-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์(10)
1.ซื้อของมา 200 ชิ้น ชิ้นละ 50 บาท พอมาแยกขาย ของชิ้นที่สภาพดีขายได้ชิ้นละ 60 บาท ของที่ชิ้นที่สภาพไม่ค่อยดีขายได้ขิ้นละ 20 บาท ขายทั้งหมดได้กำไร 10% อยากรู้ว่าของชิ้นที่สภาพดีมีกี่ชิ้น
วิธีทำ ข้อนี้เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และมีเรื่องกำไรขาดทุนมาเกี่ยวข้องเล็กน้อย ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดตัวแปรก่อน เขาให้หาอะไรเราก็กำหนดตัวนั้นแหละเป็นตัวแปร เช่นข้อนี้
กำหนดให้
ของชิ้นที่สภาพดีมีทั้งหมด \(x\) ชิ้น
ของชิ้นที่สภาพไม่ดีมีทั้งหมด \(y\) ชิ้น
เขาซื้อของมา 200 ชิ้น ดังนั้น \(x+y=200\quad\cdots (1)\)
ต่อมาจะเห็นว่าซื้อของมา 200 ชิ้น ชิ้นละ 50 บาทก็จะเป็นเงินทั้งหมด \(200\times 50=10000\) บาท ต่อจากนั้นเขาเอาไปแยกขาย แล้วขายได้กำไร 10% ก็คือได้กำไร \(\frac{10}{100}\times 10000=1000\) บาทนั่นเอง นั้นหมายความว่าหลังจากแยกแล้วขายได้เงิน \(10000+1000=11000\) บาท นั่นคือได้สมการอีกอันหลังจากที่แยกขายคือ
\(60x+20y=11000\quad\cdots (2)\) อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งขายสภาพดีมีทั้งหมด \(x\) ชิ้น ขายไปชิ้นละ 60 บาท ดังนั้นเป็นเงิน \(60x\) บาท ใช่ไหม ของสภาพไม่ดีก็เหมือนกันขายได้เงิน \(20y\) บาท เอามารวมกันก็จะได้เป็นเงินหนึ่งหมื่นหนึ่งพันบาท
ตอนนี้เราได้สมการสองสมการแล้วคือ
\(x+y=200\quad\cdots (1)\)
\(60x+20y=11000\quad\cdots (2)\)
นำ \(60\times (1)\) จะได้ \(60x+60y=12000\quad\cdots (3)\)
นำ \((3) - (2)\) จะได้ \(40y=1000\) ดังนั้น
\(y=\frac{1000}{40}=25\)
นั้นก็คือ ขายสินค้าสภาพไม่ดีไปทั้งหมด 25 ชิ้น
ดั้งนั้น จะขายสิ้นค้าสภาพดีได้
\begin{array}{lcl}x+y=200\\x+25=200\\x&=&175\end{array}
คำตอบข้อนี้ก็คือสินค้าสภาพดีมี 175 ชิ้น
-
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นหรือภาษาอังกฤษคือ system of linear equations ความรู้ในเรื่องระบบสมการเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ได้หลายเรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นจะประกอบด้วยสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองสมการขึ้นไปครับ
ในหัวข้อนี้เราจะสนใจวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นครับ ซึ่งเนื้อหาในบทความนี้จะเป็นเนื้อหาที่เหมาะกับ ม.4 ครับเพราะเป็นระบบสมการที่มีตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไปซึ่งต่างจากที่เรียนตอน ม.3 ระบบสมการที่เราแก้นั้นมีเพียงแค่ 2 สมการเท่านั้นแต่หลักการในการหาคำตอบก็เหมือนกันครับ ลองไปทำแบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้นครับที่จริงเรื่องนี้จะเกี่ยวกับเมทริกซ์ด้วยเพราะต่อไปเราจะแก้ระบบสมการโดยใช้เมตรทริทซ์ แต่ตอนนี้เอาวิธีธรรมดาก่อนไปดูวิธีการเลยครับ พูดมากเดี๋ยวงง ครับหรือถ้าใครยังไม่แม่นพอแนะนำให้ไปอ่านพื้นฐานของการแก้ระบบสมการของ ม.3 ก่อนครับตามลิงค์ด้านล่าง
ระบบสมการ ม.3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 3
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร(2)
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้น
1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1.1)
\begin{array}{lcl}x+y+z=2\\x+y-z=4\\x+2y+z=4\end{array}
วิธีทำ ก่อนอื่นตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนครับ
ให้
\(x+y+z=2\) ชื่อว่าสมการ (1)
\(x+y-z=4\) ชื่อว่าสมการ (2)
\(x+2y+z=4\) ชื่อว่าสมการ (3)
เริ่มแก้ระบบสารเลยครับ ถ้าลองดูดีๆจะเห็นว่าสมการ (1) กับ (2) มีตัวแปรเหมือนกันคือ x และ y ดังถ้าจับสมการสองสมการนี้ลบกันตัวแปร x กับ y ก็จะหายไปเหลือ z ตัวเดียวก็หาค่า z ได้ครับ ดังนั้นจับสมการ (1) กับ (2) มาลบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\quad ...(1)\\x+y-z&=&4\quad...(2)\\x+2y+z&=&4\quad...(3)\\ นำ\quad (1)-(2)\quad จะได้ \\(x+y+z)-(x+y-z)&=&2-4\\2z&=&-2\\z&=&-1\end{array}
ได้ค่าของ z แล้วนะ ทีนี้ถ้าเหลือบไปดูสมการ (3) กับ (1) จะเห็นว่ามีตัวแปรเหมือนกันคือ x กับ z จับสองสมการนี้มาลบกันสองตัวนี้ก็จะหายหาค่า y ได้ใช่ไหมครับ เริ่มทำเลย
