-
คลิปการสอนเรื่องอนุกรม
คลิปการสอนเรื่องอนุกรมเป็นคลิปการสอนออนไลน์ เมื่อครั้งที่ โควิดระบาดอย่างหนักทำให้นักเรียนไม่สามารถมาโรงเรียนได้ ทำให้ครูต้องปรับรูปแบบการสอนมาสอนแบบออนไลน์ ผมก็ได้อัดวิดีโอเอาไว้ตอนที่สอนด้วย วันนี้ว่างหน่อยก็เอามาให้ดูเผื่อเป็นประโยชน์ แต่ว่าต้องใช้อินเตอร์เน็ตที่แรงหน่อยนะ จะได้ไม่ต้องรอแบบหมุมนานๆ ลองดูครับเผื่อจะเข้าใจมากยิ่งขึ้น
-
อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
กำหนดให้ \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต
ดังนั้น\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ให้ \(S_{n}\) เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต มาดูความหมายของ \(S_{n}\) กันคับว่าหมายความว่าอย่างไร สมมติว่าผมมีอนุกรมเลขคณิต
-
เอกสารประกอบการสอนเรื่องลำดับและอนุกรม
เอกสารประกอบการสอนเรื่องลำดับและอนุกรม ส่วนใครที่ต้องการอ่านเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับเรื่องลำดับและอนุกรมก็สามารถอ่านตามลิงก์ด้านล่างเลยคับผม
- ลำดับเลขคณิต ม.5 และพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต
- แบบฝึกหัดเรื่องลำดับเลขคณิต ม.5
- แบบฝึกหัด ลำดับเลขคณิต (2)
- แบบฝึกหัดเรื่องลำดับเลขคณิต
- แบบฝึกหัดทบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
- ข้อสอบเรื่องลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
- แบบฝึกหัดเรื่องลำดับ อนุกรม ลำดับเรขาคณิต ลำดับเลขคณิต
- ตัวกลางเลขคณิต
- โจทย์อนุกรมเลขคณิต
- แบบฝึกหัดเรื่องลำดับ อนุกรม ลำดับเรขาคณิต ลำดับเลขคณิต
- แบบฝึกหัดเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
- อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
- ลำดับเรขาคณิต ม.5
- แบบฝึกหัดทบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
- ข้อสอบเรื่องลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
- แบบฝึกหัดเรื่องลำดับ อนุกรม ลำดับเรขาคณิต ลำดับเลขคณิต
- ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตดัดแปลง
- ตัวกลางเรขาคณิต
- โจทย์อนุกรมเรขาคณิต
- แบบฝึกหัดเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
-
โจทย์อนุกรมเลขคณิต
โจทย์อนุกรมเลขคณิต วันนี้ผมจะพาทุกคนทำฝึกทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตนะครับ จริงๆเรื่องนี้อนุกรมเลขคณิตผมได้เขียนไว้แล้วครับตามไปดูที่ลิงค์ได้เลยครับ สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับการทำโจทย์อนุกรมเลขคณิตคือสูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ซึ่ง ก็มี 2 สูตรด้วยกันดังนี้
\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\) สูตรนี้เอาไว้ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย
\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\) สูตรนี้ใช้ตอนไหนก็ได้ครับแต่สูตรอาจจะยาวหน่อย
มาดูตัวอย่างการใช้สูตรกันเลยครับ
ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของอนุกรมต่อไปนี้
1) \(4+4+6+...+80\)
วิธีทำ อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเลขคณิต ใช้ไหมครับ รู้พจน์สุดท้ายใช้สูตรนี้ได้เลย
\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)
แต่เรายังไม่รู้ว่าอนุกรมนี้มีกี่พจน์ ก็คือยังไม่รู้ \(n\) ดังนั้นเราต้องหาเอ็นก่อนครับ เราหา \(n\) จากความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตครับจากพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) เราก็แทน \(a_{n}\) ด้วย 80 ครับจะได้
\(80=2+(n-1)2\) อย่าลืมนะ \(a_{1}=2,d=4-2=2\)
\(80=2+2n-2\)
\(n=\frac{80}{2}\)
\(n=40\)
ดังนั้นอนุกรมนี้มีทั้งหมด 40 พจน์นั้นเอง ข้อนี้เราก็หา \(S_{40}\) นั่นเอง
จาก \(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)
\(S_{40}=\frac{40}{2}(2+80)\) อย่าลืมนะ \(a_{n}\) คือพจน์สุดท้าย
\(S_{40}=20(82)\)
\(S_{40}=1640\)
2) ผลบวก 12 พจน์แรกของ 3+5+7+...
