-
การแก้สมการ
ในหัวข้อนี้จะพูดถึงเรื่องการแก้สมการนะครับ ในการแก้สมการในหัวข้อนี้อาจจะเป็นสมการดีกรี 1 หรือสมการดีกรี 2 ดีกรี 3 และดีกรีที่สูงขึ้นไป จริงๆแล้วเรื่องการแก้สมการผมได้เขียนไว้เยอะแล้วในเว็บไซต์ลองไปอ่านตามลิงค์ด้านล่าง แต่ผมจะเขียนเพิ่มเติมอีกในหัวข้อนี้เพื่อที่จะได้ มีโจทย์ที่หลากหลายขึ้นครับ
- การแก้สมการรูทซ้อนรูทยาวๆ
- ระบบสมการเชิงเส้น
- สมการค่าสัมบูรณ์
- สมการเส้นตรง
- การแก้สมการตรีโกณมิติ
- การแก้สมการเศษส่วนพหุนาม
- การแก้สมการติดรูท
- สมการพหุนาม ม.5
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- การแก้สมการจำนวนเชิงซ้อน
- โจทย์สมการกำลังสอง ม.3
- การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
- แบบฝึกหัดเกี่ยวกับสมการกำลังสอง
- ระบบสมการ ม.3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม
- การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
- สมการกำลังสองม.3 ตอนที่ 2
- สมการกำลังสอง ม.3 ตอนที่ 1
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 3
- การแก้สมการลอการิทึม
- การแก้สมการโดยวิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร(2)
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
- ตัวอย่างการแก้สมการโดยใช้สูตร (1-7x)(3+5x)=-105
- การแก้โจทย์ปัญหาสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- ความรู้เรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว 2
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว1
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว(ต่อ)
- โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เอาละก่อนจะแก้สมการเรามารู้จัก "สมการ" ก่อนครับ
ประโยคหรือว่าข้อความต่างๆที่มีเครื่องหมายเท่ากับ(=) เราจะเรียกประโยคนั้นๆหรือข้อความนั้นๆว่า "สมการ" เช่น พวกนี้เรียกว่าสมการหมดเลย
\(x+2=0\)
\(2x-4=9\)
\(\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=\frac{2}{3}\)
ที่นี้ การแก้สมการ คือ อะไร
การแก้สมการพูดแบบบ้านๆ ก็คือ ก็หาค่าต่างๆมาแทนในตัวแปร แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง เช่น เรามีสมการคือ
\(x+2=0\) เมื่อเราแทน \(x\) ด้วย \(-2\) ในสมการเราจะได้ว่า
\(-2+2=0\)
\(0=0\) เห็นไหมว่าสมการเป็นจริง นี่แหละคับเรียกว่า การแก้สมการ คือหาค่าต่างๆมาแทนในตัวแปรเพื่อให้สมการเป็นจริงครับ แต่การหาค่าตัวแปรนั้นมีหลากหลายวิธีมากขี้นอยู่กับรูปแบบของสมการว่าจะเป็นแบบไหน เอาละเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ การแก้สมการกันเลยครับ
แบบฝึกหัดการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเป็นสิ่งพื้นฐานที่ทุกคนที่เรียนคณิตศาสตร์จำเป็นต้องทำให้ได้เพราะจะนำไปสู่ในการเรียนเรื่องที่ยากๆต่อไปครับ เรามาดูการทำแบบฝึกหัดการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกันเลย
1) จงแก้สมการ \(x+12=25\)
ข้อนี้ก็ไม่ยากครับ ก็คืออะไรเอ่ยบวกกับ 12 แล้วได้ 25 แค่นี้ครับหาได้ง่ายๆ เลย คำตอบคือ 13 นั่นเอง หรือจะทำแบบด้านล่างก็ได้
วิธีทำ ใช้วิธีการย้ายข้างหรือใครจะพูดว่าใช้วิธีการบวกเข้า หรือลบออกก็ได้ อันนี้แล้วแต่คนทำครับ
\begin{array}{lcl}x+12&=&25\\x&=&25-12\\x&=&13\end{array}
คำตอบคือ \(x=13\)
2) จงแก้สมการ \(3(y-1)=27\)
วิธีทำ ข้อนี้ย้ายข้างเอาง่ายๆ
\begin{array}{lcl}3(y-1)&=&27\\y-1&=&\frac{27}{3}\\y-1&=&9\\y&=&9+1\\y&=&10\end{array}
คำตอบคือ \(y=10\)
3) จงแก้สมการ \(3x-2=16\)
วิธีทำ ย้ายข้างธรรมดา
\begin{array}{lcl}3x-2&=&16\\3x&=&16+2\\3x&=&18\\x&=&\frac{18}{3}\\x&=&6\end{array}
คำตอบคือ \(x=6\)
4) จงแก้สมการ \(7x+4-x+3=-4x+2+5x\)
วิธีทำ ดูเหมือนยากแต่ไม่ยากครับค่อยๆดูตาม
\begin{array}{lcl}7x+4-x+3&=&-4x+2+5x\\7x-x+4+3&=&-4x+5x+2\\6x+7&=&x+2\\6x-x&=&2-7\\5x&=&-5\\x&=&\frac{-5}{5}\\x&=&-1\end{array}
คำตอบของสมการคือ \(x=-1\)
สามารถอ่านต่อเกี่ยวกับการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวตามลิงค์นี้เลยครับผมเขียนไว้เยอะมากมายครับ การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แบบฝึกหัดการแก้สมการกำลังสองหรือสมการดีกกรีสอง
ในแบบฝึกหัดนี้ส่วนใหญ่ เราจะพูดถึงการแก้สมการดีกรีสอง หรือสมการกำลังสองเป็นส่วนใหญ่ การแก้สมการกำลังสองนั้น จะมีวิธีการแก้อยู่ 2 วิธี คือ
1. แก้โดยการแยกตัวประกอบหรือแยกเป็นสองวงแล็บ นั่นแหละ
