-
ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง
ความสัมพันธ์ที่กราฟเป็นเส้นตรง พูดง่ายๆก็คือพวกกราฟเส้นตรงนั่นแหละคับผม ถ้าเรานึกถึงกราฟเส้นตรงเราจะเห็นว่าเราสามารถแบ่งเส้นตรงออกเป็นดังนี้นะคับ
1. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) คือมันจะตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ใดๆ เช่นในรูปมันตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,4)\) เส้นตรงพวกนี้จะมีสมการเป็น \(y=4\)
ดังนั้นสรุปเป็นข้อความรู้ง่ายๆก็คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\)ใดๆ จะมีสมการเป็น \(y=a\)
***หมายเหตุ เส้นตรง \(y=4\) คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(X\) และตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,4)\) เรียก 4 นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept)
ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง
\(y=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(Y\) เท่ากับ 7
\(y=\frac{1}{2}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(Y\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\)
2. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) มันจะตัดก้บแกน \(X\) ในจุด \((b,0)\) ใดๆ เส้นตรงพวกนี้มันจะสมการเส้นตรงคือ \(x=b\) อย่างเช่นจากรูปข้างบน มันเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการ \(x=5\) ในเอง
***หมายเหตุ เส้นตรง \(x=5\) คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) เรียก 5 นี้ว่าระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept)
ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง
\(x=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ 7
\(x=\frac{3}{5}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\)
3. เส้นตรงที่ได้ขนานทั้งแกน \(X\)หรือแกน \(Y\) ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป
เส้นตรงที่ไม่ได้ขนานทั้งแกน \(X\) หรือแกน \(Y\) เส้นตรงพวกนี้เราสามารถหาสมการของมันได้จาก นิยามของความชันของเส้นตรง ซึ่งก็คือ ถ้ามีจุด \((x,y)\) และ \((x_{2},y_{2})\) อยู่บนเส้นตรง เราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้จาก
\[m=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\]
เอาสมการความชันนี้มาจัดรูปนิดหนึ่งจะได้
\[y-y_{2}=m(x-x_{2})\]
\[y=mx-mx_{2}+y_{2}\]
แต่เนื่องจาก \(-mx_{2}+y_{2}\) มันคือคงตัวค่าหนึ่ง ก็เลยให้ก้อนนี้มีค่าเท่ากับ \(c\) และได้สมการใหม่คือ
\[y=mx+c\quad \cdots (\square )\]
สมการ \(\square\) นี้เป็นสมการเส้นตรงแบบมาตรฐานครับ และเรียกค่าคงตัว \(c\) นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\)
สรุปนิดหนึ่งที่เขียนมา
สมการเส้นตรงจะมีแบบนี้
1. y=a
2. x=b
3. y=mx+c
จากสมการทั้ง 3 ข้อนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการเส้นตรงได้คือ
\[Ax+By+C=0\]
เมื่อ \(B\) และ \(C\) ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
อ่านกันมามากแล้วเราลองทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่า
1. ให้ \(t=\{(x,y)|x-2y=4\}\) จงพิจารณาว่าคู่อันดับต่อไปนี้เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\) หรือไม่
วิธีทำ ข้อนี้ให้เอาคู่อันดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ไปแทนค่าในสมการ \(x-2y=4\) ถ้าแทนแล้วสมการเป็นจริงแสดงว่าคู่อันดับนั้นเป็นสมาชิกที่อยู่ในความสัมพันธ์ \(t\)
1) \(1,0)\)
เอาคู่อันดับ \((1,0)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\1-2(0)&=&4\\1&=&4\end{array}
จะเห็นว่าสมการเป็น เท็จ
ดังนั้น \((1,0)\) ไม่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\)
2) \((0,-2)\)
เอาคู่อันดับ \((0,-2)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\0-2(-2)&=&4\\4&=&4\end{array}
จะเห็นว่าสมการเป็น จริง
ดังนั้น \((0,-2)\) เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์ \(t\)
2. จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1) ขนานกับแกน \(X\) และอยู่เหนือแกน \(X\) เป็นระยะทาง \(\frac{3}{7}\) หน่วย
วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยคือ เส้นตรงที่ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,\frac{3}{7})\)
ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(y=\frac{3}{7}\) หรือถ้าเขียนเป็นความสัมพันธ์ก็คือ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|y=\frac{3}{7}\}\)
2) ขนากับแกน \(X\) และอยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย
วิธีทำ ข้อนี้ให้จินตนาถึงเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ดังนั้นเส้นตรงนี้ต้องตัดกับแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ซึ่งมีสมการเป็น \(y=a\) ซึ่งต้องไปหาว่า \(a\) คือตัวอะไร และโจทย์บอกว่าเส้นตรงนี้ อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย ดังนั้น เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,3+4)=(0,7)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=7\) นั้นเอง
แต่ยังไม่จบนะคับ เส้นตรงนี้อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย อาจจะไปทางด้านบนหรือห่างไปทางด้านลางก็ได้ ถ้าห่างไปทางด้านล่าง เส้นตรงนี้จะตัดแกน\(Y\) ที่จุด \((0,3-4)=(0,-1)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=-1\) นั่นเอง
ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และอยู่ห่างจาก จุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วยคือ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=7\}\) และ
\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=-1\}\)
เดี่ยววาดรูปให้ดูคับ
3. จงบอกความชัน ระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept) และระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept) ของกราฟของแต่ละสมการต่อไปนี้
แนะวิธีการทำข้อนี้
ถ้าเรามีสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\)
ความชันหรือที่เราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย \(m\) หาได้จาก
\[m=-\frac{A}{B}\]
ระยะตัดแกน \(X\) หาได้โดยการให้ \(y=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(x\)
ระยะตัดแกน \(Y\) หาได้โดยการให้ \(x=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(y\)
ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเส้นตรง \(2x-3y=7\)
นำสมการมาจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(Ax+By+C=0\) ก่อน จะได้
\(2x-3y-7=0\)
ดังนั้น \(A=2,\quad B=-3,\quad C=-7\) จึงได้ว่าความชันคือ
\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}\)
ระยะตัดแกน \(X\) คือ
\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2x-3(0)-7&=&0\\2x-0&=&7\\x&=&\frac{7}{2}\end{array}
ระยะตัดแกน \(Y\) คือ
\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2(0)-3y-7&=&0\\y&=&-\frac{7}{3}\end{array}
แค่นี้คับวิธีการทำ
4. จงแสดงว่าเส้นตรง \(3y=2x-6\) ขนานกับเส้นตรง \(y=\frac{2}{3} x+1\)
วิธีทำ เส้นตรงขนานกันคือเส้นตรงที่มีความชันเท่ากัน
นำสมการเส้นตรง \(3y=2x-6\) มาจัดให้อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\) จะได้
\begin{array}{lcl}3y&=&2x-6\\3y-2x+6&=&0\end{array}
ดังนั้น \(A=-2,\quad B=3\) จึงได้ความชันคือ
\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}\)
สมการเส้นตรงอีกอันคือ \(y=\frac{2}{3} x+1\) จะเห็นว่าสมการเส้นตรงนี้อยู่ในรูปของ
\(y=mx+c\) แล้ว เมื่อเทียบกันจะได้ \(m=\frac{2}{3}\)
นั่นก็คือ เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน เพราะมีความชันเท่ากันคือ \(\frac{2}{3}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (57)
57. พื้นของห้องเก็บสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุมยาวกว่าด้านยาว 2 เมตร และด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 14 เมตร ถ้าผู้จัดการโรงงานต้องการปรับปรุงพื้นของห้องนี้ โดยช่างคิดค่าแรงตารางเมตรละ 120 บาท ผู้จัดการโรงงานจะต้องจ่ายเงินค่าแรงในการปรับปรุงพื้นของห้องเก็บสินค้านี้เป็นเงินกี่บาท
- 14,400
- 17,280
- 28,800
- 31,200
- 37,440
วิธีทำ เราต้องกำหนดตัวแปรก่อนในที่นี้เราจะกำหนดให้ด้านกว้างยาว \(x\) เมตร