วิธีทำ ข้อนี้หา \(S_{12}\) นั่นเอง ข้อนี้เราไม่รู้พจน์สุดท้าย ด้งนั้นใช้สูตรสองได้ครับ ข้อนี้ n=12,d=2
\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\)
\(S_{12}=\frac{12}{2}\left[2(3)+(12-1)2\right]\)
\(S_{12}=6\left[6+22\right]\)
\(S_{12}=168\)
ตัวอย่าง 2 ลำดับชุดหนึ่ง มี \(a_{n}=2n+1\) จงหาค่าของ \(S_{10}\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้ค่าหา \(S_{10}\) ดังนั้นเราจำเป็นต้องรู้ค่าของ \(a_{10}\) และ \(a_{1}\) ก่อนครับ
ก็หาจากลำดับที่โจทย์กำหนดมาให้จาก
\(a_{n}=2n+1\)
\(a_{10}=2(10)+1\)
\(a_{10}=21\)
ต่อไปหา \(a_{1}\)
\(a_{1}=2(1)+1\)
\(a_{1}=3\)
โจทย์ให้หาค่า \(S_{10}\) พจน์แรกรู้ พจน์สุดท้ายรู้ ก็แทนค่าในสูตรนี้เลย ให้หา \(S_{10}\) ดังนั้นพจน์สุดท้ายคือ \(a_{10}\) นั่นเองครับ
\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)
\(S_{10}=\frac{10}{2}(3+21)\)
\(S_{10}=120\)
ตัวอย่าง 3 ลำดับชุดหนึ่งมี \(a_{n}=3n-1\) จงหาค่าของ \(a_{6}+a_{7}+a_{8}+...+a_{20}\)
วิธีทำ เรามาดูตรงนี้ก่อน \(S_{20}\) คือผลบวก 20 พจน์แรก ซึ่งก็คือ
\(S_{20}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}...+a_{20}\)
และ \(S_{5}\) คือผลบวก 5 พจน์แรก ซึ่งก็คือ
\(S_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\)
ซึ่งเราจะเห็นว่า ต้องเห็นเหมือนผมนะ
\(S_{20}-S_{5}=a_{6}+a_{7}+a_{8}+...+a_{20}\) ดังนั้นข้อนี้ก็คือหาค่าของ \(S_{20}-S_{5}\) นั่นเองครับ
หาทีละตัวก่อนนะแล้วค่อยเอามาลบกันครับ
\(S_{20}\) ก่อน ต้องหา \(a_{20},a_{1}\) ให้ได้ก่อน
จาก \(a_{n}=3n-1\)
\(a_{20}=3(20)-1\)
\(a_{20}=59\)
\(a_{1}=3(1)-1\)
\(a_{1}=2\)
\(S_{20}=\frac{20}{2}(2+59)\)
\(S_{20}=10(61)\)
\(S_{20}=610\)
ต่อไปหา \(S_{5}\) ครับ
จาก \(a_{n}=3n-1\)
\(a_{5}=3(5)-1\)
\(a_{5}=14\)
\(S_{5}=\frac{5}{2}(2+14)\)
\(S_{5}=\frac{5}{2}\times 16\)
\(S_{5}=5\times 8\)
\(S_{5}=40\)
หาได้ทั้งสองอันแล้วก็เอามาลบกันก็จะได้คำตอบครับ
\(S_{20}-S_{5}=610-40=570\)
ตัวอย่าง 4 ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี \(a_{5}=17\) และ \(a_{9}=33\) จงหาค่าของ \(S_{7}\)
วิธีทำ จาก
\(S_{7}=\frac{7}{2}(a_{1}+a_{7})\) ก่อนที่เราจะหา \(S_{7}\) ได้ เราต้องรู้ค่าของ \(a_{1}\) กับ \(a_{5}\) ก่อนครับ วิธีการหาก็หาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ครับ
ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตจะมีพจน์ทั่วไปคือ
\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{5}=a_{1}+4d\) แทนค่า \(a_{5}\) ด้วย 17 ครับจะได้
\(17=a_{1}+4d\) ให้เป็นสมการที่ 1
มาดูอีกอันครับ
\(a_{9}=a_{1}+8d\)
\(33=a_{1}+8d\) ให้เป็นสมการที่ 2 ถ้าเราเอาสมการสองสมการที่เรามีมาลบกันเราก็จะหาค่า d ได้ พอเรารู้ค่า d เราก็จะหา พวก \(a_{1},a_{7}\) ได้หมดเลยครับ
นำสมการที่ 2 ลบออกด้วย สมการที่ 1 จะได้
\(33-17=(a_{1}+8d)-(a_{1}+4d)\)
