-
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นหรือภาษาอังกฤษคือ system of linear equations ความรู้ในเรื่องระบบสมการเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ได้หลายเรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นจะประกอบด้วยสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองสมการขึ้นไปครับ
ในหัวข้อนี้เราจะสนใจวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นครับ ซึ่งเนื้อหาในบทความนี้จะเป็นเนื้อหาที่เหมาะกับ ม.4 ครับเพราะเป็นระบบสมการที่มีตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไปซึ่งต่างจากที่เรียนตอน ม.3 ระบบสมการที่เราแก้นั้นมีเพียงแค่ 2 สมการเท่านั้นแต่หลักการในการหาคำตอบก็เหมือนกันครับ ลองไปทำแบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้นครับที่จริงเรื่องนี้จะเกี่ยวกับเมทริกซ์ด้วยเพราะต่อไปเราจะแก้ระบบสมการโดยใช้เมตรทริทซ์ แต่ตอนนี้เอาวิธีธรรมดาก่อนไปดูวิธีการเลยครับ พูดมากเดี๋ยวงง ครับหรือถ้าใครยังไม่แม่นพอแนะนำให้ไปอ่านพื้นฐานของการแก้ระบบสมการของ ม.3 ก่อนครับตามลิงค์ด้านล่าง
ระบบสมการ ม.3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 3
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร(2)
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้น
1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1.1)
\begin{array}{lcl}x+y+z=2\\x+y-z=4\\x+2y+z=4\end{array}
วิธีทำ ก่อนอื่นตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนครับ
ให้
\(x+y+z=2\) ชื่อว่าสมการ (1)
\(x+y-z=4\) ชื่อว่าสมการ (2)
\(x+2y+z=4\) ชื่อว่าสมการ (3)
เริ่มแก้ระบบสารเลยครับ ถ้าลองดูดีๆจะเห็นว่าสมการ (1) กับ (2) มีตัวแปรเหมือนกันคือ x และ y ดังถ้าจับสมการสองสมการนี้ลบกันตัวแปร x กับ y ก็จะหายไปเหลือ z ตัวเดียวก็หาค่า z ได้ครับ ดังนั้นจับสมการ (1) กับ (2) มาลบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\quad ...(1)\\x+y-z&=&4\quad...(2)\\x+2y+z&=&4\quad...(3)\\ นำ\quad (1)-(2)\quad จะได้ \\(x+y+z)-(x+y-z)&=&2-4\\2z&=&-2\\z&=&-1\end{array}
ได้ค่าของ z แล้วนะ ทีนี้ถ้าเหลือบไปดูสมการ (3) กับ (1) จะเห็นว่ามีตัวแปรเหมือนกันคือ x กับ z จับสองสมการนี้มาลบกันสองตัวนี้ก็จะหายหาค่า y ได้ใช่ไหมครับ เริ่มทำเลย
นำ (3)-(1) จะได้
\begin{array}{lcl}(x+2y+z)-(x+y+z)&=&4-2\\y&=&2\end{array}
ตอนนี้เราได้
\(z=-1\)
\(y=2\)
นำค่า z และ y ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการไหนก็ได้เพื่อหาค่า x ออกมาครับผมเอาไปแทนในสมการ (1) นะครับจะได้
\begin{array}{lcl}x+2-1&=&2\\x&=1\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((1,2,-1)\)
การแก้ระบบสมการก็ประมาณนี้ครับเอาสมการมาลบ มาบวกกัน หรือบางที่ต้องเอาตัวเลขจากข้างนอกมาคูณเข้าด้วย ต่อไปผมไม่อธิบายละเอียดแล้วนะพยายามสังเกตและลองทำเองครับ
1.2)
\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\\3x+y&=&6\\2x+y&=&1\end{array}
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\quad...(1)\\3x+y&=&6\quad...(2)\\2x+y&=&1\quad...(3)\end{array}
นำ (2)-(3) จะได้
\begin{array}{lcl}(3x+y)-(2x+y)&=&6-1\\x&=&5\end{array}
ต่อไปก็เอาค่า x ที่เราได้ไปแทนในสมการ (3) เพื่อหาค่า y จะได้
\begin{array}{lcl}2(5)+y&=&1\\y&=&-9\end{array}
ตอนนี้ x=5,y=-9 เอาไปแทนในสมการ (1) เพื่อหาค่า z จะได้
