-
ข้อสอบความน่าจะเป็น
ข้อสอบความน่าจะเป็น ครูท่านใดจะใช้เป็นแบบฝึกหัดในการฝึกฝนนักเรียนก็ได้ครับ แต่นี้คือข้อสอบที่ผมนั่งคิดประกอบเป็นรูปร่างขึ้นมา โดยรวมแล้วก็คือเอามาจากแบบฝึกหัดและโจทย์ที่สอนในห้องนั่นแหละครับ แต่แต่งเติมเพิ่มนิดหนึ่งเพื่อให้นักเรียนได้คิดขยายต่อยอดเป็น และได้ประสบการกับโจทย์ใหม่ที่อยู่บนโครงสร้างของโจทย์เดิมที่ครูสอนในห้องเรียน ผมนั่งคิดข้อสอบหลายๆวันเหมือนกันนะ แต่ไม่ได้ทำติดต่อกันหลายๆชั่วโมงนะครับ เบื่อก็พักแล้วก็มานั่งคิดต่อ สนุกดีครับเวลาทำข้อสอบให้นักเรียนสอบเนียะ มันทำให้เรานึกย้อนเวลาเข้าไปในห้องเรียนด้วยว่า เห้ยตอนนั้นเราเคยสอนอย่างนี้ไปนักเรียนตอบได้ถ้าเราออกข้อสอบอย่างนี้ไปนักเรียนทำได้แน่(อาจจะ) นี่แหละครับความสนุกของการออกข้อสอบ เราจะมีการเพิ่มความยากลงไปเล็กน้อย หรือเพิ่มเกร็ดความคิดเพื่อเป็นการลองภูมินักเรียนเราสิว่าเขาเข้าใจจริงไหม นี่แหละคือความสุขของครูอีกอย่างหนึ่ง คือการเห็นนักเรียนที่ตัวเองสอนเจริญงอกงาม ประสบผลสำเร็จตามที่สอนไว้ ใครมีข้อสอบดีๆ ก็สามารถเอามาแชร์กันได้ครับ เอาไปโพสต์ไว้ที่เว็บบอร์ดก็ได้ครับ แล้วแปะลิงค์ google drive เอาไว้สำหรับการดาวน์โหลด
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์(12)
1. ในการหยิบลูกบอล 3 ครั้ง ครั้งละ 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอล 2 ลูก สีดำกับสีขาว สีละลูก โอกาสที่จะได้ลูกบอลสีขาวเพียง 2 ครั้งเป็นเท่าใด ถ้าหยิบแล้วใส่คืนก่อนหยิบครั้งใหม่ทุกครั้ง
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{5}{8}\)
วิธีทำ ข้อนี้ sample space ให้เขียนเป็นแผนภาพต้นไม้ออกมาจะเห็นภาพชัดเจนเลย จะได้แผนภาพต้นไม้ออกมาแบบนี้
ให้ B คือลูกบอลสีดำนะคับ
W คือลูกบอลสีขาว
ก็จะได้ sample space ออกมาในรูปของเซตดังต่อไปนี้
\(S=\{BBB,BBW,BWB,BWW,WBB,WBW,WWB,WWW\}\) นั่นคือ \(n(S)=8\)
ส่วนเหตุการณ์ที่เราสนใจคือหยิบได้ลูกบอลสีขาวเพียง 2 ครั้งก็คือเหตุการณ์นี้
\(E=\{BBW,BWB,WBB\}\) นั่นคือ \(n(E)=3\)
โอกาสที่จะหยิบได้ลูกบอลสีขาวเพียง 2 ครั้งคือ \(P(E)=\frac{3}{8}\quad\underline{Ans}\)
-
เฉลย o-net ม.6 เรื่องความน่าจะเป็น
1. สโมสรแห่งหนึ่งมีสมาชิกเป็นชาย \(m\) คน เป็นหญิง \(w\) คน ต่อมามีสมาชิกเพิ่มขึ้น โดยเป็นชายอีก 25 คน และเป็นหญิงอีก 35 คน ถ้าสุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนจากทั้งหมด แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้สมาชิกเป็นชาย เท่ากับเท่าใด (o-net 59 ข้อ 31)
- \(\frac{m}{w}\)
- \(\frac{m}{w+m}\)
- \(\frac{m+25}{w+35}\)
- \(\frac{m+25}{m+w+35}\)
- \(\frac{m+25}{m+w+60}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ใครที่ต้องการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นเพิ่มเติมให้ไปอ่านตามลิงก์นี้คับ
- ความน่าจะเป็น ม.3 พร้อมเฉลย
- ฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5
- โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5
- การทำโจทย์เกี่ยวกับความน่าจะเป็น
- concept ความน่าจะเป็น ม.3
ก่อนอื่นเลยไปหาจำนวนคนทั้งหมดก่อนคือจำนวนชายและหญิงรวมกัน ก็คือ
\(m+w+25+35=m+w+60\)
ต่อไปเขาถามหาความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นชาย แสดงว่าเราต้องรู้จำนวนสมาชิกที่เป็นผู้ชาย ซึ่งก็คือ
\(m+25\)
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นผู้ชาย เท่ากับ
\(P(E)=\frac{m+25}{m+w+60}\)
2. ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเที่ยวสวนสนุกแห่งหนึ่ง ถ้าจัดคนทั้งสี่ถ่ายรูปกับรูปปั้นโดราเอมอน โดยยืนเรียงกันให้โดราเอมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทั้งสองคนไม่ยืนติดกัน จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี (o-net 57 ข้อ 26)
- 8
- 10
- 12
- 16
- 18
วิธีทำ
ข้อนี้ผมจะมีรูปให้ดูประกอบ โดราเอมอนจะยืนอยู่ตรงกลางเสมอ ดังนั้น
ลูกคนที่ 1 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 4 วิธี
