-
ความชันของเส้นตรง
ความชันของเส้นตรง ถ้าพูดถึงความชันของเส้นตรงแน่นอนทุกคนต้องนึกถึงความเอียงของเส้นถูกหรือเปล่าครับ เอียงมาก เอียงน้อย ถ้าใครยังคิดไม่ออก ให้เราลองนึกถึงบันได ถ้าบันไดชันมากๆ ก็จะขึ้นยาก ถูกต้องไหมครับ ที่นี้เรามาดู นิยามในทางคณิตศาสตร์บ้างว่าเขานิยามความชันของเส้นตรงไว้อย่างไรครับ
บทนิยาม
กำหนดให้ \(l\) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \(P_{1}(x_{1},y_{1})\) และ \(P_{2}(x_{2},y_{2})\) โดยที่ \(x_{1}\) กับ \(x_{2}\) ต้องไม่เท่ากัน
ให้ \(m\) เป็นความชันของเส้นตรง \(l\) สามารถหา \(m\) ได้จาก
\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\]
ดูภาพประกอบครับด้านล่างจะได้อ่านนิยามเข้าใจ
นี่คือนิยามของการหาความชันของเส้นตรงหรือว่าหาค่า \(m\) นั่นเองพยายามอ่านนิยามให้มันเข้าใจในครับ แล้วตรงนิยามเขาบอกว่า \(x_{1} กับ x_{2}\) ต้องไม่เท่ากัน ลองคิดเองนะครับว่าถ้ามันเท่ากันจะเกิดอะไรขึ้น (ดูรูปประกอบ) หรือในกรณีที่ \(y_{1}=y_{2}\) ความชันจะเป็นอยางไรลองคิดต่อเองในครับ
จากนิยามนี้ ก็คือถ้าเรารู้จุดสองจุดบนตรง เราก็จะหาความชัน(m) ของเส้นตรงนั้นได้ครับ
จากสูตรกาหาความชันของเส้นตรงคือ
\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\]
ถ้าเราลองเอา \(\frac{-1}{-1}\) คูณเข้าทั้งเศษและส่วน จะเห็นว่าลบหนึ่งส่วนลบหนึ่งก็คือ 1 นั่นเองนะครับ ลองเอาคูณเข้าดู อย่าลืมนะเอา 1 คูณตัวอะไรก็จะได้ตัวนั้นเหมือนเดิมหน้าตาอาจเปลี่ยนแต่ค่าเท่าเดิมจะได้
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\&=&\frac{-1}{-1}\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\&=&\frac{-1(y_{1}-y_{2})}{-1(x_{1}-x_{2})}\\&=&\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\end{array}
จากตรงนี้เราจะเห็นว่า
\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]
เลือกใช้ก้อนไหนก็ได้ครับได้คำตอบเท่ากัน
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ
1. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดต่อไปนี้
1.1 (0,0) และ (2,6)
วิธีทำ จากสูตร
\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\) แทนค่าลงไปเลย
\(m=\frac{0-6}{0-2}=\frac{-6}{-2}=3\)
หรือใครจะใช้สูตรอีกสูตรก็ได้คำตอบเท่ากัน
\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
\(m=\frac{6-0}{2-0}=3\)
ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
1.2 (5,3) และ (12,7)
วิธีทำ จากสูตร
\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(m=\frac{3-7}{5-12}=\frac{-4}{-7}=\frac{4}{7}\)
หรือใครจะใชูสูตรอีกสูตรก็ได้ครับคำตอบเท่ากัน
\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
\(m=\frac{7-3}{12-5}=\frac{4}{7}\)
1.3 (t+1,s) และ (2t,s-3)
วิธีทำ
เลือกใช้สูตรไหนก็ได้นะครับไม่ต้องใช้ทั้งสองสูตรเหมือนข้อข้างบนเพราะความชันของเส้นตรงจะออกมาเท่ากันครับ
\(m=\frac{s-(s-3)}{(t+1)-2t}=\frac{3}{1-t}\)
2. จงหาค่า x ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด P และจุด Q มีความชันเท่ากับ m ตามที่กำหนดให้
2.1 P(5,2) และ Q(x,6) ; m=4
วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรมาก โจทย์เขากำหนดจุดสองจุดบนเส้นตรงมาให้และกำหนดความชันของเส้นตรงมาให้ด้วย แล้วให้พิกัดของจุดที่ขาดหายไป ก็แค่แทนลงไปในสูตรแล้วแก้สมการหาค่า x ก็จบครับ จากสูตร
\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\end{array}
\begin{array}{lcl}4&=&\frac{2-6}{5-x}\\5-x&=&\frac{-4}{4}\\5-x&=&-1\\-x&=&-1-5\\-x&=&-6\\x&=&6\end{array}
2.2 P(6,-3) และ Q(9,x) ; \(m=\frac{-2}{3}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ เหมือนข้อ 2.1 แทนค่าลงไปในสูตรได้เลยครับ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\ \frac{-2}{3}&=&\frac{-3-x}{6-9}\\\frac{-2}{3}\times -3&=&-3-x\\2&=&-3-x\\2+3&=&-x\\-x&=&5\\x&=&-5\end{array}
3. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด \((a,\frac{a}{b})\) และ \((b,\frac{b}{a})\) เมื่อ \(a\neq 0, b\neq 0\) และ \(a\neq b\)