\begin{array}{lcl}5+2(-9)-z&=&3\\-13-z&=&3\\-z&=&16\\z&=&-16\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-9,-16)\)
1.3)
\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\\-x+4y+2z&=&-4\\3x-y+2z&=&9\end{array}
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\quad...(1)\\-x+4y+2z&=&-4\quad...(2)\\3x-y+2z&=&9\quad...(3)\end{array}
ข้อนี้ยากหน่อยก็ลองๆทำครับ ทำเรื่อยๆเดี่ยวก็ชำนาญเองครับ
นำ (3)-(2) จะได้
\begin{array}{lcl}(3x-y+2z)-(-x+4y+2z)&=&9-(-4)\\4x-5y&=&13\quad...(4)\end{array}
นำ \(2\times (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}4x-6y+2z&=&16\quad...(5)\end{array}
จะเห็นว่าหลังจากเอา 2 คูณสมการ (1) จะเกิดพจน์ 2z ต่อไปดูนะผมจะเอาสมการ (5)-(3) จะได้
\begin{array}{lcl}(4x-6y+2z)-(3x-y+2z)&=&16-9\\x-5y&=&7\quad...(6)\end{array}
สังเกตสมการ (6) กับสมการ (4) นะมีพจน์ -5y เหมือนกันถ้าจับมาลบกันก็จะได้
\begin{array}{lcl}(4x-5y)-(x-5y)&=&13-7\\3x&=&6\\x&=&2\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า x แล้วนะครับ นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการ (4) หรือ (6) ก็ได้เพื่อหาค่า y ออกมาครับผมเอาไปแทนใน (6) แล้วกันครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}2-5y&=&7\\-5y&=&5\\y&=&-1\end{array}
ตอนนี้ได้ x=5,y=-1 ต่อไปหาค่า z ครับ เอาค่า x กับ y ที่เราหาได้ไปแทนในสมการ (1),(2),(3) หรือ (5) สมการไหนก็ได้ผมเลือกแทนในสมการง่ายๆคือสมการ (1) ก็จะได้
\begin{array}{lcl}2(5)-3(-1)+z&=&8\\10+3+z&=&8\\z&=&8-13\\z&=&-5\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-1,-5)\)
ข้อนี้พยายามคิดตามนะครับว่าทำไปต้องเอาสมการนี้มาลบกับสมการนี้ ทำไมต้องเอาเลขนี้มาคูณสมการนี้ทุกอย่างมีเหตุผลนะครับลองๆคิดตามครับ ต้องฝึกทำเยอะๆครับ
1.4)\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\\x+y+2z+2t&=&6\\2y+5z+2t&=&5\\x+y+3z+4t&=&1\end{array}
วิธีทำ ข้อนี้มี 4 สมการเลยครับค่อยๆดูวิธีการทำนะครับ
\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\quad...(1)\\x+y+2z+2t&=&6\quad...(2)\\2y+5z+2t&=&5\quad...(3)\\x+y+3z+4t&=&1\quad...(4)\end{array}
นำ \(2\times (2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x+2y+4z+4t&=&12\quad...(5)\end{array}
นำ \((5)-(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}z+2t&=&1\end{array}
นำ \(2\times (4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x+2y+6z+8t&=&2\quad...(7)\end{array}
นำ \((7)-(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3z+6t&=&-9\\z+2t&=&-3\quad...(8)\end{array}
สังเกตสมการ \((6)\) กับ สมการ \((8)\) ก็คือ
\(z+2t=1\)
\(z+2t==3\)
เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถหาค่า \(z\) และ \(t\) ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกันดังนั้นระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ
-
แก้สมการ 3 ตัวแปร 2 สมการ
วันนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็น 3 ตัวแปรครับ ส่วนที่เป็น 2 ตัวแปรก็หาอ่านได้เลยในเว็บคับ ลองค้นหาในเว็บว่า ระบบสมการเชิงเส้น ก็น่าจะมีเยอะคับ เอาละ ไปไปดูวิธีการกันเลยครับ ส่วนใหญ่การระบบสมการ จะใช้การกำจัดตัวแปร โดยการนำสมการมาลบ หรือว่า มาบวกกัน ครับ ลองอ่านดูและก็วิเคราะห์ไปทีละขั้นตอน แล้วจะเข้าใจเองครับ