ลูกคนที่ 2 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้แค่ 2 วิธี กล่าวคือ ถ้าลูกคนที่หนึ่งยืนทางด้านซ้ายโดราเอมอน ลูกคนที่ 2 ก็ต้องมายืนทางขวาตรงไหนก็ได้มีให้เลือก 2 ที่
พ่อ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 2 วิธี กล่าวคือ ลูกสองคนยืนไปแล้ว 2 ที่ดังนั้นเหลือให้พ่อเลือกยืน 2 ที่
แม่ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้คือ \(4\times 2\times 2\times 1=16\) วิธี
3. กนกมีถุงเท้าสีขาว 1 คู่ สีน้ำเงิน 2 คู่ และสีดำ 3 คู่ เขาใส่ถุงเท้าไว้ในลิ้นชักโดย ไม่ได้ จัดแยกเป็นคู่ ถ้าเขาสุ่มหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมา 2 ข้างแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าสีเดียวกันมีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57 ข้อ 27)
- \(\frac{1}{66}\)
- \(\frac{1}{22}\)
- \(\frac{1}{11}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{1}{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้อยากให้ไปอ่านทบทวนเรื่องนี้ก่อนคับ การจัดหมู่(Combination)
จากโจทย์เราจะได้ว่ามีถุงเท้าทั้งหมด 10 ข้าง และเราหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมาครั้งละ 2 ข้าง ดังนั้นจะได้จำนวนวิธีหยิบทั้งหมดคือ
\(C_{12,2}=\frac{12!}{(12-2)!2!}=\frac{12!}{10!2!}=\frac{12\times 11}{2}=66\)
จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีขาวทั้งคู่ คือ
\(C_{2,2}=1\)
จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีน้ำเงินทั้งคู่ คือ
\(C_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!2!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3}{2}=6\)
จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีดำทั้งคู่ คือ
\(C_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\times 5}{2}=15\)
ดังนั้นความน่าจะเป็นหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้สีเดียวกันคือ \(P(E)=\frac{1+6+15}{66}=\frac{22}{66}=\frac{1}{3}\)
4. ตู้บรรจุลูกบอลสีเขียว สีเหลือง และสีแดง มีจำนวนลูกบอลเป็นอัตราส่วนดังนี้ สีเขียว : สีเหลือง เท่ากับ 4:7 และ สีเหลือง : สีแดง เท่ากับ 3:4 ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลมาหนึ่งลูกจากตู้นี้ แล้วความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีเหลืองเท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 28)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{5}{9}\)
- \(\frac{10}{13}\)
- \(\frac{21}{61}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน มาช่วยแต่ก็ไม่ได้ยากอะไร เริ่มทำกันเลย
ขาว : เหลือง เหลือ : แดง
4 : 7 3 : 4
จากข้อมูลด้านบน เราต้องทำให้ลูกบอลสีเหลืองซึ่งตอนนี้คือ 7 กับ 3 ให้มันเท่ากันก่อนคือทำให้เป็น 21 (ค.ร.น 7 กับ 3 คือ 21) เริ่มทำเลย
ขาว : เหลือง
\( 4\times 3 =12 : 7\times 3=21\)
เหลือง : แดง
\( 3 \times 7=21 : 4\times 7=28\)
ตอนนี้เราได้จำนวนลูกบอลที่แท้จริงแล้วคือ
ขาว : เหลือง เหลือ : แดง
12 : 21 21 : 28
นั่นคือ
จำนวนลูกบอลทั้งหมดคือ \(12+21+28=61\)
จำนวนลูกบอลสีเหลืองคือ \(21\)
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบมาหนึ่งลูกแล้วได้ลูกบอลสีเหลืองคือ \(P(E)=\frac{21}{61}\)
5. ผลการสำรวจขนาดของเสื้อยืดสำหรับนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 250 คน เป็นดังนี้
ขนาด จำนวนนักเรียน (คน) S 28 M 96 L 73 XL 39 XXL 14 รวม 250 ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มา 1 คน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมเสื้อยืดขนาด \(M\) หรือ \(XL\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 38)
วิธีทำ ข้อนี้ถามหาความน่าจะเป็นของ 2 เหตุการณ์ ดังนั้นนำมาบวกกันเลยครับผม จึงได้ว่า
\(P(E)=\frac{96}{250}+\frac{39}{250}=\frac{135}{250}=\frac{27}{50}=0.54\)