2. ถ้าแยกเป็นสองวงแล็บไม่ได้ก็จะแก้สมการกำลังสองนั้นโดยใช้สูตร
ซึ่งสูตร ในการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวคือ
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]
แต่โจทย์บางข้อไม่ได้ต้องการคำตอบของสมการกำลังสอง แต่ต้องการรู้ว่า สมการกำลังสองนั้น มีกี่คำตอบ
สมการกำลังสองนั้น จะมีคำตอบได้ไม่เกิน 2 คำตอบครับ ที่นี้วิธีการตรวจสอบว่าสมการกำลังสองนั้นมีกี่คำตอบ ก็จะตรวจสอบโดยใช้สูตรต่อไปนี้
ถ้า \(b^{2}-4ac >0\) สมการกำลังสองนั้นจะมี 2 คำตอบ
ถ้า \(b^{2}-4ac=0\) สมการนั้นจะมี 1 คำตอบ
ถ้า \(b^{2}-4ac<0\) สมการนั้นจะไม่มีคำตอบ
อย่าพึ่งตกใจนะทำไมสูตรเยอะเหลือเกินจริงๆ ถ้ามองดีๆไม่ได้ยากอะไรหรอกครับ เดี๋ยวมีตัวอย่างให้ดู
และอีกอย่างที่โจทย์ชอบถามมากๆ เลยคือ ให้ผลคูณของคำตอบ หรือ หาผลบวกของคำตอบ
สมการกำลังสอง \(ax^{2}+bx+c=0\) ถ้ามี 2 คำตอบแล้ว
ผลคูณของ 2 คำตอบนั้นสามารถหาได้จากสูตร \(\frac{c}{a}\)
ผลบวกของ 2 คำตอบนั้นสามารถหาได้จากสูตร \(-\frac{b}{a}\)
เอาละไปลองทำแบบฝึกหัดได้จริงๆ เสียที
1.จงแก้สมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ
1) \( x^{2}-5x+4=0\)
วิธีทำ ข้อนี้แยกเป็นสองวงแล็บได้สบายเลย ก็แยกเป็นสองวงแล็บผมไม่สอนนะไปศึกษาเองครับ ง่ายๆ เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}x^{2}-5x+4&=&0\\(x-1)(x-4)&=&0\end{array}
จะได้ว่า
\(x-1=0\) หรือ \(x-4=0\)
กรณี \(x-1=0 \rightarrow x=1\)
กรณี \(x-4=0 \rightarrow x=4\)
จริงๆแล้วต้องตรวจสอบคำตอบด้วยนะครับ แต่ผมไม่ตรวจให้ดูนะครับ
ตอบของสมการคือ \(x=1\) และ \(x=4\)
2) \(4x^{2}-3x=\frac{9}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้จัดสมการให้สวยงามก่อนครับผม ขั้นแรกคือ ต้องเอา 2 คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการเลยครับ
\begin{array}{lcl}4x^{2}-3x&=&\frac{9}{2}\\2(4x^{2}-3x)&=&2(\frac{9}{2})\\8x^{2}-6x&=&9\\8x^{2}-6x-9&=&0\\(4x+3)(2x-3)&=&0\end{array}
จะได้ว่า
\(4x+3=0\) หรือ \(2x-3=0\)
กรณี \(4x+3=0\rightarrow x=-\frac{3}{4}\)
กรณี \(2x-3=0\rightarrow x=\frac{3}{2}\)
คำตอบของสมการคือ ผมตอบให้อยู่ในรูปของเซตนะคับ \(\{-\frac{3}{4},\frac{3}{2}\}\)
3) \((x-3)(x-5)=11-4x\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องจัดการคูณพหุนามทางด้านซ้ายของสมการก่อน แล้วค่อยย้ายพหุนามทางขวามาบวก ลบ กัน ครับ ไปทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(x-3)(x-5)&=&11-4x\\x^{2}-8x+15&=&11-4x\\x^{2}-8x+4x+15-11&=&0\\x^{2}-4x+4&=&0\\(x-2)(x-2)&=&0\end{array}
จะได้ว่า
\(x-2=0\rightarrow x=2\)
ข้อนี้คำตอบคือ \(x=2\)
4) \(x^{3}-2x^{2}-x+2=0\)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นสมการดีกรีสามครับ ข้อนี้ต้องใช้วิธีการหารสังเคราะห์นะคับ ให้ไปศึกษาวิธีการหารสังเคราะห์มานะครับ เริ่มทำกันเลยดีกว่า
กำหนดให้ \(P(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2=0\)
จะเห็นว่า \(P(1)=1^{3}-2(1)^{2}-1+2=0\) ดังนั้น
\(x^{3}-2x^{2}-x+2\) หารด้วย \(x-1\) ลงตัว ต่อไปเริ่มหารสังเคราะห์เลย
\begin{array}{lcl}1\quad )\underline{1\quad -2\quad -1\quad 2}\\ \quad\quad\underline{1\quad -1\quad -2\quad 0}\end{array}
นั่นคือหารเสร็จแล้วได้คำตอบคือ \(x^{2}-x-2\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x-1)(x^{2}-x-2)&=&0\\(x-1)(x-2)(x+1)&=&0\end{array}
จะได้ว่า
\(x-1=0\) หรือ \(x-2=0\) หรือ \(x+1=0\)
จะได้คำตอบของสมการนี้คือ ตอบเป็นเซตนะครับ \(\{1,2,-1\}\)
ปล. ข้อนี้อย่าลืมไปอ่านเรื่องการหารสังเคราะห์ตามลิงค์นี้นะครับดูคลิปเอา ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem)
5) \(x^{2}+x-1=0\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า แยกเป็นสองวงแล็บไม่ได้ ดังนั้นต้องใช้สูตรครับ ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า
\(a=1,\quad b=1\quad c=-1\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x&=&\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)}\\x&=&\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}+4}}{2}\\x&=&\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{array}
ดังนั้นคำตอบก็คือ \(\{\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\}\)
6) \(x^{2}+4x+1=0\)