\(1.\)
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\\x+y-z&=&4\\x+2y+z&=&4\end{array}
วิธีทำ กำหนดให้
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\quad\cdots (1)\\x+y-z&=&4\quad\cdots (2)\\x+2y+z&=&4\quad \cdots (3)\end{array}
นำสมการ \((1)-(2)\) จะได้ (เหตุผลที่นำมาลบกันเพราะว่าเราต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(y\))
\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+y-z)&=&2-4\\x+y+z-x-y+z&=&-2\\2z&=&-2\\\color{red}{z}&=&-1\end{array}
นำสมการ \((1)-(3)\) จะได้ (เหตุผลที่นำมาลบกันเพราะว่าเราต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(z\))
\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+2y+z)&=&2-4\\x+y+z-x-2y-z&=&-2\\-y&=&-2\\\color{blue}{y}&=&2\end{array}
เมื่อเราได้ค่าของ \(z\) และ ค่าของ \(y\) แล้ว ก็นำค่าเหล่านี้ไปแทนในสมการ \((1)\) หรือ \((2)\) หรือ \((3)\) ก็ได้เพื่อหาค่า \(x\) ออกมา ผมจะนำค่าของ \(z\) และ \(y\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) นะคับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x+2-1&=&2\\x+1&=&2\\\color{green}{x}&=&1\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((\color{green}{1},\color{blue}{2},\color{red}{-1})\)
\(2.\)
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&-2\\x-2y-2z&=&1\\x+2y+z&=&0\end{array}
วิธีทำ กำหนดให้
\begin{array}{lcl}x+y+z&=&-2\quad\cdots (1)\\x-2y-2z&=&1\quad\cdots (2)\\x+2y+z&=&0\quad\cdots (3)\end{array}
นำสมการ \((1)-(3)\) จะได้ (เหตุผลเพราะต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(z\) )
\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+2y+z)&=&-2-0\\x+y+z-x-2y-z&=&-2\\-y&=&-2\\y&=&2\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่า \(y\) แล้ว มองดูจากโจทย์ถ้าเรานำค่า \(y\)ที่ได้ ไปแทนในสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราก็จะได้สมการออกมาแบบนี้ซึ่งจะนำไปใช้ประโยชน์ต่อไป
แทน \(y=2\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x+2+z&=&-2\\x+z&=&-4\quad\cdots (4)\end{array}
แทน \(y=2\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-2(2)-2z&=&1\\x-4-2z&=&1\\x-2z&=&5\quad\cdots (5)\end{array}
ต่อไปสังเกตสมการ \((4)\) กับสมการ \((5)\) นะสามารถนำมาลบกันเพื่อกำจัดตัวแปร \((x\) ได้คับ จัดการเลย
นำ สมการ \((4)-(5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(x+z)-(x-2z)&=&-4-5\\x+z-x+2z&=&-9\\3z&=&-9\\z&=&-\frac{9}{3}\\z&=&-3\end{array}
ต่อไปแทน \(y=2\) และ \(z=-3\) ในสมการ \((1)\) เพื่อหาค่า \(x\) จะได้
\begin{array}{lcl}x+2-3&=&-2\\x-1&=&-2\\x&=&-1\end{array}
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ \((-1,2,-3)\)
\(3.\)
\begin{array}{lcl}x+y-z&=&2\\3x-y-2z&=&-1\\x-3y-3z&=&4\end{array}
วิธีทำ กำหนดให้
\begin{array}{lcl}x+y-z&=&2\quad\cdots (1)\\3x-y-2z&=&-1\quad\cdots (2)\\x-3y-3z&=&4\quad\cdots (3)\end{array}
เราจะกำจัดตัวแปร \(x\) โดยการนำสมการ \((1)-(3)\) ครับจะได้
\begin{array}{lcl}(x+y-z)-(x-3y-3z)&=&2-4\\x+y-z-x+3y+3z&=&-2\\4y+2z&=&-2\quad\cdots (4)\end{array}