6. ถ้าแต่ละวันในเดือนสิงหาคม มีความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็นเท่ากับ 0.86 ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็นเท่ากับ 0.67 และความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็นเท่ากับ 0.35 แล้วความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกในตอนเช้ามีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57 ข้อ 40)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดภาพ เวนน์-ออยเลอร์ ช่วยนิดหน่อยจะได้ดูง่าย
กำหนดให้ \(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ถามหา
\(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็น เท่ากับ 0.67
\(P(A\cap B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็น เท่ากับ 0.35
\(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็น เท่ากับ 0.86
จะได้รูป เวนน์-ออยเลอร์ ดังนี้
ซึ่งความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า มีค่าเท่ากับ \(0.54\) ใช้แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และบวก ลบ นิดหน่อย ก็หาคำตอบได้แล้ว
หรือใครจะใช้สูตรตามที่เรียนมาในหนังสือคณิตศาสตร์ ม.5 ก็ได้คือ
\begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\0.86&=&P(A)+0.67-0.35\\0.86&=&P(A)+0.32\\P(A)&=&0.86-0.32\\P(A)&=&0.54\end{array}
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า เท่ากับ \(0.54\)
7. ในปี พ.ศ. 2557 ประเทศไทยมีความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมเท่ากับ \(\frac{3}{11}\) และความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\) ถ้าความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมหรือภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\) แล้วความน่าจะเป็นที่ประเทศไทยจะประสบทั้งภาวะน้ำท่วมและภัยแล้งในปี พ.ศ. 2557 เท่าก้บเท่าใด (o-net 56 ข้อ 28)
- \(\frac{1}{33}\)
- \(\frac{2}{33}\)
- \(\frac{1}{11}\)
- \(\frac{2}{11}\)
- \(\frac{3}{11}\)
วิธีทำ ข้อนี้ผมขอใช้สูตรตามที่เราเรียนในหนังสือเรียน สสวท. กันเลยนะคับผม
กำหนดให้
\(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วม ซึ่งเท่ากับ \(\frac{3}{11}\)
\(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้ว ซึ่งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\)
\(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วมหรือภัยแล้ง ซึ่งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\)
\(P(A\cap B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบทั้งภัยน้ำท่วมและภัยแล้ง
จาสูตร \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{3}{11}+\frac{1}{3}-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{20}{33}-P(A\cap B)\\P(A\cap B)&=&\frac{20}{33}-\frac{6}{11}\\P(A\cap B)&=&\frac{2}{33}\quad\underline{Ans}\end{array}
8.ทาสีเหรียญสามอัน ดังนี้
เหรียญแรก ด้านหนึ่งทาสีขาว อีกด้านหนึ่งทาสีแดง
เหรียญที่สอง ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีแดง
เหรียญที่สาม ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีขาว
ถ้าโยนเหรียญทั้งสามอันนี้พร้อมกัน แล้วความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขึ้นหน้าเหรียญต่างสีกันทั้งหมดเท่ากับเท่าใด(o-net 59 ข้อ 40)
วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ (tree-diagram) เลยครับ การวาดแผนภาพต้นไม้ เป็นอีกทักษะหนึ่งในการทำโจทย์ความน่าจะเป็นนะคับใครวาดไม่เป็นรีบไปศึกษาเลยครับ จะได้แผนภาพต้นไม้ดังนี้
โดยผมให้ ข คือ ด้านเหรียญสีขาว , ฟ คือ ด้านเหรียญสีฟ้า , ด คือ ด้านเหรียญสีแดง
จากแผนภาพต้นไม้ จะเห็นว่าเมื่อเราโยนเหรียญสามอันพร้อมกัน ก็จะเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 8 เหตุการณ์ เช่น ขฟฟ คือ เหรียญแรกขึ้นหน้าสีขาว เหรียญสองและสามขี้นหน้าสีฟ้า ดังนั้น \(n(S)=8\)