จะได้ด้านยาวยาว \(x+14\) เมตร
และจะได้เส้นทแยงมุมยาว \(x+14)+2=x+16 \) เมตร
จากรูปโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2}+(x+14)^{2}&=&(x+16)^{2}\\x^{2}+x^{2}+28x+196&=&x^{2}+32x+256\\x^{2}-4x-60&=&0\\(x-10)(x+6)&=&0\\so\\x=10\quad ,-6\end{array}
แต่เนื่องจาก \(x\) ของเราคือความยาว ดังนั้นจึงเอาเฉพาะค่าบวกจึงได้ว่า \(x=10\)
จึงได้ว่าด้านกว้างของพื้นห้องเท่ากับ \(10\) เมตร
และด้านยาวของพื้นห้องเท่ากับ \(10+14=24\) เมตร
ทำให้พื้นห้องมีพื้นที่เท่ากับ \(10\times 24=240\) เมตร
ดังนั้นจะต้องจ่ายค่าแรงในาการปรับปรุงพื้นเป็นเงิน \(240\times 120=28,800\) บาท
-
สมการเส้นตรง
วันนี้เราจะมาพูดถึงสมการเส้นตรงสักหน่อยหนึ่งครับว่าเป็นอย่างไร ซึ่งก่อนที่จะมาเป็นสมการเส้นตรงได้นั้นมันต้องพูดถึงความชันของเส้นตรงดังนั้นให้เราไปอ่านความชันเส้นตรงตามลิงค์ก่อนครับ เริ่มกันเลยนะครับ จากรูปเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) และกำหนดให้
\((x,y)\) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้
ซึ่งเราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้ตามนิยามก็คือ
\[m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]
ซึ่งถ้าลองจัดสมการนิดหนึ่งก็คือย้ายข้างสมการนั่นแหละครับก็จะได้สมการหน้าตาอย่างนี้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการที่ได้มาใหม่นี้แหละครับเข้าเรียกว่าสมการเส้นตรงและเส้นตรงนี้ยังผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) ด้วยนะและ m คือความชันของเส้นตรงนี้มาลองทำแบบฝึกหัดกันเล็กน้อยเพื่อความเข้าใจ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (4,5)
วิธีทำ โจทย์ให้ความชันมาแล้ว ก็คือ m=3 และเส้นตรงนี้ผ่านจุด (4,5) ซึ่งมันก็คือ \(x_{1}=4,y_{1}=5\)
จากสมการเส้นตรงที่เรามีข้างบนคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
แทนค่าลงไปเราก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-5=3(x-4)\end{array}
นี่คือหน้าตาของสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และผ่านจุด (4,5)
แต่อย่ากระนั้นเลยเนื่องจากสมการนี้ที่เราได้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
มันยังไม่สวยงามเท่าไรเขาจึงนำสมการนี้มาจัดรูปใหม่อีกนิดเหมือนนำมาทำศัลยกรรมนั้นแหละครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-y_{1}&=&mx-mx_{1}\\y&=&mx+y_{1}-mx_{1}\end{array}
เนื่องจาก \( y_{1}-mx_{1}\) เป็นค่าคงที่ตัวหนึ่ง ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงกำหนดให้ \( y_{1}-mx_{1}=C\) จึงได้สมการใหม่คือ
\begin{array}{lcl}y&=&mx+C\end{array}
สมการนี้เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน โดย m คือความชัน และ C คือค่าคงที่หรือก็คือตัวเลขตัวหนึ่ง
ตัวอย่างของสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเช่น
\(y=4x+3\\y=-3x+8\\y=2x-4\\y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{7}\)
เป็นต้น ซึ่งถ้าเราจัดสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้เราก็จะหาความชันได้ซึ่งความชันก็คือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x นั่นเองครับ
เช่น
\(y=3x+4\) ความชัน(m) มีค่าเท่ากับ 3
\(2y=10x-2\) อันนี้ความชันไม่ใช่ 10 นะครับต้องจัดรูปให้อยู่ในแบบมาตรฐานก่อนก็จะได้
\(y=\frac{10x-2}{2}\\y=5x-1\)
นั่นก็คือมีความชันเท่ากับ 5 นั่นเองครับ
\(2y-8x+2=0\) อันนี้เป็นสมการเส้นตรงเหมือนกันนะครับแต่ยังไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ครับก็คือ
\(2y=8x-2\)
\(y=\frac{8x-2}{2}\)
\(y=4x-1\) แล้วความชันมีค่าเท่ากับ 4 นั่นเอง
จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการเส้นตรง \(2y-8x+2=0\) ซึ่งถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปมันก็คือ \(Ax+By+C=0\) ซึ่งสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป
\[Ax+By+C=0\] เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปครับ
ผมจะลองจัดสมการให้ดูนะครับจากสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปคือ
\begin{array}{lcl}Ax+By+C&=&0\\By&=&-Ax-C\\y&=&\frac{-A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}
จะเห็นว่าถ้าเรามีสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันของสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปมีค่าเท่ากับ \(\frac{-A}{B}\)
ตัวอย่าง เช่น
1.1 \(5x+3y+2=0\) มี A=5,B=3 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-5}{3}\) นั่นเองครับ
1.2 \(-4x+6y-4=0\) มี A=-4,B=6 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-(-4)}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
สรุป อีกทีหนึ่งนะครับท่านผู้ชม สมการเส้นตรงโดยตามหนังสือทั่วไปนั้นมีจะมีอยู่ 3 แบบคือ
1) \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการนี้เป็นสมการตั้งต้นนะครับ ถ้าโจทย์กำหนดความชันมาให้และกำหนดจุดที่เส้นตรงนั้นผ่าน เราสามารถหาสมการเส้นตรงได้โดยใช้สูตรอันนี้ครับดังที่ผมได้เขียนตัวอย่างให้ดูด้านบนครับ
2) \[y=mx+C\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน ความชันคือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x
3) \[Ax+By+C=0\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันคือ \(m=\frac{-A}{B}\)
มาลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ
1. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)
วิธีทำ เส้นตรง \(x+2y+12=0\) มีความชัน \(m=\frac{-A}{B}=\frac{-1}{2}\) ดังนั้นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงนี้ต้องมีความชันเท่ากับ \(\frac{-1}{2}\) ด้วยครับ จากสมการเส้นตรง
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
จะเห็นว่า \(m=\frac{-1}{2},x_{1}=7,y_{1}=5\) แทนค่าลงไปเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{-1}{2}(x-7)\end{array}
จัดสมการนิดหนึ่งเพื่อความสวยงามจะได้
\begin{array}{lcl}2(y-5)&=&-1(x-7)\\2y-10&=&7-x\\x+2y-10-7&=&0\\x+2y-17&=&0\end{array}
ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\) คือ \(x+2y-17=0\)
2. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4)
วิธีทำ ผมจะใช้สมการนี้ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) ในการหาคำตอบ ก่อนอื่นต้องหา m หรือความชันของเส้นตรง หากันเลยครับ
\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\m&=&\frac{5-4}{3-(-2)}\\m&=&\frac{1}{5}\end{array}
เมื่อได้ความชันแล้วก็หาสมการเส้นตรงได้ครับเลือกจุดหนึ่งจุด จุดไหนก็ได้ที่เส้นตรงนี้ผ่านผมเลือกจุด (3,5) แล้วกันเพื่อเอาไปแทนในสมการ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
จะได้สมการเส้นตรงคือ
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{1}{5}(x-3)\\y-5&=&\frac{x-3}{5}\\5(y-5)&=&x-3\\5y-25&=&x-3\\5y-x-25+3&=&0\\5y-x-22&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4) คือ \(5y-x-22=0\)
3.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับพยายามอ่านโจทย์ช้าๆ
ขั้นตอนแรก เขาให้เราหาสมการเส้นตรงซึ่งเส้นตรงที่ให้เราหานั้นมันตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) จากตรงนี้เราสามารถหาความชันได้ใช้ไหมครับ
ความชันของเส้นตรงจุด(-1,3) และ (-2,-2) คือ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{3-(-2)}{-1-(-2)}\\m=\frac{5}{1}\\m&=&5\end{array}
อย่าลืมนะเส้นตรงที่เรากำลังหาตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) มีความชันเท่ากับ 5 ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) ใกล้ได้คำตอบแล้วครับ
ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเส้นตรงที่เราต้องการมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) และผ่านจุด (-1,4) ดังนั้นเรานำข้อมูลนี่แหละไปหาสมการเส้นตรง จาก
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\] เมื่อ \(m=-\frac{1}{5},\quad x_{1}=-1,\quad y_{1}=4\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}y-4=-\frac{1}{5}(x-(-1))\\y-4&=&\frac{x+1}{-5}\\-5(y-4)&=&x+1\\-5y+20&=&x+1\\-5y-x+20-1&=&0\\-5y-x+19&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2) คือ \(-5y-x+20-1=0\)