วิธีทำ ข้อนี้แน่นอนแยกเป็นสองวงแล็บไม่ได้ต้องใช้สูตรอีกแล้ว จากโจทย์จะเห็นว่า
\(a=1,\quad b=4,\quad c=1\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลยคับ
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x&=&\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\\x&=&\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}\\x&=&\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}\\x&=&\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}\\x&=&-2\pm\sqrt{3}\end{array}
ดังนั้นคำตอบของสมการ คือ \(\{-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\}\)
2. จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้ มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่คำตอบ พร้อมทั้งหาผลบวกและผลคูณของคำตอบนั้น
1) \(x^{2}-5x+6=0\)
วิธีทำ การตรวจคำตอบก็ทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ครับ
ถ้า \(b^{2}-4ac >0\) สมการกำลังสองนั้นจะมี 2 คำตอบ
ถ้า \(b^{2}-4ac=0\) สมการนั้นจะมี 1 คำตอบ
ถ้า \(b^{2}-4ac<0\) สมการนั้นจะไม่มีคำตอบ
จากโจทย์จะเห็นว่า \(a=1,b=-5,c=6\) แทนค่าลงไปในสูตร
\(b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4(1)(6)=25-24=1\)
ซึ่งเราจะเห็นว่า \(b^{2}-4ac=1>0\) ซึ่งมีค่ามากกว่า 0 ดังนั้นสมการ \(x^{2}-5x+6=0\) มี 2 คำตอบ
ส่วนผลบวกและผลคูณของคำตอบก็หาได้จากสูตร
ผลคูณของ 2 คำตอบนั้นสามารถหาได้จากสูตร \(\frac{c}{a}\)
ผลบวกของ 2 คำตอบนั้นสามารถหาได้จากสูตร \(-\frac{b}{a}\)
เพราะฉะนั้นผลบวก \(-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5\)
เพราะฉะนั้นผลคูณ \(\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6\)
2) \(x^{2}=9\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดอะไรมากคับ อะไรเอ่ยยกกำลังสองแล้วได้ 9 ก็จะมี
\(3\) และ \(-3\)
ดังนั้นมี 2 คำตอบ
ผลบวกคำตอบคือ \(3+(-3)=0\)
ผลคูณของคำตอบคือ \((3)(-3)=-9\)
3) \(x^{2}+x+1=0\)
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า \(a=1,b=1,c=1\)
ตรวจสอบว่ามีกี่คำตอบ
\(b^{2}-4ac=1^{2}-4(1)(1)=1-4=-3\) ซึ่งจะเห็นว่า
\(b^{2}-4ac=-3<0\) มันน้อยกว่า 0 แสดงว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ
4) \(2x^{2}+3x-6=0\)
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ว่า \(a=2,b=3,c=-6\)
ตรวจสอบว่ามีกี่คำตอบ
\(b^{2}-4ac=3^{2}-4(2)(-6)=9+48=57\) เนื่องจาก
\(b^{2}-4ac=57>0\) มันมากกว่า 0 ดังนั้นสมการข้อนี้มี 2 ตอบ
ผลบวกของคำตอบคือ \(-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}\)
ผลคูณของคำตอบคือ \(\frac{c}{a}=\frac{-6}{2}=-3\)
5) \(x^{2}+6x+9=0\)
วิธีทำ จากโจทย์ \(a=1,b=6,c=9\)
ตรวจสอบว่าสมการนี้มีกี่คำตอบ
\(b^{2}-4ac=6^{2}-4(1)(9)=36-36=0\) เนื่องจาก
\(b^{2}-4ac=0\) ดังนั้นสมการข้อนี้มี 1 คำตอบ
ผลบวกของคำตอบสมการคือ \(-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6\)
ผลคูณของคำตอบของสมการคือ \(\frac{c}{a}=\frac{9}{1}=9\)
***หลายคนอาจจะส่งสัยว่าคำตอบสมการนี้มี 1 คำตอบทำไมผลคูณกับผลบวกของคำตอบมันไม่เท่ากัน เหตุผลก็คือ คำตอบของสมการข้อนี้มันซ้ำกันคือ 3 มันก็เลยคิดเป็นแค่คำตอบเดียว แต่เวลาเอามาบวกกันคือ \(3+3=6\) และคูณกัน \(3\times 3 =9\)
6) \(x^{2}+1=0\)
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับมองออกเลยว่าไม่มีคำตอบ
จากสมการ \(x^{2}+1=0\) ถ้าเราลองย้ายข้างสมการดูเราจะเห็นว่า
\(x^{2}=-1\) ความหมายก็คืออะไรเอ่ยคูณกันสองตัวแล้วเท่ากับ \(-1\) ซึ่งไม่มีแน่นอนใช่ไหม ดังนั้น ข้อนี้ไม่มีคำตอบของสมการครับ
4. ถ้าสมการ \(x^{2}-kx+9=0\) มีรากเพียง 1 รากแล้ว จงหาค่า \(k\)
วิธีทำ จากโจทย์สมการกำลังสอง \(x^{2}-kx+9=0\) มีรากเพียง 1 ราก ก็คือมีคำตอบหนึ่งตัวเท่านั้น ดังนั้นจากความรู้เรืองของจำนวนคำตอบที่เขียนไว้แล้วด้านบนจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}b^{2}-4ac&=&0\end{array} แทนค่าลงไปในสูตรเลยคับเพื่อหาค่า \(k\) ออกมา ก่อนแทนค่าจากโจทย์จะเห็นว่า \(a=1,b=-k,c=9\) แทนค่าลงไปในสูตรจะได้
\begin{array}{lcl}b^{2}-4ac&=&0\\(-k)^{2}-4(1)(9)&=&0\\k^{2}-36&=&0\\k^{2}&=&36\\k&=&\pm 6\end{array}
ดังนั้น \(k=\pm 6\)
5. ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ \(\frac{x-1}{x+2}+x=1\) เท่ากับเท่าใด [o-net57/9]