\(16=4d\)
\(d=\frac{16}{4}\)
\(d=4\)
แทนค่า d ด้วย 4 ในสมการที่ 1 เพื่อหาค่า \(a_{1}\) ออกมาครับ
จะได้
\(17=a_{1}+4(4)\)
\(17=a_{1}+16\)
\(a_{1}=1\)
ต่อไปก็หาค่า \(a_{7}\) ออกมาเพื่อนำไปใช้ในการหาค่า \(S_{7}\)
\(a_{7}=a_{1}+6d\)
\(a_{7}=1+(6)(4)\) อย่าลืมนะค่า d กับ \(a_{1}\) เราหาไว้แล้ว
\(a_{7}=25\)
จาก
\(S_{7}=\frac{7}{2}(a_{1}+a_{7})\)
\(S_{7}=\frac{7}{2}(1+25)\)
\(S_{7}=\frac{7}{2}\times 26\)
\(S_{7}=7\times 13\)
\(S_{7}=91\)
ข้อนี้ตอบ 91 ครับ ไม่ยากนะแต่ว่าเวลาพิมพ์ต้องพิมพ์ยาวแบบนี้เพื่อความเข้าใจ
ตัวอย่างที่ 5 ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี \(a_{1}=3\) และ \(S_{10}=210\) จงหาค่าของ \(a_{8}\)
วิธีทำ เนื่องจากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ดังนั้น \(a_{8}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{8}=a_{1}+(n-1)d\)
แสดงว่าเราต้องรู้ค่าของ \(a_{1}\) และ \(d\) แต่ \(a_{1}\) เรารู้แล้วดังนั้นเหลือแค่หาค่าของ \(d\)
จากสูตรที่เรารู้คือ \(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\) จะได้
\(S_{10}=\frac{10}{2}\left[2a_{1}+(10-1)\right]d\) แทนค่าต่างๆลงไปในสมการเลยครับ
\(210=5\left[2(3)+9d\right]\)
\(\frac{210}{5}=(6+9d)\)
\(42=6+9d\)
\(42-6=9d\)
\(36=9d\)
\(d=\frac{36}{9}\)
\(d=4\)
ต่อไปเราก็หาค่า \(a_{8}\) ได้แล้วครับ
จาก \(a_{8}=a_{1}+(8-1)d\)
\(a_{8}=3+7(4)\)
\(a_{8}=3+28\)
\(a_{8}=31\) ตอบ 31 นะครับข้อนี้
ตัวอย่างที่ 6 จงหาว่าจะต้องบวกอนุกรม \(2+7+12+...\) ไปกี่พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ 87
วิธีทำ จะเห็นว่าอนุกรมที่โจทย์ให้มาเป็นอนุกรมเลขคณิต มีค่า \(d=7-2=5\)
จากสูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกคือ
\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\) แทน \(S_{n}\) ด้วย 87 ครับเพราะเขาต้องการให้ผลบวกเท่ากับ 87
\(87=\frac{n}{2}\left[2(2)+(n-1)5\right]\)
\(87\times 2=n\left[4+5n-5\right]\)
\(174=5n^{2}-n\)
\(5n^{2}-n-174=0\) แยกตัวประกอบครับ
\((5n=29)(n-6)=0\)
ดังนั้น
\(n=-\frac{29}{5}\) หรือ \(n=6\) แต่ต้องตอบ 6 ครับเพราะ n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
ตัวอย่างที่ 7 อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่งมี \(S_{12}=60\) จงหาค่าของ \(a_{1}+a_{12}\)
วิธีทำ จากที่เรารู้ว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ดังนั้น \(a_{12}=a_{1}+11d\) แทนค่าลงไปในสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้เลยครับ
\(a_{1}+a_{12}=a_{1}+a_{1}+11d=2a_{1}+11d\) ดังนั้นข้อนี้คือเขาให้หา \(2a_{1}+11d\) นั่นเอง
แล้วจะหายังไงก็หาจาก \(S_{12}=60\)
\(S_{12}=\frac{12}{2}\left[2a_{1}+(12-1)d\right]\)
\(60=6\left[2a_{1}+11d\right]\)
\(\frac{60}{6}=2a_{1}+11d\)
\(10=2a_{1}+11d\) ข้อนี้ตอบ 10 นั่นเองครับ
ดูคลิปประกอบครับ เป็นโจทย์อนุกรมเลขคณิต