ต่อไป นำ \(3\times (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\color{red}{3}\times(x+y-z)&=2\times\color{red}{3}\\3x+3y-3z&=&6\quad\cdots (5)\end{array}
จะเห็นได้ว่าสมการที่ \((5)\) กับสมการที่ \((2)\) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ \(3x\) จับมาลบกันกลายเป็นศูนย์แน่ๆ ดังนั้น
นำ \((5)-(2)\) เลยจะได้
\begin{array}{lcl}(3x+3y-3z)-(3x-y-2z)&=&6-(-1)\\3x+3y-3z-3x+y+2z&=&7\\4y-z&=&7\quad\cdots (6)\end{array}
สังเกตสมการที่ \((4)\) กับสมการที่ \((6)\) นะคับสามารถกำจัดตัวแปร \(z\) ได้ โดยนำสองคูณสมการที่\((6)\) แล้วบวกกับสมการที่ \((4)\) จะได้
นำ \(2\times (6)+(4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\color{red}{2}\times(4y-z)+(4y+2z)&=&(\color{red}{2}\times 7)+(-2)\\8y-2z+4y+2z&=&12\\12y&=&12\\y&=&\frac{12}{12}\\y&=&1\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่า \(y=1\) แล้ว นำค่านี้ไปแทนในสมการที่ \((4)\) หรือ \((6)\) ก็ได้ผมเลือกแทนในสมการที่ \((6)\) คับจะได้
\begin{array}{lcl}4(1)-z&=&7\\-z&=&7-4\\z&=&-3\end{array}
ต่อไปแทนค่า \(y=1\) และแทนค่า \(z=-3\) ลงในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาค่า \(x\) ออกมาจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x+1-(-3)&=&2\\x+1+3&=&2\\x&=&-2\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((-2,1,-3)\)
\(4.\)
\begin{array}{lcl}x+2y-2z&=&1\\2x+2y-z&=&4\\3x+4y-3z&=&6\end{array}
วิธีทำ กำหนดให้
\begin{array}{lcl}x+2y-2z&=&1\quad\cdots (1)\\2x+2y-z&=&4\quad\cdots (2)\\3x+4y-3z&=&6\quad\cdots (3)\end{array}
นำ สมการที่ \((1)-(2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(x+2y-2z)-(2x+2y-z)&=&1-4\\x+2y-2z-2x-2y+z&=&-3\\-x-z&=&-3\\\color{red}{x+z}&=&\color{red}{3}\quad\cdots (4)\end{array}
นำ \(2\times (2)\) จะได้
\[4x+4y-2z=8\quad\cdots (5)\]
นำ \((5)-(3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(4x+4y-2z)-(3x+4y-3z)&=&8-6\\\color{red}{x+z}&=&\color{red}{2}\quad\cdots (6)\end{array}
จากสมการที่ \((4)\) และ \((6)\) จะเห็นว่า \(2=3\) ซึ่งไม่จริง
ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
\(5\)
\begin{array}{lcl}x+2y+7z&=&7\\x+y+5z&=&7\\2x-y+4z&=&5\end{array}
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x+2y+7z&=&7\quad\cdots (1)\\x+y+5z&=&7\quad\cdots (2)\\2x-y+4z&=&5\quad\cdots (3)\end{array}
นำสมการ \((1)-(2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}y+2z&=&3\\y&=&3-2z\quad\cdots (4)\end{array}
นำ \(2\times (2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2x+2y+10z&=&14\quad\cdots (5)\end{array}
นำ สมการ \((5)-(3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3y+6z&=&9\quad\cdots (6)\end{array}
แทน \(y=3-3z\) ในสมการ \((6)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3(3-2z)+6z&=&9\\9-6z+6z&=&9\\9&=&9\end{array} สมการเป็นจริง
ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบที่เป็นอนันต์
จาก \(y=3-2z\)
นำ \(y=3-2z\) ไปแทนในสมการ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x+3-2z+5z&=&7\\x+3+3z&=&7\\x&=&4-3z\end{array}
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(z\) ได้คือ
\((4-3z,3-2z,z)\)