วิธีทำ ให้หาผลบวกของราก ก็คือให้หาผลบวกของคำตอบสมการนั่นเองคับ ไปแก้สมการกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{x-1}{x+2}+x&=&1\\\frac{x-1}{x+2}&=&1-x\\(x-1)&=&(1-x)(x+2)\\x-1&=&x-2x-x^{2}+2\\x^{2}+2x-3&=&0\\(x+3)(x-1)&=&0\end{array}
จากบรรทัดด้านบนจะเห็นได้ว่า
\(x=-3,1\)
ดังนั้นผลบวกของรากคือ \(-3+1=-2\) นั่นเองครับ
6. ถ้า \(\frac{3}{4}\) เป็นผลเฉลยหนึ่งของสมการ \(4x^{2}+bx-6=0\) เมื่อ \(b\) เป็นจำนวนจริงแล้ว อีกผลเฉลยหนึ่งของสมการนี้มีค่าเท่าใด [o-net53/6]
วิธีทำ จากโจทย์เราจะได้ว่าคำตอบแรกที่เราได้คือ \(x=\frac{3}{4}\) เอาไปแทนค่าลงในสมการเลยก็จะได้
\begin{array}{lcl}4x^{2}+bx-6&=&0\\4(\frac{3}{4})^{2}+b\frac{3}{4}-6&=&0\\\frac{9}{4}+\frac{3}{4}b-6&=&0\\\frac{3}{4}b&=&6-\frac{9}{4}\\\frac{3}{4}b&=&\frac{15}{4}\\3b&=&15\\b&=&5\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า \(b=5\) แล้วครับ เอาไปแทนค่าในสมการในโจทย์เพื่อหาอีกคำตอบหนึ่งจะได้สมการ \(4x^{2}+5x-6=0\) แก้สมการเลย จะแก้โดยใช้สูตรนะครับ จะได้ค่า
\(a=4,b=5,c=-6\) แทนค่าลงไปในสูตรได้ว่า
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x&=&\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(4)(-6)}}{2(4)}\\x&=&\frac{-5\pm\sqrt{121}}{8}\\x&=&\frac{-5\pm 11}{8}\end{array}
จะเห็นว่าสมการข้อนี้มี 2 คำตอบคือ
\(\frac{-5+11}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{-5-11}{8}=\frac{-16}{8}=-2\)
ดังนั้นอีกคำตอบหนึ่งคือ \(x=-2\)
7. ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีพื้นที่ 65 ตารางวา โดยด้านยาวของที่ดินยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้างอยู่ 3 วา จะต้องใช้รั้วที่มีความยาวกี่วา [o-net52/21]
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ทำตามที่โจทย์บอกเลย กำหนดพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้
มีความยาวเท่ากับ \(x\) วา
มีความกว้างเท่ากับ \(y\) วา
โจทย์บอกว่ามีพื้นที่เท่ากับ \(65\) ตารางวา ทำให้เราได้สมการคือ
\[xy=65\quad\cdots (1)\]
โจทย์บอกอีกว่า ด้านยาวของที่ดินยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้างอยู่ 3 วา ทำให้เราได้สมการ
\[x-2y=3\quad\cdots (2)\] จัดสมการนิดหน่อยเพื่อความสวยงามจะได้
\[x=3+2y\quad \cdots (3)\]
เอาละต่อไปเรามาแก้สมการหาค่าของ \(x\) และ \(y\) เพื่อจะได้หาความยาวของรั้วได้ครับ เริ่มจากสมการที่ (1) เลยครับ
\begin{array}{lcl}xy&=&65\end{array}
แทน \(x\) ด้วย \(3+2y\)จะได้
\begin{array}{lcl}(3+2y)(y)&=&65\\3y+2y^{2}&=&65\\2y^{2}+3y-65&=&0\\(2y+13)(y-5)&=&0\end{array}
จากการแก้สมการจะได้
\(y=-\frac{13}{5}\) อันนี้ไม่เอานะครับความกว้างติดลบไม่ได้
ดังนั้น \(y=5\) ตอนนี้คือเราได้ว่าพื้นที่นี้มีความกว้างเท่ากับ 5 วา ต่อไปหาความกว้างบ้างโดยการแทน \(y\) ด้วย \(5\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}xy&=&65\\x(5)&=&65\\x&=&\frac{65}{5}\\x&=&13\end{array}
ดังนั้นต้องใช้รั้วที่มีความยาว \(13+13+5+5=36\) วา ตอบ
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (41)
41. ให้ \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\) จงหาค่าของ \(x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}\)
วิธีทำ ข้อนี้เรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อน จะเห็นว่าเลขชี้กำลัง พวก 2566 ,2550 มันสามารถเขียนในรูปของ 2558 ได้ ซึ่งก็คือ
\(2566=2558+8\)
\(2550=2558-8\)
ดังนั้นเราจัดรูปสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อนครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}&=&x^{2558+8}-47x^{2558}+x^{2558-8}\\&=&x^{2558}x^{8}-47x^{2558}+x^{2558}x^{-8}\\&=&x^{2558}(x^{8}-47+x^{-8})\\&=&x^{2558}(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}-47)\quad\cdots (1)\end{array}
ซึ่งจากสมการที่ \((1)\) เราจะเห็นตัวละครที่สำคัญในการทำต่อคือ \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}\) ซึ่งตัวนี้หาได้จากการที่เราเอา \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\) มายกกำลังไปเรื่อยๆจนกว่าจะได้เลขชี้กำลังเป็น 8 คับ เราเริ่มจากการยกกำลังสองก่อนเลย