วิธีทำ การทำก็ทำเหมือนเดิมครับแต่คำตอบออกมาจะติดตัวแปรก็เท่านั้นเองครับ มาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}{a-b}\\m&=&\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}}{a-b}\\m&=&\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{1}{(a-b)}\\m&=&\frac{a+b}{ab}\end{array}
4. กำหนดให้ P(-6,4) , Q(1,4) , R(-1,-1) , และ S(-8,-1) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจงหาความชันของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นซึ่งแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน
วิธีทำ การทำข้อนี้ควรวาดภาพประกอบครับจะได้เห็นภาพชัดเจนครับ เรามาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ ดูภาพประกอบนะ
ตามรูปนะครับ จะเห็นว่าเส้นตรงที่แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆกันคือเส้นสีแดงและเส้นสีเขียว
เรามาหาความชันของเส้นตรงสีเขียวก่อนครับ ผมให้เส้นตรงสีเขียวนี้มีความชันเป็น \(m_{1}\) จะได้
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{-1-4}{-8-1}\\m_{1}&=&\frac{-5}{-9}\\m_{1}&=&\frac{5}{9}\end{array}
ต่อไปหาความชันของเส้นตรงสีแดง ผมให้เส้นตรงสีแดงมีความชันเป็น \(m_{2}\) จะได้
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{-1-4}{-1-(-6)}\\m_{2}&=&\frac{-5}{5}\\m_{2}&=&-1\end{array}
5. จงหาความชันและความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุด \(A(2,10)\quad ,B(5,7)\) และ \(C(2,4)\) เป็นจุดยอด
วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะทำให้เห็นภาพชัดเจน
ดูตามรูปเลยนะคับ ให้ \(m_{AB}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AB\)
จะได้ \(m_{AB}=\frac{10-7}{2-5}=-1\)
ให้ \(m_{BC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(BC\)
จะได้ \(m_{BC}=\frac{7-4}{5-2}=1\)
ให้ \(m_{AC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AC\)
แต่เนื่องจาก \(AC\) ขนานกับแกน \(Y\) ดังนั้น \(m_{AC}\) ไม่นิยาม
ต่อไปหาความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ก็ใช้ความรู้ของ ระยะห่างระหว่างจุด
จะได้
\begin{array}{lcl}AB&=&\sqrt{(2-5)^{2}+(10-7)^{2}}\\&=&3\sqrt{2}\\\\BC&=&\sqrt{(5-2)^{2}+(7-4)^{2}}\\&=&2\sqrt{2}\\\\AC&=&\sqrt{(2-2)^{2}+(10-4)^{2}}\\&=&6\end{array}
ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีด้าน \(AB\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(-1\)
มีด้าน \(BC\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(1\) และมีด้าน \(AC\) ยาว \(6\) หน่วยและไม่นิยามความชัน
6. กำหนดให้ \(A(-6,-2),\quad B(2,-2),\quad C\) และ \(D\) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน \(AB\) เป็นฐานที่ยาวเป็น 2 เท่าของด้านคู่ขนาน \(DC\) มีมุม \(A\) เป็นมุมฉาก และมีพื้นที่ \(24\) ตารางหน่วย จงหาความชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของด้าน \(BC\)
วิธีทำ อ่านโจทย์แล้ววาดรูปดู เพื่อให้เราเห็นภาพและง่ายต่อการแก้โจทย์คับ ซึ่งถ้าอ่านโจทย์เราจะได้รูปออกมา 2 แบบนะคับ สาเหตุที่ได้รูปออกมา 2 แบบ ก็เพราะว่าด้าน \(CD\) นี้อาจจะอยู่ข้างบน หรือ อยู่ข้างล่างด้าน \(AB\) ก็ได้คับ
ถ้าเราดูดีๆ เราจะเห็นว่า ความยาวของด้าน \(AB\) เท่ากับ 8 ใช้ความรู้เกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในการหา หรือดูจากรูปก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า ความยาวของด้าน \(CD\) เท่ากับ 4 ใช่ไหมดูโจทย์ด้วยนะ จึงได้รูปออกมา แบบนี้ ผมเรียกว่าแบบที่ 1 แล้วกันคับ
ดูรูปประกอบนะคับจะได้ไม่งง
จากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ 24 จำสูตรในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูได้ไหม
พท.สี่เหลี่ยมคางหมู = \(\frac{1}{2}\) คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน คูณสุง
จะได้
\begin{array}{lcl}24&=&\frac{1}{2}\times (8+4)\times AD\\AD&=&4\end{array}
