-
ตัวแปรสุ่ม
วันนี้เราจะมารู้จักความหมายของตัวแปรสุ่มกันนะคับ จะอธิบายแบบง่ายๆแล้วกัน ไม่รู้ว่าจะง่ายสำหรับทุกคนหรือเปล่า แต่อย่างไรก็ลองอ่านดูก่อนว่าจะง่ายหรือไม่ ตัวแปรสุ่ม นั้นมันเป็นฟังก์ชันที่มีการส่งจาก แซมเปิลสเปซ ไปยัง จำนวนจริง(ตัวเลข) ตัวย่างเช่น
ผมทดลอง โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง การทดลองสุ่มนี้ก็จะมีแซมเปิลสเปซซึ่งเรามักแทนด้วยตัว S คือ
\(S=\{HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT\}\)
และถ้าผมสนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นจำนวนครั้งที่เหรียญขี้นหัวนั้นสามารถแทนด้วยตัวเลขได้คือ
0 คือเหรียญไม่ขึ้นหัวเลย
1 คือเหรืยญขึ้นหัวหนึ่งครั้ง
2 คือเหรียญขึ้นหัวสองครั้ง
3 คือเหรียญขึ้นหัวสามครั้ง
และสามารถเขียนแสดงได้ในรูปของเซตคือ \(\{0,1,2,3\}\)
จากตัวอย่างที่ผมยกมาให้ดูนี้สามารถสร้างฟังก์ชัน \(X\) จากแซมเปิลสเปซ\((S)\) ไปยัง \(\{0,1,2,3\}\) ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปยังจำนวนจริงแบบนี้แหละ เขาเรียกว่าตัวแปรสุ่ม(random variable) เดี่ยวผมจะเขียนเป็นแผนภาพให้ดู
จากฟังก์ชัน \(X\) ตามรูปข้างบนนะคับจะได้ว่า
\(X(HHH)=3\)
\(X(HHT)=2\)
\(X(HTH)=2\)
\(X(THH)=2\)
\(X(TTH)=1\)
\(X(THT)=1\)
\(X(HTT)=1\)
\(X(TTT)=0\)
ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปหาจำนวนจริง แบบนี้แหละเรียกว่า ต้วแปรสุ่มครับ หรือถ้าเขียนให้มันดีๆหน่อย
ตัวแปรสุ่ม(random variable) คือฟังก์ชันจากแซมเปิลสเปซไปยังเซตของจำนวนจริง
โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม เช่น \(X,Y,Z\) และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก\((x,y,z)\)แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มซึ่งนิยมเขียนในรูปของเซต เช่น จากรูปภาพด้านบน \(x=\{0,1,2,3\}\) คือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)
จากรูปภาพข้างบน เราจะเห็นว่า
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 \(\{TTT\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=0)=\frac{1}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 \(\{HTT,THT,TTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{3}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 \(\{HHT,THH,HTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=2)=\frac{3}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 \(\{HHH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{1}{8}\)
มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับผม เป็นแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสวท นะคับลองทำดูไม่ยากนะค่อยๆทำความเข้าใจ
1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้
จำนวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จำนวนนักเรียน(คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2 ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ
0 นักเรียนตอบไม่ถูกเลย
1 นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ
2 นักเรียนตอบถูกสองข้อ
\(\vdots\quad\vdots\)
10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ
ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า
นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน
นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน
จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)
เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง
\(x\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \(P(X=x)\) 0 \(\frac{1}{40}\) \(\frac{2}{40}\) \(\frac{5}{40}\) \(\frac{6}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{8}{40}\) \(\frac{7}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{2}{40}\)
2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ
\begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)
จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า
ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว
ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก 10 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว
จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)
ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)
โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว
\(z\) 0 1 2 3 4 5 \(P(Z=z)\) \(\frac{6}{36}=0.17\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\) กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z
-
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
หลังจากที่เราเรียนเรื่อง ตัวแปรสุ่ม และ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง มาแล้ววันนี้เรามาเรียนเกี่ยวกับ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง บ้างซึ่งไม่ได้ยากเลยง่ายๆเลยครับ มาดูความหมายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง กันเลย