แต่เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ เหรียญขึ้นหน้าสีต่างกัน ดังนั้นก็จะมี ขดฟ , ดฟข นั่น \(n(E)=2\)
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขี้นหน้าเหรียญสีต่างกันคือ \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25\)
9. ถ้าการที่ครอบครัวจะมีลูกชายหรือลูกสาวมีโอกาสเท่าๆกันแล้ว จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่ครอบครัวที่มีลูก 4 คน มีลูกคนที่สองเป็นหญิง และลูกคนที่สี่เป็นชาย เท่าก้บเท่าใด (o-net 59 ข้อ 32)
- 4
- 6
- 8
- 10
- 16
วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ครับ จะง่ายมากๆ
ผมกำหนดให้
ช คือ ลูกชาย
ญ คือ ลูกสาว
จะได้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้
จากแผนภาพจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่จะมีลูกคนที่สองเป็นหญิง และคนที่สี่เป็น ชาย มีทั้งหมด 4 เหตุการณ์คือ ชญชช , ชญญช , ญญชช,ญญญช ข้อนี้จึงตอบ ตัวเลือกที่ 1. แต่ถ้าเขาถามหาความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็น หญิง และลูกคนที่สี่ เป็น ชาย ก็ตอบ \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0.25\)
10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 10 ลูก เป็นสีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีขาว 2 ลูก นอกนั้นเป็นสีอื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องใบนี้ให้ได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และไม่ได้สีขาว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 54 ข้อ 18)
\(\frac{1}{12}\)
\(\frac{1}{10}\)
\(\frac{7}{60}\)
\(\frac{2}{15}\)
วิธีทำ ดูที่โจทย์ก่อนว่าบอกอะไรมาบ้าง
- มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก
- สีน้ำเงิน 2 ลูก
- สีขาว 2 ลูก
- สีอื่นอีก 5 ลูก
รวมกันมีลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก
จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกคือ \(C_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!3!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2}=120\)
หยิบลูกบอล 3 ลูกไม่ได้สีขาวเลย นั่นหมายความว่าต้องได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีอื่นอีก 1 ลูก ดังนั้นจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ
\(C_{1,1}\times C_{2,1}\times C_{5,1}=1\times 2\times 5=10\) วิธี
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่หยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ \(\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\)
11. จากการสำรวจนักเรียนห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน พบว่า มีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน และชอบรับประทานปลาหรือกุ้ง 23 คน ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ชอบรับประทานกุ้งเพียงอย่างเดียวมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{1}{5}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{3}{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปดูครับ ก็คือวาดแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ นั่นแหละครับ
เขาบอกว่ามีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน ก็แสดงว่านักเรียนคนนั้นอาจจะชอบกินกุ้ง หรือ ไม่ชอบกินกุ้งก็ได้ก็จะได้แผนภาพดังนี้
พื้นที่สีส้มที่ผมระบายในรูปข้างบนคือมีจำนวนทั้งหมด 12 คนนะคับ เข้าใจไหมคือพวกไม่ชอบกินปลามีจำนวน 12 คน
มีนักเรียนทั้งหมด 30 คน ผมเอา 30 คนนี้ไปลบออกจาก 12 คือลบออกจากพวกที่ไม่ชอบกินปลาจะเหลือ 18 คน นั่นหมายความว่านักเรียนชอบกินปลา 18 คน
แต่เขาบอกว่าชอบกินปลาหรือกุ้งมี 23 คน แต่ตอนนี้เรารู้ว่าชอบกินปลา 18 คนแล้วแสดงว่าชอบกินกุ้งอย่างเดียว 5 คน (18+5=23)
นั่นก็คือ สุ่มนักเรียนมา 1 คนความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นจะชอบกินกุ้งเพียงอย่างเดียวเท่ากับ \(\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)