ความยาวของด้าน \(AD\) นี้ทำให้เรารู้พิกัดของจุด \(C\) จริงไหม ดูรูปประกอบดีนะคับ เข้าใจรูปจะเข้าใจทุกอย่างเลยโดยไม่ต้องใช้สูตรนับจุดเอา ซึ่งทำให้เราได้ว่า จุด \(C\) มีพิกัดเป็น \(C(-2,-6)\)
ดังนั้นเราสามารถหา ความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้ว
ให้ \(m_{BC}\) เป็นความชันของส่วนเส้นตรง \(BC\) จะได้
\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{-2-(-6}{2-(-2)}\\&=&\frac{4}{4}\\&=&1\end{array}
ต่อไป ไปดูรูปแบบที่ 2
พอเราได้รูปแบบที่ 1 แล้ว รูปแบบที่ 2 ก็จะง่ายขึ้นครับจะได้รูปแบบนี้ พวกความยาวก็เท่าเดิมนะ แค่สลับด้าน \(AD\) ขึ้นไปข้างบน
จึงทำให้เราได้พิกุด \(C(-2,2)\) เท่านี้เราก็หาความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้วครับ หาเลยคับ
\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{(2-(-2))}{(-2-2)}\\&=&\frac{4}{-4}\\&=&-1\end{array}
ดังนั้น ข้อนี้เวลาตอบ ต้องตอบให้ครบนะคับความชันที่เป็นไปได้ของด้าน \(BC\) คือ \(1\) หรือ \(-1\)
ข้อแบบถ้าวาดรูปเป็นช่วยได้เยอะเลยคับ
-
ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง
ความสัมพันธ์ที่กราฟเป็นเส้นตรง พูดง่ายๆก็คือพวกกราฟเส้นตรงนั่นแหละคับผม ถ้าเรานึกถึงกราฟเส้นตรงเราจะเห็นว่าเราสามารถแบ่งเส้นตรงออกเป็นดังนี้นะคับ
1. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) คือมันจะตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ใดๆ เช่นในรูปมันตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,4)\) เส้นตรงพวกนี้จะมีสมการเป็น \(y=4\)
ดังนั้นสรุปเป็นข้อความรู้ง่ายๆก็คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\)ใดๆ จะมีสมการเป็น \(y=a\)
***หมายเหตุ เส้นตรง \(y=4\) คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(X\) และตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,4)\) เรียก 4 นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept)
ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง
\(y=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(Y\) เท่ากับ 7
\(y=\frac{1}{2}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(Y\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\)
2. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) มันจะตัดก้บแกน \(X\) ในจุด \((b,0)\) ใดๆ เส้นตรงพวกนี้มันจะสมการเส้นตรงคือ \(x=b\) อย่างเช่นจากรูปข้างบน มันเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการ \(x=5\) ในเอง
***หมายเหตุ เส้นตรง \(x=5\) คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) เรียก 5 นี้ว่าระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept)
ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง
\(x=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ 7
\(x=\frac{3}{5}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\)
3. เส้นตรงที่ได้ขนานทั้งแกน \(X\)หรือแกน \(Y\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ไม่ได้ขนานทั้งแกน \(X\) หรือแกน \(Y\) เส้นตรงพวกนี้เราสามารถหาสมการของมันได้จาก นิยามของความชันของเส้นตรง ซึ่งก็คือ ถ้ามีจุด \((x,y)\) และ \((x_{2},y_{2})\) อยู่บนเส้นตรง เราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้จาก
\[m=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\]
เอาสมการความชันนี้มาจัดรูปนิดหนึ่งจะได้
\[y-y_{2}=m(x-x_{2})\]
\[y=mx-mx_{2}+y_{2}\]
แต่เนื่องจาก \(-mx_{2}+y_{2}\) มันคือคงตัวค่าหนึ่ง ก็เลยให้ก้อนนี้มีค่าเท่ากับ \(c\) และได้สมการใหม่คือ
\[y=mx+c\quad \cdots (\square )\]
สมการ \(\square\) นี้เป็นสมการเส้นตรงแบบมาตรฐานครับ และเรียกค่าคงตัว \(c\) นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\)
สรุปนิดหนึ่งที่เขียนมา
สมการเส้นตรงจะมีแบบนี้
1. y=a
2. x=b
3. y=mx+c
จากสมการทั้ง 3 ข้อนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการเส้นตรงได้คือ
\[Ax+By+C=0\]
เมื่อ \(B\) และ \(C\) ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
อ่านกันมามากแล้วเราลองทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่า
