-
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
วันนี้เราจะมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันกันครับ แต่ก่อนที่จะทำแบบฝึกหัด เรามาดู นิยามของคำว่าความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ก่อนครับ และสามารถหาอ่านเพิ่มเติมได้ที่ หนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. ครับ เขาเขียนไว้ดีแล้วผมจะสรุปไว้ให้อ่านพอสังเขปนะครับ
นิยาม ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด \((a,b)\) และ \(c\in (a,b)\) จะกล่าวว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ \(x=c\) ก็ต่อเมื่อ
1. \(f(c)\) หาค่าได้
2. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) หาค่าได้
3. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)\)
แบบฝึกหัดความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
1.จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนดหรือไม่
1) \(f(x)=3x-1\) ที่ \(x=0\)
วิธีทำ เช็คตามนิยาม ให้ครบ 3 ข้อเลยครับ
ข้อนี้เขาถามว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ x=0 ไหม
1. \(f(0)=3(0)-1=-1\) หาค่าได้
2.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}(3x-1)=-1\) หาค่าได้
3. จากข้อ 1. และ 2. จะเห็นว่า
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(c)\)
ดังนั้น สรุปได้ว่า \(f(x)=3x-1\) ต่อเนื่องที่ \(x=0\)
2) \(f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-16}\) ที่ \(x=4\)
วิธีทำ เช็ค 3 ข้อเลยครับ
1. \(f(4)=\frac{4-4}{4^{2}-16}=\frac{0}{0}\) ไม่นิยาม
เนื่องจาก \(f(x)\) ไม่นิยาม ดังนั้นฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=4\)
3) \(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\) ที่ \(x=1\)
วิธีทำ ข้อนี้เห็นชัดเลยว่า \(f(1)\) ไม่นิยาม
ดังนั้นฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=1\)
4) \(f(x)=|x|\) ที่ \(x=0\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า
\(f(0)=|0|=0\)
และ
\(f(x)=x\) เมื่อ \(x\geq 0\)
\(f(x)=-x\) เมื่อ \(x\leq 0\)
และ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0\)
นั่นคือ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0\)
ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=0\)
2. จงหา \(k\) ที่ทำให้ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty,\infty)\)
1) \(f(x)=\left\{\begin{matrix}&7x-2\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&kx^{2}\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)
พิจารณาที่จุด \(x=1\) จะได้
\(f(1)=7(1)-2=5\)
และ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(7x-2)\\&=&7(1)-2=5\\\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}kx^{2}\\&=&k(1)^{2}=k\end{array}
เนื่องจาก ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่อง เมื่อ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)\)
ดังนั้น \(k=5\)
ต่อไปเดี่ยวจะลองนำแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียน สสวท มาลองทำดูบางข้อ เพื่อเป็นแนวทางในการทำข้ออื่นต่อไป แบบฝึกหัด 2.2
1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนดให้หรือไม่
1) \(f(x)=3x-1\) ที่ \(x=0\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่า ฟังก์ชัน \(f\) นี้ ต่อเนื่องที่ \(x=0\) หรือไม่ ข้อนี้อาจจะลองว่ากราฟดูก็ได้ แล้วดูว่าที่ \(x=0\) ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ไหม ถ้าหาได้ ก็จะต่อเนื่อง หรือง่ายสุดก็ตรวจสอบตาม นิยามนี่แหละคับ
จะเห็นว่า
\(f(0)=3(0)-1=-1\)
และ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}3x-1=3(0)-1=-1\)
จะเห็นได้ว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-1\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=0\) นั่นเอง
2)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-16}{x-4}\quad เมื่อ \quad x\leq 4\\&-\frac{1}{4}\quad เมื่อ \quad x=4\end{matrix}\right.\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=4\) หรือไม่ เริ่มตรวจสอบตามนิยามเลยนะคับ
จะได้
\(f(4)=-\frac{1}{4}\)
และ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}(x+4)\\&=&8\end{array}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\(f(4)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=4\) คับ
3)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&-\frac{2}{3}\quad เมื่อ \quad x=1\end{matrix}\right.\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแยกตัวประกอบเป็นนะ พวกการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง และ ผลต่างกำลังสาม ต้องแยกเป็นนะคับไม่งั้นจะทำไม่ได้ เริ่มทำเลย
ข้อนี้เราให้เราตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=1\) หรือไม่ เริ่มทำเลย
จะเห็นว่า
\(f(1)=-\frac{2}{3}\)
และ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)}{x^{2}+x+1}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\)
ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=1\)
3. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{2}{x-4}\) จงพิจารณาว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่
1) \((-\infty ,4)\) 2)\((4,6]\) 3)\((4,\infty)\)
วิธีทำ
1) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\) ไหม
การตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\) ไหม สิ่งที่ต้องทำคือ
ต้องตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,4)\) เริ่มทำเลย
กำหนดให ้ \(c\in (-\infty ,4)\) ดังนั้น \(c<4\) และ \(c\neq 4\) จึงได้ว่า
\(f(c)=\frac{2}{c-4}\quad (1)\)
ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\quad (2)\end{array}
จะเห็นว่า \((1)=(2)\) ซึ่งก็คือ \(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ดังนั้นจึงได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)
2) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6]\) ไหม
การตรวจสอบ ต้องทำ 2 ข้อคือ
2.1)\(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)
2.2) \(f(6)\) ต้องมีค่าเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)
เรามาตรวจสอบข้อ 2.1) ก่อน
กำหนดให้ \(c\in (4,6)\) จะได้ว่า
\(f(c)=\frac{2}{c-4}\)
ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\end{array}
จะเห็นได้ว่า
\(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) นั่นคือ \(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)
ต่อไปตรวจสอบข้อ 2.2)
จะได้ว่า \(f(6)=\frac{2}{6-4}=1\) และ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{6-4}\\&=&1\end{array}
จะเห็นว่า\(f(6)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)
ดังนั้น จาก ข้อ 2.1) และ 2.2) ทำให้ได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6)\)
4. กำหนดให้
\(g(x)=\left\{\begin{matrix}&2x-2\quad เมื่อ \quad x< -2\\&x-4\quad เมื่อ \quad -2\leq x\leq 1\\&4-x\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)
จงพิจารณาว่า \(g\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่
1) \((-\infty ,1]\) 2) \((-2,1]\) 3) \((-2,2]\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดกราฟ แล้วก็ดูจากกราฟถึงจะง่ายนะคับผม ถ้าไม่วาดกราฟบอกเลยยากคับ ก็ใช้โปรดแกรม geogebra วาดก็ได้ หรือว่าวาดมือก็ได้ เพราะฟังก์ชันที่โจทย์ให้มาวาดง่ายคับ ไม่ได้ซับซ้อนเลย ไปดูรูปเลย
1) ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\) ไหม
ตรวจสอบ 2 ข้อคือ
1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \(-\infty ,1)\)
1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\) (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)
ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,1)\) และ
\(g(1)=-3\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)
จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)
ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\)
2) ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,1]\) ไหม
ตรวจสอบ 2 ข้อคือ
1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\)
1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\) (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)
ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\) และ
\(g(1)=-3\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)
จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)
ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2 ,1]\)
3) ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2]\) ไหม
ตรวจสอบ 2 ข้อคือ
1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,2)\)
1.2) \(g(2)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}g(x)\) (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)
ซึ่งเราจะเห็นว่า \(1\in (-2,2)\)
\(g(1)=-3\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=-3\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=3\)
ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) ไม่มีค่า
นั้นคือ \(g(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) จึงได้ว่า \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด\(x=1\) จึงทำให้ \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2)\)
-
แบบฝึกหัดลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ผมได้เฉลยไว้เยอะพอสมควร ใครที่ต้องการอ่านเพิ่มเติมเพื่อหาความรู้สามารถเข้าไปอ่านได้เลย ผมได้ทำลิงค์ไว้ข้างล่าง อย่างไรก็ลองอ่านๆดูครับเผื่อมีประโยชน์ครับผม จะได้ทำข้อสอบหรือทำแบบฝึกหัด ที่สำคัญคือเข้าใจมากยิ่งขึ้น
แบบฝึกหัดการหาลิมิตของฟังก์ชัน
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องลิมิตลำดับอนันต์ (3)
ส่วนบทความนี้ผมจะทำการเฉลยแบบฝึกหัดนี้ครับผม คือ พวกค่า \(a,b,c\) ที่ทำให้ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty,\infty)\) พูดง่ายๆก็คือต่อเนื่องทุกจุดเลยครับ มาดูกันเลย
7. จงหาค่าของจำนวนจริง \(a,b,c\) ที่ทำให้ ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty,\infty)\)
7.1)
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&a&\quad ;x=3\\&\frac{x^{2}-9}{x-3}&;\quad x\neq 3\end{matrix}\right.\)
7.2)
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&ax^{2}-3&\quad ;x\leq 2\\&ax+2&\quad ;x>2\end{matrix}\right.\)
7.3)
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&4x&\quad ; x\leq -1\\&cx+b&\quad ; -1<x<2\\&-5x&\quad ;x\geq 2\end{matrix}\right.\)