-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (71)
71.กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม ซึ่ง \(f(0)=1=f(1)\) ถ้า \(f^{\prime}(0)=1\) และ\(\displaystyle_{-1}^{1} f(x)dx=6\) แล้ว \(f(-1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -7
- -1
- 13
- 15
วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดให้พหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนก็คือ
\[f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\]
เมื่อ \(a,b,c,d\) คือค่าคงตัว
ต่อไปเราก็หาค่าคงตัวก็คือหาค่า \(a,b,c,d\) ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มานั่นแหละไม่ยากมากเริ่มเลย
\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f^{\prime}(x)&=&3ax^{2}+2bx+c\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+c\\1&=&c\\\color{red}{c}&=&1\end{array}
ต่อไปหาค่า \(d\)
\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(0)=1\\so\\f(0)&=&0+0+0+d\\1&=&d\\\color{green}{d}&=&1\end{array}
ต่อไปหา \(a,b\) ต่อไปอีก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(1)=1\\so\\f(1)&=&a+b+c+d\\c=1,d=1\\so\\f(1)&=&a+b+1+1\\1&=&a+b+2\\\color{blue}{a+b}&=&-1\end{array}
หา \(b\) ต่ออีก
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d \quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+x+1\quad dx&=&6\\\frac{ax^{4}}{4}+\frac{bx^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\quad |_{-1}^{1} &=&6\\\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{3}+\frac{1}{2}-1\right)&=&6\\\frac{2b}{3}+2&=&6\\b&=&\frac{12}{2}\\b&=&6\end{array}
จาก \(a+b=-1\) และ\(b=6\) ดังนั้นจะได้ \(a+6=-1\) จึงได้ว่า \(a=-7\)
ณ ตอนนี้เราได้ว่า
\(a=-7\)
\(b=6\)
\(c=1\)
\(d=1\)
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(x)&=&-7x^{3}+6x^{2}+x+1\\so\\f(-1)&=&7+6-1+1\\f(-1)&=&13\quad\underline{Ans}\end{array}
-
อินทิเกรต(จำกัดเขต)
วันนี้ผมจะพาทำแบบฝึกหัดอินทิเกรตแบบจำกัดเขตครับค่อยๆอ่านทำความเข้าใจนะผมจะเฉลยแบบฝึกหัดให้ดูบางข้อ แต่ก่อนที่จะอ่านบทความนี้ให้ไปอ่านการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขตก่อนและก็ไปดูสูตรเกี่ยวกับการอินทิเกรตก่อนคับ ตามลิงค์นี้เลย อินทิเกรต สูตรอินทิเกรต ม.6 ปฏิยานุพันธ์,ปริพันธ์,การอินทิเกรต เอาละต่อไปเราไปดูการอินทิเกรตแบบจำกัดเขตกันเลย ผมจะขอเอาตัวอย่างแบบฝึกหัดอินทิเกรตจำกัดเขตแค่บางข้อมาทำให้ดูเท่านั้นครับ เผื่อใครเรียนในห้องไม่ทัน ไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีที่อ่านทบทวนครับ
จงหาปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส
ก่อนอื่นเรามารู้จักทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสก่อนครับ เป็นดังต่อไปนี้
ทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)
กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) แล้ว \(\int_{a}^{b}dx=F(b)-F(a)\)
หมายเหตุ จากทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส เขียนแทน \(F(b)-F(a)\) ด้วยสัญลักษณ์ \(F(x) |_{a}^{b}\)
ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) ดังนั้น \(\int_{a}^{b}dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)
1. \(\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx&=&\left(\frac{x^{4}}{4}+3x\right)\displaystyle\Big| _{3}^{4}\\&=&\left(\frac{256}{4}+12\right)-\left(\frac{81}{4}+9\right)\\&=&\frac{304}{4}-\frac{117}{4}\\&=&\frac{187}{4}\end{array}
2. \(\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x\right)\Big|_{1}^{3}\\&=&(9-9+9)-\left(\frac{1}{3}-1+3\right)\\&=&9-\frac{7}{3}\\&=&\frac{20}{3}\end{array}
3.\(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx&=&(x^{4}+x^{2})\Big|_{-1}^{1}\\&=&(1+1)-(1+1)\\&=&0\end{array}
4.\(\displaystyle\int_{-3}^{-1}{\frac{1}{x^{2}}}\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-3}^{-1}{\frac{1}{x^{2}}}&=&\left(-\frac{1}{x}\right)\Big|_{-3}^{-1}\\&=&1-\frac{1}{3}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}
5.\(\displaystyle\int_{2}^{4}{(x^{2}+\frac{3}{x^{3}})}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{2}^{4}{(x^{2}+\frac{3}{x^{3}})}&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2x^{2}}\right)\Big|_{2}^{4}\\&=&\left(\frac{64}{3}-\frac{3}{32}\right)-\left(\frac{8}{3}-\frac{3}{8}\right)\\&=&\frac{2039}{96}-\frac{55}{24}\\&=&\frac{1819}{96}\end{array}
6. \(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(-x^{4}+x^{2}-1)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(-x^{4}+x^{2}-1)}dx&=&\left(-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}-x\right)\Big|_{-1}^{1}\\&=&\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-1\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+1\right)\\&=&-\frac{26}{15}\end{array}
7.\(\displaystyle\int_{0}^{2}{(\frac{x^{3}}{3}+2x)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}{(\frac{x^{3}}{3}+2x)}dx&=&\left(\frac{x^{4}+x^{2}}{12}+x^{2}\right)\Big|_{0}^{2}\\&=&\left(\frac{16}{12}+4\right)-0\\&=&\frac{16}{3}\end{array}
8. ณ เวลา \(t\) ใดๆ รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็ว \(a(t)\) เมตรต่อวินาที2 โดยที่ \(\displaystyle\int_{0}^{5} a(t) dt=10\) ถ้ารถยนต์คันนี้วิ่งด้วยความเร็วต้น 20 เมตรต่อวินาที จงหาความเร็วของรถยนต์คันนี้ขณะเวลา 5 นาที
วิธีทำ เรารู้แล้วว่าถ้าอินทิเกรตความเร่ง \(a(t)\) จะได้ความเร็ว \(v(t)\) ดังนั้น จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{5} a(t) dt&=&10\\v(t)\displaystyle\Big|_{0}^{5}&=&10\\v(5)-v(0)&=&10\end{array}
เนื่องจากรถยนต์คันนี้วิ่งด้วยความเร็วต้น 20 เมตรต่อวินาที นั่นก็คือ \(v(0)=20 m/s\) เอาไปแทนในสมการข้างบนจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}v(5)-v(0)&=&10\\v(5)-20&=&10\\v(5)&=&10+20\\v(5)&=&30\end{array}
ความเร็วรถยนต์คันนี้ขณะเวลา 5 วินาทีคือ \(30 m/s\)