นำ (3)-(1) จะได้
\begin{array}{lcl}(x+2y+z)-(x+y+z)&=&4-2\\y&=&2\end{array}
ตอนนี้เราได้
\(z=-1\)
\(y=2\)
นำค่า z และ y ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการไหนก็ได้เพื่อหาค่า x ออกมาครับผมเอาไปแทนในสมการ (1) นะครับจะได้
\begin{array}{lcl}x+2-1&=&2\\x&=1\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((1,2,-1)\)
การแก้ระบบสมการก็ประมาณนี้ครับเอาสมการมาลบ มาบวกกัน หรือบางที่ต้องเอาตัวเลขจากข้างนอกมาคูณเข้าด้วย ต่อไปผมไม่อธิบายละเอียดแล้วนะพยายามสังเกตและลองทำเองครับ
1.2)
\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\\3x+y&=&6\\2x+y&=&1\end{array}
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\quad...(1)\\3x+y&=&6\quad...(2)\\2x+y&=&1\quad...(3)\end{array}
นำ (2)-(3) จะได้
\begin{array}{lcl}(3x+y)-(2x+y)&=&6-1\\x&=&5\end{array}
ต่อไปก็เอาค่า x ที่เราได้ไปแทนในสมการ (3) เพื่อหาค่า y จะได้
\begin{array}{lcl}2(5)+y&=&1\\y&=&-9\end{array}
ตอนนี้ x=5,y=-9 เอาไปแทนในสมการ (1) เพื่อหาค่า z จะได้
\begin{array}{lcl}5+2(-9)-z&=&3\\-13-z&=&3\\-z&=&16\\z&=&-16\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-9,-16)\)
1.3)
\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\\-x+4y+2z&=&-4\\3x-y+2z&=&9\end{array}
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\quad...(1)\\-x+4y+2z&=&-4\quad...(2)\\3x-y+2z&=&9\quad...(3)\end{array}
ข้อนี้ยากหน่อยก็ลองๆทำครับ ทำเรื่อยๆเดี่ยวก็ชำนาญเองครับ
นำ (3)-(2) จะได้
\begin{array}{lcl}(3x-y+2z)-(-x+4y+2z)&=&9-(-4)\\4x-5y&=&13\quad...(4)\end{array}
นำ \(2\times (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}4x-6y+2z&=&16\quad...(5)\end{array}
จะเห็นว่าหลังจากเอา 2 คูณสมการ (1) จะเกิดพจน์ 2z ต่อไปดูนะผมจะเอาสมการ (5)-(3) จะได้
\begin{array}{lcl}(4x-6y+2z)-(3x-y+2z)&=&16-9\\x-5y&=&7\quad...(6)\end{array}
สังเกตสมการ (6) กับสมการ (4) นะมีพจน์ -5y เหมือนกันถ้าจับมาลบกันก็จะได้
\begin{array}{lcl}(4x-5y)-(x-5y)&=&13-7\\3x&=&6\\x&=&2\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า x แล้วนะครับ นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการ (4) หรือ (6) ก็ได้เพื่อหาค่า y ออกมาครับผมเอาไปแทนใน (6) แล้วกันครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}2-5y&=&7\\-5y&=&5\\y&=&-1\end{array}
ตอนนี้ได้ x=5,y=-1 ต่อไปหาค่า z ครับ เอาค่า x กับ y ที่เราหาได้ไปแทนในสมการ (1),(2),(3) หรือ (5) สมการไหนก็ได้ผมเลือกแทนในสมการง่ายๆคือสมการ (1) ก็จะได้
\begin{array}{lcl}2(5)-3(-1)+z&=&8\\10+3+z&=&8\\z&=&8-13\\z&=&-5\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-1,-5)\)
ข้อนี้พยายามคิดตามนะครับว่าทำไปต้องเอาสมการนี้มาลบกับสมการนี้ ทำไมต้องเอาเลขนี้มาคูณสมการนี้ทุกอย่างมีเหตุผลนะครับลองๆคิดตามครับ ต้องฝึกทำเยอะๆครับ
1.4)\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\\x+y+2z+2t&=&6\\2y+5z+2t&=&5\\x+y+3z+4t&=&1\end{array}
วิธีทำ ข้อนี้มี 4 สมการเลยครับค่อยๆดูวิธีการทำนะครับ
\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\quad...(1)\\x+y+2z+2t&=&6\quad...(2)\\2y+5z+2t&=&5\quad...(3)\\x+y+3z+4t&=&1\quad...(4)\end{array}
นำ \(2\times (2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x+2y+4z+4t&=&12\quad...(5)\end{array}
นำ \((5)-(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}z+2t&=&1\end{array}
นำ \(2\times (4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x+2y+6z+8t&=&2\quad...(7)\end{array}
นำ \((7)-(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3z+6t&=&-9\\z+2t&=&-3\quad...(8)\end{array}
สังเกตสมการ \((6)\) กับ สมการ \((8)\) ก็คือ
\(z+2t=1\)
\(z+2t==3\)
เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถหาค่า \(z\) และ \(t\) ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกันดังนั้นระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