1. ให้ \(t=\{(x,y)|x-2y=4\}\) จงพิจารณาว่าคู่อันดับต่อไปนี้เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\) หรือไม่
วิธีทำ ข้อนี้ให้เอาคู่อันดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ไปแทนค่าในสมการ \(x-2y=4\) ถ้าแทนแล้วสมการเป็นจริงแสดงว่าคู่อันดับนั้นเป็นสมาชิกที่อยู่ในความสัมพันธ์ \(t\)
1) \(1,0)\)
เอาคู่อันดับ \((1,0)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\1-2(0)&=&4\\1&=&4\end{array}
จะเห็นว่าสมการเป็น เท็จ
ดังนั้น \((1,0)\) ไม่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\)
2) \((0,-2)\)
เอาคู่อันดับ \((0,-2)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\0-2(-2)&=&4\\4&=&4\end{array}
จะเห็นว่าสมการเป็น จริง
ดังนั้น \((0,-2)\) เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์ \(t\)
2. จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1) ขนานกับแกน \(X\) และอยู่เหนือแกน \(X\) เป็นระยะทาง \(\frac{3}{7}\) หน่วย
วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยคือ เส้นตรงที่ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,\frac{3}{7})\)
ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(y=\frac{3}{7}\) หรือถ้าเขียนเป็นความสัมพันธ์ก็คือ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|y=\frac{3}{7}\}\)
2) ขนากับแกน \(X\) และอยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย
วิธีทำ ข้อนี้ให้จินตนาถึงเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ดังนั้นเส้นตรงนี้ต้องตัดกับแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ซึ่งมีสมการเป็น \(y=a\) ซึ่งต้องไปหาว่า \(a\) คือตัวอะไร และโจทย์บอกว่าเส้นตรงนี้ อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย ดังนั้น เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,3+4)=(0,7)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=7\) นั้นเอง
แต่ยังไม่จบนะคับ เส้นตรงนี้อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย อาจจะไปทางด้านบนหรือห่างไปทางด้านลางก็ได้ ถ้าห่างไปทางด้านล่าง เส้นตรงนี้จะตัดแกน\(Y\) ที่จุด \((0,3-4)=(0,-1)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=-1\) นั่นเอง
ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และอยู่ห่างจาก จุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วยคือ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=7\}\) และ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=-1\}\)
เดี่ยววาดรูปให้ดูคับ
3. จงบอกความชัน ระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept) และระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept) ของกราฟของแต่ละสมการต่อไปนี้
แนะวิธีการทำข้อนี้
ถ้าเรามีสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\)
ความชันหรือที่เราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย \(m\) หาได้จาก
\[m=-\frac{A}{B}\]
ระยะตัดแกน \(X\) หาได้โดยการให้ \(y=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(x\)
ระยะตัดแกน \(Y\) หาได้โดยการให้ \(x=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(y\)
ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเส้นตรง \(2x-3y=7\)
นำสมการมาจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(Ax+By+C=0\) ก่อน จะได้
\(2x-3y-7=0\)
ดังนั้น \(A=2,\quad B=-3,\quad C=-7\) จึงได้ว่าความชันคือ
\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}\)
ระยะตัดแกน \(X\) คือ
\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2x-3(0)-7&=&0\\2x-0&=&7\\x&=&\frac{7}{2}\end{array}
ระยะตัดแกน \(Y\) คือ
\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2(0)-3y-7&=&0\\y&=&-\frac{7}{3}\end{array}
แค่นี้คับวิธีการทำ
4. จงแสดงว่าเส้นตรง \(3y=2x-6\) ขนานกับเส้นตรง \(y=\frac{2}{3} x+1\)
วิธีทำ เส้นตรงขนานกันคือเส้นตรงที่มีความชันเท่ากัน
