-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (59)
59. กำหนดให้ \(f(x)=\sqrt{2x+4}\) ค่าของ \(f^{\prime}(0)\) คือข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{1}{4}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(1\)
- \(2\)
วิธีทำ ดิฟเลยครับ
\begin{array}{lcl}f(x)&=&\sqrt{2x+4}\\f(x)&=&(2x+4)^{\frac{1}{2}}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}(2x+4)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(2x+4)\\&=&\frac{1}{2}(2x+4)^{-\frac{1}{2}}(2)\\&=&\frac{1}{(2x+4)^{\frac{1}{2}}}\\so\\f^{\prime}(0)&=&\frac{1}{(2(0)+4)^{\frac{1}{2}}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{4}}\\&=&\frac{1}{2}\quad \underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (60)
60. ค่า \(x\) ที่ทำให้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2x^{2}-1}{x}\) มีค่าเท่ากับ \(4\) คือข้อใดต่อไปนี้
- \(\pm\sqrt{2}\)
- \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\pm 2\)
- \(\pm\frac{1}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้ไปอ่านเรื่องความชันของเส้นโค้ง นั่นก็คือต้องอาศัยความรู้การดิฟนั่นเอง ก็คือดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2x^{2}-1}{x}\\y^{\prime}&=&\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^{2}-1}{x}\right)\\&=&\frac{x\frac{d}{dx}(2x^{2}-1)-(2x^{2}-1)\frac{d}{dx}x}{x^{2}}\\&=&\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}\end{array}
นี้คือ \(\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}\) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส แต่เขาต้องการให้หา \(x\) เมื่อความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ \(4\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}&=&4\\\frac{4x^{2}-(2x^{2}-1)}{x^{2}}&=&4\\\frac{4x^{2}-2x^{2}+1}{x^{2}}&=&4\\4x^{2}-2x^{2}+1&=&4x^{2}\\-2x^{2}+1&=&0\\2x^{2}-1&=&0\\x^{2}&=&\frac{1}{2}\\x&=&\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\\x&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}
-
สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน,สูตรดิฟ
วันนี้เราจะมารู้จักสูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือสูตรการดิฟนั่นเองครับ ซึ่งสูตรก็มีไม่มากครับความจริงไม่ต้องจำสูตรก็ได้หัดดิฟไปเรื่อยๆก็จะได้เองครับ เอาโจทย์ดิฟมาใช้บ่อยๆ ทำไปเรื่อยๆก็ได้เองครับ จริงๆถ้าทำได้หัดทำเรื่อยๆมันจะสนุกและอยากจะดิฟอีกบ่อยๆ เรามาดูสูตรการดิฟหรือสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันเลย จะพยายามพิมพ์ตัวอย่างประกอบด้วยครับ
สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1) ถ้า \(f(x)=c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัวแล้ว \(f^{\prime}(x)=0\)
ตัวอย่างเช่น
\(y=-4\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(-4)\\&=&0\end{array}
2) ถ้า \(f(x)=x\) แล้ว \(f^{\prime}(x)=1\)
ตัวอย่างเช่น
\(y=x\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x)\\&=&1\end{array}
3) ถ้า \(f(x)=x^{n}\) แล้ว \(f^{\prime}(x)=nx^{n-1}\)
ตัวอย่างเช่น
\(y=x^{6}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dx}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{6})\\&=&6x^{6-1}\\&=&6x^{5}\end{array}
4) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
ตัวอย่างเช่น
\(y=5x^{3}+3x^{2}+4\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(5x^{3}+3x^{2}+4\\&=&\frac{d}{dx}(5x^{3})+\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(4)\\&=&(5)(3)x^{3-1}+(3)(2)x^{2-1}+0\\&=&15x^{2}+6x\end{array}
5) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((f-g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\)
\(y=6x^{4}-4x^{3}\)
ตัวอย่างเช่น
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(6x^{4}-4x^{3})\\&=&24x^{3}-12x^{2}\end{array}
6) ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัว และ \(f\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x)\) แล้ว \(cf)^{\prime}(x)=c(f^{\prime}(x)\) พูดง่ายสูตรข้อนี้คือดึงค่าคงตัวออกก่อนแล้วค่อยหาอนุพันธ์หรือดิฟ
\(y=5x\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(5x)\\&=&5\frac{d}{dx}(x)\\&=&5(1)\\&=&5\end{array}
7) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((fg)^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\)
สูตรดิฟผลคูณที่เราชอบท่องกันว่าหน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า
ตัวอย่างเช่น
\(y=x(x^{2}+3)\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}x(x^{2}+3)\\&=&x\frac{d}{dx}(x^{2}+3)+(x^{2}+3)\frac{d}{dx}(x)\\&=&x(2x)+(x^{2}+3)(1)\\&=&3x^{2}+3\end{array}
8) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((\frac{f}{g})^{\prime}=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}\) นี่คือสูตรการดิฟผลหารนะครับ เรามักท่องว่าล่างดิฟบน ลบ บนดิฟล่าง หาร ล่างกำลังสอง
ตัวอย่างเช่น
\(y=\frac{x}{x+1}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{x}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)\frac{d}{dx}(x)-((x)\frac{d}{dx}(x+1))}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{(x+1)-((x)(1)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{1}{(x+1)^{2}}\end{array}
หลังจากที่เรียนรู้สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วหรือสูตรดิฟแล้วต่อไปก็ทำแบบฝึกหัดต่อที่ลิงค์นี้เลยครับ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือการดิฟ