคิดได้นะ

ดังนั้นใช้เลขโดด 3 ตัวคือ 1,2,3 มาสร้างจำนวนได้ทั้งหมด 3+6+6=15 จำนวน 

นั่นคือ \(n(S)=15\)

ต่อไปเหตุการที่เราสนใจคือเหตุการณ์จำนวนที่สร้างขึ้นมานั้นเป็นจำนวนที่น้อยกว่า 200 จะแบ่งกรณีในการคิดเป็นดังนี้

กรณี 1 เลขโดดหนึ่งหลักที่น้อยกว่า 200 

ก็จะมี 3 จำนวนคือเลข 1,2 และ 3

กรณี 2 เลขโดดสองหลักที่น้อยกว่า 200 

ก็จะมี 6 จำนวนคือ เลข  12,13,23,21,31,32 ใช้กฎการคูณคิดก็ได้ครับ

กรณี 3  เลขโดดสามหลักที่น้อยกว่า 200 

ก็จะมี 2 จำนวนคือเลข 123,132

ดังนั้นใช้เลขโดด 3 ตัวคือ 1,2,3 มาสร้างจำนวนที่น้อยกว่า 200 ได้เท่ากับ 3+6+2=11 จำนวน 

นั่นคือ \(n(E)=11\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนน้อยกว่า 200 คือ \(\frac{11}{15}\)

นี่คือตัวอย่างการหาค่าความน่าจะเป็นที่ยังไม่ยากเท่าไรครับสามารถฝึกทำโจทย์เพิ่มเติมที่ลิงค์นี้ครับโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5

เรื่องนี้มีคลิปให้ดูด้วยครับตามด้านล่างเลย