นำสมการเส้นตรง \(3y=2x-6\) มาจัดให้อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\) จะได้
\begin{array}{lcl}3y&=&2x-6\\3y-2x+6&=&0\end{array}
ดังนั้น \(A=-2,\quad B=3\) จึงได้ความชันคือ
\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}\)
สมการเส้นตรงอีกอันคือ \(y=\frac{2}{3} x+1\) จะเห็นว่าสมการเส้นตรงนี้อยู่ในรูปของ
\(y=mx+c\) แล้ว เมื่อเทียบกันจะได้ \(m=\frac{2}{3}\)
นั่นก็คือ เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน เพราะมีความชันเท่ากันคือ \(\frac{2}{3}\)
-
สมการเส้นตรง
วันนี้เราจะมาพูดถึงสมการเส้นตรงสักหน่อยหนึ่งครับว่าเป็นอย่างไร ซึ่งก่อนที่จะมาเป็นสมการเส้นตรงได้นั้นมันต้องพูดถึงความชันของเส้นตรงดังนั้นให้เราไปอ่านความชันเส้นตรงตามลิงค์ก่อนครับ เริ่มกันเลยนะครับ จากรูปเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) และกำหนดให้
\((x,y)\) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้
ซึ่งเราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้ตามนิยามก็คือ
\[m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]
ซึ่งถ้าลองจัดสมการนิดหนึ่งก็คือย้ายข้างสมการนั่นแหละครับก็จะได้สมการหน้าตาอย่างนี้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการที่ได้มาใหม่นี้แหละครับเข้าเรียกว่าสมการเส้นตรงและเส้นตรงนี้ยังผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) ด้วยนะและ m คือความชันของเส้นตรงนี้มาลองทำแบบฝึกหัดกันเล็กน้อยเพื่อความเข้าใจ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (4,5)
วิธีทำ โจทย์ให้ความชันมาแล้ว ก็คือ m=3 และเส้นตรงนี้ผ่านจุด (4,5) ซึ่งมันก็คือ \(x_{1}=4,y_{1}=5\)
จากสมการเส้นตรงที่เรามีข้างบนคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
แทนค่าลงไปเราก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-5=3(x-4)\end{array}
นี่คือหน้าตาของสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และผ่านจุด (4,5)
แต่อย่ากระนั้นเลยเนื่องจากสมการนี้ที่เราได้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
มันยังไม่สวยงามเท่าไรเขาจึงนำสมการนี้มาจัดรูปใหม่อีกนิดเหมือนนำมาทำศัลยกรรมนั้นแหละครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-y_{1}&=&mx-mx_{1}\\y&=&mx+y_{1}-mx_{1}\end{array}
เนื่องจาก \( y_{1}-mx_{1}\) เป็นค่าคงที่ตัวหนึ่ง ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงกำหนดให้ \( y_{1}-mx_{1}=C\) จึงได้สมการใหม่คือ
\begin{array}{lcl}y&=&mx+C\end{array}
สมการนี้เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน โดย m คือความชัน และ C คือค่าคงที่หรือก็คือตัวเลขตัวหนึ่ง
ตัวอย่างของสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเช่น
\(y=4x+3\\y=-3x+8\\y=2x-4\\y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{7}\)
เป็นต้น ซึ่งถ้าเราจัดสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้เราก็จะหาความชันได้ซึ่งความชันก็คือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x นั่นเองครับ
เช่น
\(y=3x+4\) ความชัน(m) มีค่าเท่ากับ 3
\(2y=10x-2\) อันนี้ความชันไม่ใช่ 10 นะครับต้องจัดรูปให้อยู่ในแบบมาตรฐานก่อนก็จะได้
\(y=\frac{10x-2}{2}\\y=5x-1\)
นั่นก็คือมีความชันเท่ากับ 5 นั่นเองครับ
\(2y-8x+2=0\) อันนี้เป็นสมการเส้นตรงเหมือนกันนะครับแต่ยังไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ครับก็คือ
\(2y=8x-2\)
\(y=\frac{8x-2}{2}\)
\(y=4x-1\) แล้วความชันมีค่าเท่ากับ 4 นั่นเอง
จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการเส้นตรง \(2y-8x+2=0\) ซึ่งถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปมันก็คือ \(Ax+By+C=0\) ซึ่งสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป
\[Ax+By+C=0\] เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปครับ
ผมจะลองจัดสมการให้ดูนะครับจากสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปคือ
\begin{array}{lcl}Ax+By+C&=&0\\By&=&-Ax-C\\y&=&\frac{-A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}
