-
ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
เราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นไปหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด แต่ก่อนที่พิจารณาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน เราควรรู้จัก นิยามของค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ก่อนครับ มาดูนิยามกันก่อน อ่านนิยามให้เข้าใจนะครับ
ปล.ศึกษาเพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ของ ม.6 ของ สสวท. นะครับเขาเขียนไว้ละเอียดแล้ว
บทนิยาม
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=c\) ถ้ามีช่วง \((a,b)\subset D_{f}\) ซึ่ง \(c\in (a,b)\) และ \(f(c)\geq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \((a,b)\) เรียก \(f(c)\) ว่า ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ของฟังก์ชัน \(f\) และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ \((c,f(c))\)
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=c\) ถ้ามีช่วง \((a,b)\subset D_{f}\) ซึ่ง \(c\in(a,b)\) และ \(f(c)\leq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \((a,b)\) เรียก \(f(c)\) ว่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ของฟังก์ชัน \(f\) และจุดต่ำสุดคือ \((c,f(c))\)
ทฤษฏีบท ให้\(f\) เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง \((a,b)\) ซึ่ง \(c\in(a,b)\) และ \(f^{\prime}(c)\) หาค่าได้
ถ้า \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ \(f\) จะได้ว่า \(f^{\prime}(c)=0\)
บทนิยาม ให้\(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \((a,b)\) ค่าของ \(c\in (a,b)\) ซึ่งทำให้ \(f^{\prime}(c)=0\) จะเรียกว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน \(f\)
ทฤษฎีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \((a,b)\) ซึ่ง \(c\in (a,b)\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)\) เปลี่ยนจากจำนวนบวกเป็นจำนวนลบ เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้นรอบๆ \(c\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ถ้า \(f^{\prime}(x)\) เปลี่ยนจากจำนวนลบเป็นจำนวนบวก เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้นรอบๆ \(c\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \(A\) ใดๆ และ \(c\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\) ซึ่ง \(f^{\prime}(c)=0\)
1. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)>0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพันธ์
2. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)<0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ทั้งหมดทั้งมวลที่ผมเขียนมาจากด้านบน สรุปเป็นรูปภาพดังนี้
ต่อไปเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์กันครับ
1. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) \(f(x)=x^{2}-8x+7\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{2}-8x+7\)
จะได้ \(f^{\prime}(x)=2x-8=2(x-4)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
ดังนั้น \(x=4\)
ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(4\)
\(f^{\prime\prime}(x)=2\)
\(f^{\prime\prime}(x)=2\) ซึ่ง \(2>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ \(f(4)=-9\)
ดังรูป
หรือ สรุปก็คิอ ถ้าต้องการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ก็ใช้ทฤษฏีด้านล่างนี้ได้เลยครับ
ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \(A\) ใดๆ และ \(c\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\) ซึ่ง \(f^{\prime}(c)=0\)
1. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)>0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพันธ์
2. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)<0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
2) \(f(x)=x^{3}-3x+6\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x+6\)
\(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\)
จะได้ \(x=-1\) หรือ \(x=1\)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(-1\) และ \(1\)
\(f^{\prime\prime}(x)=6x\)
\(f^{\prime\prime}(-1)=-6\) ซึ่ง \(-6<0\)
\(f^{\prime\prime}(1)=6\) ซึ่ง \(6>0\)
ดังนั้นจากทฤษฏี \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(-1)=8\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(1)=4\) ดังรูปด้านล่าง
3) \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+4\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+4\)
จะได้ \(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x-24=3(x-4)(x+2)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
จะได้ \(3(x-4)(x+2)=0\)
ดังนั้น \(x=-2\) หรือ \(x=4\)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(-2\) และ \(4\)
\(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\)
\(f^{\prime\prime}(-2)=-18\) ซึ่ง \(-18<0\)
\(f^{\prime\prime}(4)=18\) ซึ่ง \(18>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(-2)=32\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(4)=-76\) ดังรูป
วันนี้เรามาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมนะคับ หลังจากที่ห่างหายกันไปนาน เพราะงานยุ่งเหลือเกินช่วงโควิดนี้ เอาละมาเริ่มทำกันเลยดีกว่าครับ
1. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x-20\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x-20\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+6x-24\\&=&3(x^{2}+2x-8)\\&=&3(x+4)(x-2)\end{array}
ดังนั้นเราจะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=-4\) หรือ \(x=2\)
