-
พาราโบลา
ตอน ม.3 เราเคยเรียนพาราโบลา มาแล้วแหละ ถ้าใครจำไม่ได้ก็สามารถกลับไปทบทวนอ่านได้ตามลิงค์ที่ผมใส่เอาไว้ให้ได้ครับ ส่วน ม.4 เราก็จะได้เรียนพาราโบลาอีกทีหนึ่งเนื้อหาก็จะเข้มข้นมากยิ่งขึ้นครับ แต่ถ้าใครเข้าใจตอน ม.3 แล้วก็จะสบายๆ พาราโบลา ม.4 ก็คือเป็นการเรียนต่อยอดตอน พาราโบลา ม.3 นั่นเองครับ ถ้ามีคนถามว่าพาราโบลา คืออะไร ก็ตอบเขาไปว่ามันคือเส้นโค้งๆ เดี่ยวผมจะมีรูปประกอบให้ดูด้านล่างครับ แต่ถ้ามีคนถามอีกว่าเรียนพาราโบลาไปทำไม ก็ตอบเขาไปว่า เคยเห็นลำโพงไหม หรือเคยเห็น ไฟหน้ารถยนต์ไหม ถ้าเราสังเกตดีๆลำโพงนี้จะมีลักษณะเป็นเหมือนกับจาน จานนี้นักคณิตศาสตร์เรียกกันว่า จานพาราโบลอยด์ ดูรูปประกอบครับ แล้วทำไมต้องเป็นรูปจาน เป็นรูปอย่างอื่นไม่ได้หรอ คำตอบคือไม่ได้ ทำไมไฟหน้ารถหรือว่าลำโพงจึงต้องไปพาราโบลอยด์(paraboloid)ให้พวกเราไปค้นหาคำตอบเองแล้วกันครับ นี่ก็คือการประยุกต์ใช้ความรู้พวกนี้มาช่วยในด้านประโยชน์ในชีวิตประจำวัน
มาดูรูปกันครับ นี่คือพาราโบลา(parabolar) ซึ่งมีทั้งพาราโบลาที่เป็นแบบระฆังหงาย แบบระฆังคว่ำ(อ้นนี้ได้เรียนตอน ม.3) และมีแบบตะแคงซ้ายกับตะแคงขวา อันนี้จะได้เรียนเพิ่มตอน ม.4 ครับ
ที่นี้เราลองคิดตามนะ ถ้าเราเอาพาราโบลานี้มาหมุนแบบเร็วๆ เราก็จะมองเห็นว่ามันคือแผ่นถ้วยหรือว่าแผ่นจานนั่นเองครับ ซึ่งเรียกแผ่นถ้วยหรือว่าจานนี้ พาราโบลอยด์(paraboloid) ก็จะมีลักษณะเหมือนลำโพงหรือไฟหน้ารถยนต์ครับ ดังรูป
ขอบคุณภาพจาก:https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid#/media/File:Paraboloid_of_Revolution.svg
นี่คือความรู้เบื้องต้นคร่าวๆที่ต้องรู้ครับ ต่อไปเราก็จะมาลงเกี่ยวกับสมการพาราโบลาในแบบต่างๆ ก็จะมีแบบระฆังคว่ำ ระฆังหงาย กับแบบตะแคงซ้ายคะแคงขวา มาดูนิยามของพาราโบลาก่อน
บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา
พาราโบลา(parabola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุด F ที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรง \(l\) ที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัส และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า เส้นบังคับ หรือ ไดเรกตริกซ์ (directrix) ของพาราโบลา
ต่อไปเรามาดูสมการพาราโบลากันดีกว่าครับ
สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นรูประฆัง คือ
\[x^{2}=4py\]
ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังหงายตามรูปด้านล่าง
ถ้า \(p<0\) จะเป็นระฆังคว่ำตามรูปด้านล่าง
ทั้งสองรูปจะมี
จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)
จุดโฟกัสอยู่ที่ \((0,p)\)
สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ \(y=-p\)
สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นระฆังตะแคงซ้ายและระฆังตะแคงขวา คือ
\[y^{2}=4px\]
ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังตะแคงขวาตามรูปด้านล่าง
ถ้า \(p<0\) จะเป็นระฆังตะแคงซ้ายตามรูปด้านล่าง
ทั้งสองรูปจะมี
จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)
จุดโฟกัสอยู่ที่ \((p,0)\)
สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ \(x=-p\)
อีกอันหนึ่งที่เราควรรู้คือ ลาตัสเรกตัม (latus rectum) คือคอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนพาราโบลาและลากผ่านโฟกัสของพาราโบลา ดูรูปด้านล่างประกอบนะครับ ความยาวของลาตัสเรกตัมใช้วัดความกว้าง ของพาราโบลา ซึ่งความยาวของเส้นลาตัสเรกตัมนี้หาได้จาก \(|4p|\)
ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดดีกว่าครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหาโฟกัส ไดเรกตริกซ์ และความยาวของลาตัสเรกตัมของพาราโบลาแล้วเขียนกราฟ
1) \(y=4x^{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ลองจัดสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคือจัดให้อยู่ในรูปของ \(x^{2}=4py\)
จาก
\(y=4x^{2}\)
\(x^{2}=\frac{1}{4}y\)
\(x^{2}=4\frac{1}{16}y\) หน้าตาเปลี่ยนแต่ค่าเท่าเดิมไม่เชื่อลองตัดทอนดูครับ
เราจึงได้ว่าสมการนี้คือพาราโบลาระฆังหงายและมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0,0) เพราะ \(p=\frac{1}{16}>0\)
จุดโฟกัสคือ \((0,p)\) คือ \((0,\frac{1}{16})\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=-p\) คือ \(y=-\frac{1}{16}\)
ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=4\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)
2) \(8x+12y^{2}=0\)
วิธีทำ จัดสมการเหมือนเดิมครับ
จาก
\(8x+12y^{2}=0\)
\(12y^{2}=-8x\)
\(y^{2}=-\frac{8}{12}x\)
\(y^{2}=-\frac{4\times 2}{12}x\)
\(y^{2}=-4\frac{1}{6}x\) จัดรูปให้อยู่ในสมการมาตรฐานคือ \(y^{2}=4px\)
จากหน้าตาของสมการแล้วจะได้ว่า สมการนี้เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) เป็นพาราโบลาตะแคงซ้ายเนื่องจากค่า \(p=-\frac{1}{6}<0\)
จุดโฟกัสคือ \((p,0)\) คือ \((-\frac{1}{6},0)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=-p\) คือ \(x=-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{6}\)
ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=|4(-\frac{1}{6})|=\frac{2}{3}\)
ต่อไปเราก็มาดูเกี่ยวกับพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) ก็คือจุดยอดอยู่ที่ไหนก็ได้ครับ
พาราโบลาระฆังหงายและระฆังคว่ำที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) จะมีสมการคือ
\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]
เมื่อ \(p>0\) พาราโบลาจะเป็นระฆังหงาย
เมื่อ \(p<0\) พาราโบลาจะเป็นระฆังคว่ำ
จุดยอดคือ (h,k)
จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p\)
พาราโบลาคะแคงซ้ายและขวาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) จะมีสมการคือ
\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]
เมื่อ \(p>0\) พาราโบลาจะตะแคงขวา
เมื่อ \(p<0\) พาราโบลาจะตะแคงซ้าย
จุดยอดคือ (h,k)
จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p\)
มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหา จุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกส์ของพาราโบลาและเขียนกราฟ
1) \((x-3)^{2}=8(y+2)\)
วิธีทำ ถ้าเราลองเทียบสมการที่โจทย์ให้มากับสมการนี้
\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]
เราจะเห็นว่ามันคือพาราโบลานั่นเองครับ จัดสมการนิดหนึ่ง
\begin{array}{lcl}(x-3)^{2}&=&8(y+2)\\(x-3)^{2}&=&4(2)(y+2)\end{array}
จะเห็นว่า \(p=2\) นั่นมันเป็นพาราโบลาระฆังหงายนั่นเองครับ
จุดยอดคือ เนื่องจาก h=3 ,k=-2 ดังนั้น
จุดยอดคือ (3,-2)
จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\) นั่นคือ \((3,-2+2)\)
จุดโฟกัสคือ \((3,0)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p=-2-2=-4\)
2) \(y^{2}=16x+8\)
วิธีทำ ต้องลองจัดสมการดูครับ
จาก
\begin{array}{lcl}y^{2}&=&16x+8\\y^{2}&=&16(x+\frac{8}{16})\\y^{2}&=&16(x+\frac{1}{2})\\(y-0)^{2}&=&4(4)(x+\frac{1}{2})\end{array}
ลองเอาสมการที่จัดมาเทียบกันสมการนี้ดูครับ
\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]
จะเห็นว่าเป็นสมการพาราโบลาตะแคงขวา เพราะมี \(p=4\)
มีจุดยอดคือ \((-\frac{1}{2},0)\)
จุดโฟกัสคือ \((-\frac{1}{2}+4,0)\) ซึ่งก็คือ \((\frac{7}{2},0)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-\frac{1}{2}-4=-\frac{9}{2}\)
3) \(x-y^{2}+4y-2=0\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องจัดรูปครับใช้กำลังสองสมบูรณ์มาช่วยครับ
\begin{array}{lcl}x-y^{2}+4y&=&0\\-y^{2}+4y&=&2-x\\y^{2}-4y&=&x-2\\y^{2}-2(2)y+2^{2}&=&x-2+2^{2}\\(y-2)^{2}&=&x+2\\(y-2)^{2}&=&4(\frac{1}{4})(x+2)\end{array}
สมการนี้คือพาราโบลาครับ เป็นพาราโบลาตะแคงขวาเพราะ \(p=\frac{1}{4}>0\)
จุดยอดคือ \((-2,2)\)
จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)=(-2+\frac{1}{4},2)=(-\frac{7}{4},2)\)
สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-2-\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}\)