\begin{array}{lcl}x+\frac{1}{x}&=&\sqrt{5}\\(x+\frac{1}{x})^{2}&=&(\sqrt{5})^{2}\\x^{2}+2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&5\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&3\\(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}&=&(3)^{2}\\x^{4}+2x^{2}\frac{1}{x^{2}}+x^{4}&=&9\\x^{4}+\frac{1}{x^{4}}&=&7\\(x^{4}+\frac{1}{x^{4}})^{2}&=&(7)^{2}\\x^{8}+2x^{4}\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{8}}&=&49\\x^{8}+\frac{1}{x^{8}}&=&47\end{array}
จากด้านบนเราจะเห็นว่า \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}=47\) ถ้าเราเอาตรงนี้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) เราก็จะเห็นว่าเกิดการลบกันได้ 0 นั่นก็คือ\(47-47=0\) ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(0\) นั่นเองครับ
-
เฉลยคณิต o-net ม.6 เรื่องเลขยกกำลัง
1.จำนวนในข้อใดเท่ากับ \((-5)^{\frac{4}{5}}\) (o-net 63)
- \(-\sqrt[5]{5^{4}}\)
- \(-\sqrt[4]{5^{5}}\)
- \(\sqrt[4]{5^{5}}\)
- \((\frac{1}{5})^{-\frac{4}{5}}\)
- \((\frac{1}{5})^{\frac{5}{4}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใครทำพลาดนะ ไม่น่าให้อภัยตัวเองเป็นที่ยิ่งคับ เอาละไปดูวิธีทำกันเลย คือพยายามจัดรูปให้ตรงกับตัวเลือกให้ได้
\begin{array}{lcl}(-5)^{\frac{4}{5}}&=&\sqrt[5]{-5^{4}}\\&=&\sqrt[5]{5^{4}}\\&=&5^{\frac{4}{5}}\\&=&\left[(\frac{1}{5})^{-1}\right]^{\frac{4}{5}}\\&=&(\frac{1}{5})^{-\frac{4}{5}}\end{array}
2.\(\frac{8^\frac{2}{3}}{\sqrt[4]{144}}\cdot \frac{(18)^\frac{1}{2}}{\sqrt{6}}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50)
- \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
- \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
- 2
- 3
วิธีทำ ข้อนี้ไม่พูดมากเจ็บคอ เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[4]{144}}\cdot\frac{(18)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{6}}&=&\frac{4}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}\\&=&2\end{array}
3.\((\frac{6}{\sqrt{48}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{54})^{3}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 63)
วิธีทำข้อนี้เป็นอัตนัยนะคับ เห็นกำลังสามแล้วอย่างพึ่งท้อนะ และอย่างพึ่งยกกำลังสาม ให้พยายามถอดรากดูก่อนครับ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(\frac{6}{\sqrt{48}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{54})^{3}&=&(\frac{6}{\sqrt{16\times 3}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{8\times 2}-2\sqrt[3]{27\times 2})^{3}\\&=&(\frac{6}{4\sqrt{3}}-\sqrt{3})^{2}+(3\cdot 2\sqrt[3]{2}-2\cdot 3\sqrt[3]{2})^{3}\\&=&(\frac{3}{2\sqrt{3}}-\sqrt{3})^{2}+0\\&=&(\frac{3\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3})^{2}\\&=&(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})^{2}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}
4. จำนวนจริง \(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)
- \(4+3\sqrt{3}\)
- \(5+2\sqrt{2}\)
- \(6+2\sqrt{3}\)
- \(9+\sqrt{3}\)
- \(10+\sqrt{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ผมอยากให้ทุกคนไปอ่านที่ลิงก์นี้ก่อนแล้วค่อยทำครับ รูทซ้อนรูท ก็คือพยายามจัดรูปพจน์ที่เขาให้มาให้อยู่ในรรูปของ \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) ก่อน เริ่มทำเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt{84+18\sqrt{3}}&=&\sqrt{84+2\times 9\sqrt{3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{9^{2}\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{81\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{243}}\end{array}
ต่อไปหาตัวเลขมา 2 ตัวครับที่ บวกกันได้ \(84\) และ คูณกันได้ \(243\) จะเห็นได้ว่า
\(81+3=84\)
\(81\times 3=243\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\sqrt{84+2\sqrt{243}}&=&\sqrt{81}+\sqrt{3}\\&=&9+\sqrt{3}\quad\underline{Ans}\end{array}
5. ถ้า \(a=-5\) และ \(b=8\) แล้ว \(\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)
- 10
- -10
- 20
- -15
- -40
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราคิดเล่นๆนะค่านี้ \(\sqrt[6]{a^{2}b}\) มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) แน่นอนเพราะเป็นรากคู่ และ