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable) คือตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็น ช่วง ที่เป็นสับเซตของจำนวนจริง\((\mathbb{R})\) อ่านนิยามแล้วอาจจะ งงๆ มาดูตัวอย่างประกอบครับผม
ตัวอย่างเช่น
- ตัวแปรสุ่มคือความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง อาจได้ว่าเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือช่วง \(\left[150,190\right]\)
- ตัวแปรสุ่มคือน้ำหนัก (กิโลกรัม) ของทุเรียน ที่เก็บจากสวนแห่งหนึ่ง อาจได้ว่าเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือช่วง \(\left[1,10\right]\)
-
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
โดยทั่วไปตัวแปรสุ่ม แบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ก่อนที่จะอ่านตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ให้ไปอ่านและทำความรู้จักกับตัวแปรสุ่ม ตามลิงค์เลยครับ เอาละเมื่ออ่านแล้วเราไปดูกันเลยว่าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง คืออะไร
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable) คือตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสามารถเขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ ทั้งนี้ เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องอาจเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์ก็ได้
ตัวอย่างเช่น
- ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้้งสองจะได้เซตของค่าที่เป็นได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)
- ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มเป็น 0 เมื่อเหรียญขึ้นหัว และ 1 เมื่อเหรียญขึ้นก้อย จะได้เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{0,1\}\)
- ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ไปเรื่อยๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัวจึงจะหยุด ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือจำนวนครั้งที่ต้องโยนจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว จะได้เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{1,2,3,\cdots\}\) หรือ \(\mathbb{N}\)
ตัวอย่างแบบฝึกหัดเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
จงพิจาราณาว่าตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
1. ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือจำนวนข้อสอบ (ข้อ) ที่ตอบถูก จากจำนวนข้อสอบปรนัยทั้งหมด 50 ข้อ ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนหนึ่ง
ตอบ ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องนะคับ เพราะค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มหรือจำนวนข้อที่ตอบถูกสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้คือ \(\{0,1,2,3,\cdots ,50\}\)
2. ตัวแปรสุ่ม\(X_{2}\) คือจำนวนวัยรุ่น (คน) ที่ชื่นชอบการดื่มชาเขียว จากการสอบถามวัยรุ่นจำนวน 100 คน
ตอบ ตัวแปรสุ่ม \(X_{2}\) เป็น ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เพราะค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มหรือจำนวนข้อที่ตอบถูกสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้คือ \(\{0,1,2,3,\cdots ,100\}\)
3. ตัวแปรสุ่ม \(X_{3}\) คือ อุณหภูมิร่างกาย (องศาเซลเซียส) ของผู้ป่วยไข้หวัดใหญ่ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง
ตอบ ข้อนี้จะสังเกตเห็นว่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเป็นค่าของอุณหภูมิของคนป่วย ซึ่งอาจะเป็น 38 องศา หรือ 38.01 องศา หรือ 38.001 ซึ่งค่าพวกนี้เราไม่สามารถนำมาเขียนเป็นเซตเรียงลำดับสมาชิกจากน้อยไปหามากได้ แต่สามารถนำค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้ไปเขียนในรูปของ ช่วง ได้ ดังข้อนี้ตัวแปรสุ่ม \(X_{3}\) เป็น ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
4. ตัวแปรสุ่ม \(X_{4}\) คือ จำนวนลูกค้า (คน) ที่มาใช้บริการที่ธนาคารแห่งหนึ่งระหว่างเวลา 09.00-12.00 น.
ตอบ ข้อนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องครับ เพราะ จำนวนลูกค้าหรือว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้สามารถเขียนเป็นเซตเรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ เช่น ไม่มีคนมาใช้บริการเลยคือ 0 คน มีคนมาใช้บริการ 1 คน มีคนมาใช้บริการ 2 คน หรือถ้าเขียนเป็นเซตคือ \(\{0,1,2,3,\cdots\}\)
-
เอกสารประกอบการสอนตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
เอกสารประกอบการสอนตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น เอกสารนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนและครูมากเลยครับ โดยเฉพาะนักเรียนสามารถนำไปศึกษาได้ด้วยตนเองได้เลยครับ เอกสารนี้เป็นของท่านคุณครูอุเทน นุแปงถา มีประโยชน์มากเลยครับ ต้องขอบขอบพระคุณท่านมากที่ทำสื่อดีๆออกมาเผยแพร่ ให้กับทุกคนได้นำมาใช้ครับ เอกสารนี้ตรงกับตัวชีวัดผลการเรียนรู้ของกระทรวงทุกอย่างเลยนะครับ เหมาะสำหรับใช้เป็นเอกสารประกอบการเรียนการสอนนะคับผม เอาละไปดูกันเลยครับ