จะได้ว่าค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) มี 2 ค่า คือ \(-4\) และ \(2\)
ต่อไปหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน \(f\) จะได้
\(f^{\prime\prime}(x)=6x+6=6(x+1)\)
เนื่องจาก \(f^{\prime\prime}(-4)=-18\) ซึ่ง \(-18<0\)
และ \(f^{\prime\prime}(2)=18\) ซึ่ง \(18>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=4\) และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ \(f(-4)=60\)
และ \(f\) มีค่าตำสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=2\) และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ \(f(2)=-48\)
2. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+42\) บนช่วงปิด \([-5,5]\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+42\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&6x^{2}-6x-36\\&=&6(x^{2}-x-6)\\&=&6(x-3)(x+2)\end{array}
ดังนั้น \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=3\) หรือ \(x=-2\)
จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเปิด \((-5,)\) คือ \(3\) และ \(-2\)
ต่อไปคำนวณหา \(f(-5),f(-2),f(3)\) และ \(f(5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(-5)&=&-103\\f(-2)&=&86\\f(3)&=&-39\\f(5)&=&37\end{array}
สรุปได้ว่า
\(f\) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=-2\) และค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ \(f(-2)=86\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=-5\) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ \(f(-5)=-103\)
3. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=x^{3}-3x+2\) บนช่วงปิด \([0,2]\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x+2\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-3\\&=&3(x^{2}-1)\\&=&3(x-1)(x+1)\end{array}
ดังนั้น \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=1\) หรือ \(x=-1\)
แต่ \(-1\notin (0,2)\) จะได้ว่าค่าวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเปิด \((0,2)\) คือ \(1\)
ต่อไปคำนวณหา \(f(0),f(1)\) และ \(f(2)\) จะได้
\(f(0)=2\)
\(f(1)=0\) น้อยสุด
\(f(2)=4\) มากสุด
สรุปได้ว่า
\(f\) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=2\) และค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ \(f(2)=4\) และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=1\) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ \(f(1)=0\)
3. จากฟังก์ชันที่กำหนดให้ จงระบุที่ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเพิ่มและช่วงที่ฟังก์ชันลด
\(1)\quad f(x)=3-2x-x^{2}\)
วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราก็ดิฟ 1 ครั้งเพื่อหาจุดวิกฤตก่อนครับผม
จะได้
\(f^{\prime}(x)=-2x-2=-2(x+1)\)
เราจะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=-1\)
จึงได้ว่าจุดวิกฤตคือจุดที่ \((x=-1\) หรือถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านจุดตรงนี้เป็นจุดที่ กราฟมันมีการวกกลับนั่นเองครับ
ซึ่งเราจะเห็นว่า ทางขวาของ
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (66)
66. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\) เมื่อ \(A,\quad B\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(f(1)=4\) และ \(f^{\prime}(0)=1\) แล้ว \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เมื่อ \(x\) มีค่าเท่าใดต่อไปนี้
- \(\frac{1}{3}\)
- \(1\)
- \(\frac{4}{3}\)
- \(2\)
วิธีทำ หลักการในการหาจุด มีดังนี้นะคับ
1. นำฟังก์ชันมาดิฟก่อน
2. นำที่ดิฟได้จากข้อที่ 1 มาเท่ากับ \(0\) แล้วแก้สมการหาค่าวิกฤต
3. หาอนุพันธ์อันดับสองเก็บไว้
4. นำค่าวิกฤตที่หาได้จากข้อที่ 2 ไปแทนในข้อที่ 3 แล้วบวก ลบ คูณ หาร หลังจากบวก ลบ คูณ หารแล้ว
ถ้าค่าที่ได้น้อยกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ถ้าค่าที่ได้มากกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
อ่านเพิ่มเติมตามลิงก์นี้คับ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
เริ่มทำกันเลย แต่เดี๋ยวก่อนนะคับ เราต้องหาค่าของ \(A\) กับ \(B\) ให้ได้ก่อนนะคับผม
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+2Ax+B\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+B\\1&=&B\\B&=&1\end{array}
ตอนนี้ได้ว่า \(B=1\) ต่อไปหาค่า \(A\)
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+x+4\\f(1)=4\\so\\f(1)&=&1^{3}+A(1)^{2}+1+4\\4&=&A+6\\A&=&-2\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า \(A=-2\) และ \(B=1\) ดังนั้น
\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+4\) เริ่มทำตามขั้นตอนด้านบนที่ผมอธิบายได้เลยคับ
ขั้นตอนที่ 1
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\end{array}
ขั้นตอนที่ 2
\begin{array}{lcl}3x^{2}-4x+1&=&0\\(3x-1)(x-1)&=&0\\x=1,\frac{1}{3}\end{array}
ดังนั้นได้ค่าวิกฤต คือ \(x=1,\quad x=\frac{1}{3}\)
ขั้นตอนที่ 3
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\\f^{\prime\prime}(x)&=&6x-4\end{array}
ขั้นตอนที่ 4
\(f^{\prime\prime}(x)=6x-4\)
\(f^{\prime\prime}(1)=6(1)-4=2>0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=1)\) เป็นค่าที่ทำให้\(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
\(f^{\prime\prime}(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{3}-4=-2<0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=\frac{1}{3})\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ดังนั้น \(x=1\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ตอบ