\(\sqrt[6]{a^{4}b}\) ก็มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) เพราะว่าเป็นรากคู่ ถ้าเอาสองก้อนนี้มาคูณกัน ต้องได้ค่า เป็นบวก หรือไม่ก็ \(0\)
ตัวเลือกที่ติดลบตัดทิ้งได้เลยครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}&=&\sqrt[6]{(-5)^{2}\cdot 8}\sqrt[6]{(-5)^{4}\cdot 8}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}8^{2}}\\&=&\sqrt[6]{5^{6}8^{2}}\\&=&\left(5^{6}\cdot 8^{2}\right)^{\frac{1}{6}}\\&=&5^{6\times\frac{1}{6}}\cdot 8^{2\times \frac{1}{6}}\\&=&5\times 8^{\frac{1}{3}}\\&=&5\times 2\\&=&10\end{array}
6. ถ้า \(x=1+\sqrt{3}\) แล้ว \(\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 59)
- \(1+\sqrt{3}\)
- \((1+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\)
- \((1+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}}\)
- \((1+\sqrt{3})^{-1}\)
- \((1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยากวุ่นวายแน่นอนครับ ดังนั้นต้องจัดรูปหาอะไร มาคูณเข้าก่อนคับ เริ่มทำเลยนะคับ
\begin{array}{lcl}\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}&=&\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^\frac{1}{2}}}\times \frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\\&=&\frac{x-\sqrt{3}}{x^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&(1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\end{array}
7. ถ้า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \((4^{x})^{2x-1}=\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 59)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไร เป็นการแก้สมการเลขยกกำลัง คือต้องทำฐานทั้งสองข้างของสมการให้เท่ากัน ข้อนี้คือทำฐานให้เท่ากับ \(4\) นั่นเองครับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}(4^{x})^{2x-1}&=&\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&\frac{(4^{2})^{4}}{4^{x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&4^{8-x}\\so\\2x^{2}-x&=&8-x\\2x^{2}-8&=&0\\x^{2}-4&=&0\\x^{2}&=&4\\x&=&\pm 2\end{array}
แต่โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)
8. ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว \(\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)
- \(a^{\frac{1}{9}}\)
- \(a^{\frac{2}{9}}\)
- \(a^{\frac{4}{9}}\)
- \(a^{\frac{5}{9}}\)
- \(a^{\frac{7}{9}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย อาศัยความรู้แค่การเปลี่ยนจาก ราก ให้เป็นเลขยกกำลัง เช่น
\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\)
\(\sqrt[6]{a}=a^{\frac{1}{6}}\)
เริ่มทำกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}&=&\left(aa^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{1+\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{3}\times \frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{9}}\end{array}
9. ให้ \(A=2^{\frac{3}{2}},B=3^{\frac{2}{3}}\) และ \(C=216^{\frac{1}{6}}\) ข้อใดถูกต้อง (o-net 58)
- \(A<B<C\)
- \(A<C<B\)
- \(B<A<C\)
- \(B<C<A\)
- \(C<B<A\)
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้เราเปรียบเทียบจำนวน ถ้าเราสังเกตดีที่เลขชี้กำลังเขาจะใบ้ให้เรานิดหนึ่งก็คือตัองทำส่วนให้เป็น \(6\) เริ่มกันกันเลย
\(A=2^{\frac{3}{2}\times\color{red}{\frac{3}{3}}}=2^{\frac{9}{6}}=(2^{9})^{\frac{1}{6}}=512^{\frac{1}{6}}\)
\(B=2^{\frac{2}{3}\times\color{red}{\frac{2}{2}}}=3^{\frac{4}{6}}=(3^{4})^{\frac{1}{6}}=81^{\frac{1}{6}}\)
\(C=(216)^{\frac{1}{6}}\)
จะเห็นว่าตอนนี้เลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว ดังนั้นเราสามารถเปรียบเทียบกันได้แล้ว ก็คือ
\(81^{\frac{1}{6}}<216^{\frac{1}{6}}<512^{\frac{1}{6}}\) นั่นก็คือ \(B<C<A\) ครับ
10. ค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}\) อยู่ในช่วงใด (o-net 58)
- (2.2,2.3)
- (2.3,2.4)
- (2.4,2.5)
- (2.5,2.6)
- (2.6,2.7)