จะเห็นว่าถ้าเรามีสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันของสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปมีค่าเท่ากับ \(\frac{-A}{B}\)
ตัวอย่าง เช่น
1.1 \(5x+3y+2=0\) มี A=5,B=3 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-5}{3}\) นั่นเองครับ
1.2 \(-4x+6y-4=0\) มี A=-4,B=6 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-(-4)}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
สรุป อีกทีหนึ่งนะครับท่านผู้ชม สมการเส้นตรงโดยตามหนังสือทั่วไปนั้นมีจะมีอยู่ 3 แบบคือ
1) \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการนี้เป็นสมการตั้งต้นนะครับ ถ้าโจทย์กำหนดความชันมาให้และกำหนดจุดที่เส้นตรงนั้นผ่าน เราสามารถหาสมการเส้นตรงได้โดยใช้สูตรอันนี้ครับดังที่ผมได้เขียนตัวอย่างให้ดูด้านบนครับ
2) \[y=mx+C\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน ความชันคือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x
3) \[Ax+By+C=0\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันคือ \(m=\frac{-A}{B}\)
มาลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ
1. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)
วิธีทำ เส้นตรง \(x+2y+12=0\) มีความชัน \(m=\frac{-A}{B}=\frac{-1}{2}\) ดังนั้นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงนี้ต้องมีความชันเท่ากับ \(\frac{-1}{2}\) ด้วยครับ จากสมการเส้นตรง
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
จะเห็นว่า \(m=\frac{-1}{2},x_{1}=7,y_{1}=5\) แทนค่าลงไปเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{-1}{2}(x-7)\end{array}
จัดสมการนิดหนึ่งเพื่อความสวยงามจะได้
\begin{array}{lcl}2(y-5)&=&-1(x-7)\\2y-10&=&7-x\\x+2y-10-7&=&0\\x+2y-17&=&0\end{array}
ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\) คือ \(x+2y-17=0\)
2. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4)
วิธีทำ ผมจะใช้สมการนี้ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) ในการหาคำตอบ ก่อนอื่นต้องหา m หรือความชันของเส้นตรง หากันเลยครับ
\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\m&=&\frac{5-4}{3-(-2)}\\m&=&\frac{1}{5}\end{array}
เมื่อได้ความชันแล้วก็หาสมการเส้นตรงได้ครับเลือกจุดหนึ่งจุด จุดไหนก็ได้ที่เส้นตรงนี้ผ่านผมเลือกจุด (3,5) แล้วกันเพื่อเอาไปแทนในสมการ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
จะได้สมการเส้นตรงคือ
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{1}{5}(x-3)\\y-5&=&\frac{x-3}{5}\\5(y-5)&=&x-3\\5y-25&=&x-3\\5y-x-25+3&=&0\\5y-x-22&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4) คือ \(5y-x-22=0\)
3.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับพยายามอ่านโจทย์ช้าๆ
ขั้นตอนแรก เขาให้เราหาสมการเส้นตรงซึ่งเส้นตรงที่ให้เราหานั้นมันตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) จากตรงนี้เราสามารถหาความชันได้ใช้ไหมครับ
ความชันของเส้นตรงจุด(-1,3) และ (-2,-2) คือ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{3-(-2)}{-1-(-2)}\\m=\frac{5}{1}\\m&=&5\end{array}
อย่าลืมนะเส้นตรงที่เรากำลังหาตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) มีความชันเท่ากับ 5 ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) ใกล้ได้คำตอบแล้วครับ
ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเส้นตรงที่เราต้องการมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) และผ่านจุด (-1,4) ดังนั้นเรานำข้อมูลนี่แหละไปหาสมการเส้นตรง จาก
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\] เมื่อ \(m=-\frac{1}{5},\quad x_{1}=-1,\quad y_{1}=4\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}y-4=-\frac{1}{5}(x-(-1))\\y-4&=&\frac{x+1}{-5}\\-5(y-4)&=&x+1\\-5y+20&=&x+1\\-5y-x+20-1&=&0\\-5y-x+19&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2) คือ \(-5y-x+20-1=0\)