วิธีทำ ข้อนี้การที่จะหาค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}\) ให้ไปดูที่ลิงก์นี้ก่อนนะคับไปอ่านทำความเข้าใจเอง รูทซ้อนรูท เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\&=&3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\&=&(3\times 1.732)-(2\times 1.414)\\&=&5.196-2.832\\&=&2.368\end{array}
จะเห็นว่า \(2.368\in (2.3,2.4)\)
อย่างน้อยข้อนี้ ทุกคนต้องรู้ว่า \(\sqrt{3}\approx 1.732\) และ \(\sqrt{2}\approx 1.414\)
11. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) แล้ว \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 58)
- \(10\)
- \(20\sqrt{6}\)
- \(40\sqrt{6}\)
- \(49\)
- \(98\)
วิธีทำ ข้อนี้แนะนำให้ไปดูเรื่องนี้ก่อน ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ อ่านให้เข้าใจก่อน
ขั้นตอนแรกคือเราต้องจัดรูป \(a\) ก่อน คือทำตัวส่วนของ\(a\) ไม่ให้ติดกรณฑ์
\(a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \color{red}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=5+2\sqrt{6}\)
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}\times \color{red}{\frac{5-2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}=5-2\sqrt{6}\)
ต่อไปพิจารณา
\begin{array}{lcl}\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2&=&a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\\so\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2\\a^{2}-\frac{1}{a^{2}}&=&\left(5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}\right)^{2}-2\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&10^{2}-2\\&=&98\end{array}
12. ให้ \(A=2^{\frac{5}{6}},B=3^{\frac{1}{2}}\) และ \(C=5^{\frac{1}{3}}\) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 57)
- \(A<B<C\)
- \(B<A<C\)
- \(B<C<A\)
- \(C<A<B\)
- \(C<B<A\)
วิธีทำ ข้อนี้คือให้เราเปรียบเทียบจำนวน การทำข้อนี้คือไปทำที่เลขชี้กำลังครับคือทำเลขชี้กำลังให้กลายเป็น \(\frac{1}{6}\) ให้หมดเลย สังเกตดูดีๆคับ เริ่มเลย
\(A=2^{\frac{5}{6}}=(2^{5})^{\frac{1}{6}}=32^{\frac{1}{6}}\)
\(B=3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}\times \color{red}{\frac{3}{3}}}=3^{\frac{3}{6}}=(3^{3})^{\frac{1}{6}}=27^{\frac{1}{6}}\)
\(C=5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}\times \color{red}{\frac{2}{2}}}=5^{\frac{2}{6}}=(5^{2})^{\frac{1}{6}}=25^{\frac{1}{6}}\)
จะเห็นได้ว่า
\(25^{\frac{1}{6}}<27^{\frac{1}{6}}<32^{\frac{1}{6}}\) ก็คือ \(C<B<A\)
13. ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(2^{x^{2}}=16\) และ \(-3\leq y \leq x\) แล้ว ค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)
วิธีทำ ข้อนี้เราก็แก้สมการหาค่าของ \(x\) ก่อนคับ
\begin{array}{lcl}2^{x^{2}}&=&16\\2^{x^{2}}&=&2^{4}\\so\\x^{2}&=&4\\x&=&2,\quad -2\end{array}
จะเห็นว่าตอนนี้ค่า \(x\) ที่เราได้มี 2 ค่าครับ จะพิจาณาทีละค่าเพื่อหาค่าของ \(xy\) ที่มีค่ามากที่สุด
1) กรณีค่า \(x=-2\) ดูภาพประกอบ
จากรูปจะเห็นว่าถ้าเราเลือก \(y=-3\) เราจะได้ค่า \(xy\) มากสุดคือ \(xy=(-2)(-3)=6\)
2) กรณีค่า \(x=2\) ดูภาพประกอบ
จากรูปจะเห็นว่าไม่ว่าเราจะเลือกค่า \(y\) เป็นเท่าใดก็ตามเมื่อเอามาคูณกับ \(x\) ก็ไม่มีทางมากกว่า \(6\) แน่นอน ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) คือ \(6\) นั่นเองคับ
14. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) แล้ว \(\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57)
- \(3\)
- \(4\)
- \(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)
- \(3\sqrt{2}\)
- \(4\sqrt{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย แค่มีความรู้เรื่องนี้ ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ ก็เพียงพอในการทำข้อนี้แล้วครับ เริ่มทำเลย จัดรูป \(a\) ให้สวยงามก่อน
\(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\times \color{red}{\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}}=9+4\sqrt{5}\)
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\times \color{red}{\frac{9-4\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}}=9-4\sqrt{5}\)
ตอนนี้เราได้ค่า \(a\) และ \(\frac{1}{a}\) แล้ว ดังนั้นหาคำตอบได้แล้วคับ
\begin{array}{lcl}\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}&=&\sqrt{9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}-2}\\&=&\sqrt{9+9-2}\\&=&\sqrt{18-2}\\&=&\sqrt{16}\\&=&4\end{array}
15. ถ้า \(A=\{x|9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\}\) แล้วผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน \(A\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(0\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(1\)
- \(\frac{3}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก ก็สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(x\) ก็เท่านั้นเองครับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\\(3^{2})^{x^{2}}&=&(1+2)^{x}\\3^{2x^{2}}=3^{x}\\so\\ 2x^{2}&=&x\\2x^{2}-x&=&0\\x(2x-1)&=&0\\so\\x=0\quad ,x=\frac{1}{2}\end{array}
ดังนั้น \(A\) มีสมาชิก 2 ตัว คือ \(A=\{0,\frac{1}{2}\}\) นั่นคือผลบวกของสมาชิกใน \(A\) คือ \(0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
16. ถ้า \(64^{k}=16\) แล้ว \(8^{k}+8^{-k}\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)
- \(0\)
- \(\frac{5}{4}\)
- \(\frac{5}{2}\)
- \(\frac{17}{4}\)
- \(\frac{65}{8}\)
วิธีทำ แก้สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(k\) ครับ ไม่ได้มีอะไรซับซ้อน เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}64^{k}&=&16\\2^{6k}&=&2^{4}\\so\\ 6k&=&4\\k&=&\frac{4}{6}\\k&=&\frac{2}{3}\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า \(k\) แล้ว ไปหาคำตอบได้เลย
\begin{array}{lcl} 8^{k}+8^{-k}&=&2^{3k}+2^{-3k}\\&=&2^{3\times\frac{2}{3}}+2^{-3\times \frac{2}{3}}\\&=&2^{2}+2^{-2}\\&=&4+\frac{1}{4}\\&=&\frac{17}{4}\end{array}
-
ใบงานสมบัติของเลขยกกำลัง
ใบงาน ไว้ประกอบการเรียนการสอนครับ เรื่องสมบัติของเลขยกกำลัง ซึ่งเรื่องนี้ถือว่าไม่ยากถ้าตั้งใจเรียนและมีแบบฝึกหัดให้เราได้ทำหลากหลายแบบมากๆ ซึ่งโจทย์ก็จะมีหลากหลายด้วยกัน ซึ่งใบงานนี้จะเป็นสิ่งที่อำนวยความสะดวกให้กับครูผู้สอนเป็นอย่างมาก เพราะมีโจทย์ให้ได้เลือกและลองทำที่หลากหลาย ใบงานนี้เป็นของครูนงเยาว์ พีรฉัตรปกรณ์ ซึ่งต้องขอขอบคุณท่านที่กรุณานำมาเผยแพร่ให้เราได้นำไปใช้ในการเรียนการสอน สามารถดูตัวอย่างก่อนดาวน์โหลดได้ครับ สำหรับใครที่ต้องการอ่านเนื้อหาเกี่ยวกับสมบัติของเลขยกกำลังสามารถอ่านได้ตามลิงก์ด้านล่างเลยมีทั้งของ ม.5 และของ ม.2 ครับ อ่านๆดูสนุกดี
- แผนการจัดการเรียนรู้เรื่องสมบัติของเลขยกกำลัง
- การคูณเลขยกกำลัง ม.2
- สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2
- Powerpoint ประกอบการสอนเรื่องสมบัติเลขยกกำลัง
- ข้อสอบเลขยกกำลัง
- แผนการจัดการเรียนรู้เลขยกกำลัง
- ใบงานเลขยกกำลัง ม.1 ชุด 2
- ใบงานเลขยกกำลัง ม.1 ชุด 1
- การบ้านเลขยกกำลัง
- แบบฝึกทักษะเลขยกกำลัง ม.5
- เฉลยคณิต o-net ม.6 เรื่องเลขยกกำลัง
- แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องเลขยกกำลัง ม.5
- ข้อสอบสมบัติเลขยกกำลัง ม.2
- ชุดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เรื่องเลขยกกำลัง
- แบบฝึกทักษะคณิตศาสตณ์เรื่องเลขยกกำลัง
- ข้อสอบสมบัติเลขยกกำลัง ม.2
- ชุดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เรื่องเลขยกกำลัง
- แบบฝึกทักษะคณิตศาสตณ์เรื่องเลขยกกำลัง
- เฉลยข้อสอบ Pat 1 เรื่องเลขยกกำลัง
- การหาจำนวนหลักของเลขยกกำลัง
- แบบทดสอบเรื่องจำนวนจริงและเลขยกกำลัง
- Powerpoint ประกอบการสอนเรื่องเลขยกกำลัง
- ข้อสอบเลขยกกำลังม.1
- การหารเลขยกกำลัง ม.2
- โจทย์เลขยกกำลัง ม.2
- โจทย์เลขยกกำลัง ม.5 (เพิ่มเติม)
- แบบฝึกหัดเรื่องเลขยกกำลัง ม.4
- power point เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- แบบฝึกหัด ม.5 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- แบบฝึกหัดเรื่องเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- ข้อสอบเลขยกกำลัง ม.5
- เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- การใช้สมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมาช่วยในการแก้สมการหรืออสมการเลขยกกำลัง
- การบวก ลบ คูณและหารเลขยกกำลังและแก้สมการที่มีเครื่องหมายรากที่สอง
- เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
- โจทย์เลขยกกำลัง ม.5
- เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
- สมบัติของเลขยกกำลัง