-
ความชันของเส้นโค้ง
ความชันของเส้นโค้ง เราเคยหาความชันของเส้นตรงมาแล้วใช้ไหม ถ้าใครไม่เคยให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนความชันของเส้นตรง ซึ่งจะเห็นว่าการหาความชันของเส้นตรงนั้นเราต้องอาศัยจุดสองจุด ก็คือรู้จุดสองจุดสามารถหาความชันได้ครับ ดูรูปประกอบ
แต่ถ้าเป็นเส้นโค้ง ดูรูปประกอบนะ เราจะหาความชันของเส้นโค้งไม่ได้ครับถ้าเราเลือกจุดมาเหมือนกับเส้นตรงแล้วมาหาความชันจะได้ความชันไม่เท่ากันแน่นอนครับ ดังนั้นเราจึงมีวิธีการหาความชันของเส้นโค้งซึ่งจะเริ่มศึกษากันในบทความนี้ครับ
เริ่มกันเลยครับ
กำหนดให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\) ต่อไปจะอาศัยความรู้เรื่องลิมิตในการหาความชันของเส้นตรง \(L\)
กำหนดให้เส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\)
\(P(a,b)\) และ \(Q(a+h,b+k)\) เป็นจุดบนเส้นโค้ง โดยที่ \(h\neq 0\) ดังรูปที่ 3
ลากส่วนของเส้นตรง \(PQ\) เรียกส่วนของเส้นตรง \(PQ\) ว่าเส้นตัดกราฟ
ความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\) คือ \(\frac{(b+k)-b}{(a+h)-a}=\frac{k}{h}\)
เนื่องจาก \(b+k=f(a+h)\) และ \(b=f(a)\)
ดังนั้นความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\) คือ \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
นั่นคือ \(\frac{h}{k}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
เลือกจุด \(Q_{1}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ \(Q\)
เลือกจุด \(Q_{2}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ \(Q_{1}\)
เลือกจุด \(Q_{3}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ \(Q_{2}\)
ทำอย่างนี้เรื่อยๆครับจะเห็นได้ว่าจนถือได้ว่า \(Q_{n}\) เกือบทับจุด \(P\)
และเส้นตัดกราฟ \(PQ_{n}\) เกือบจะทับกันเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)
ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\) เท่ากับ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) (ถ้าหาค่าลิมิตได้)
ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส \(P(x,y)\) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด \(P\)
ต่อไปเรามาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งกันครับ
1. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของสมการ \(y=\frac{1}{x}\) ที่จุด \((3,1)\)
วิธีทำ ความชันของเส้นโค้ง ที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ หาได้จาก
\(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) จุด \(P\) ในข้อนี้มีพิกัดคือ \((3,1)\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3-h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-h}{3(3+h)h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-1}{3(3+h)}\\&=&-\frac{1}{9}\end{array}
2. ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=x-2x^{2}\) จงหา
1) ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)
วิธีทำ ทำข้อ 1) ก่อนครับทำเหมือนเดิมเลย
ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\) หาได้จาก \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)-2(1+h)^{2}-(1-(2)1^{2})}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-3h-2h^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(-3-2h)\\&=&-3\end{array}
ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\) คือ \(-3\)
ต่อไปทำข้อ 2) ครับ จากข้อหนึ่งเราจะได้ว่าเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(-3\) และ จุด \((1,-1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งครับจากที่เรารู้มาแล้วว่าสมการเส้นตรงคือ
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
เมื่อ \((x_{1},y_{1})\) คือจุดบนเส้นตรงในที่นี้ก็คือ \((1,-1)\) ครับ ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งหรือว่าสมการเส้นตรงนี้ก็คือ
\[y-(-1)=(-3)(x-1)\]
จัดรูปให้สวยๆหน่อยๆจะได้
\[y+1=3-3x\]
จัดให้สวยขึ้นไปอีกจะได้
\[y=2-3x\]
3. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดให้และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น
1) \(y=x^{2}-3x\) ที่จุด \((3,0)\)
วิธีทำ ข้อนี้เราจะหาความชันของเส้นโค้งโดยนิยามก่อนนะครับยังไม่ใช้การดิฟครับ เราจะได้ความชันของเส้นโค้งตามนิยามคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^{2}-3(3+h)-(3^{2}-3(3))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^{2}-9-3h-9+9}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}+3h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+3)\\&=&3\end{array}
ต่อไปหาสมการที่สัมผัสเส้นโค้งในจุด \((3,0)\) ความชันของเส้นโค้งที่เราได้มานั้นก็คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั่นเอง ดังนั้น เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(3\) เมื่อเรารู้ความชัน และรู้จุดหนึ่งจุดซึ่งก็คือ \((3,0\) อยู่บนเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง เราก็สามารถหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั้นได้ ซึ่งก็คือ
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
\[y-0=3(x-3)\]
จัดรูปนิดหนึ่งจะได้
\[y=3x-9\]
ต่อไปผมจะไม่หาความชันของเส้นโค้งตามนิยามแล้วนะครับเพราะว่ามันยาวไป ผมจะใช้วิธีการดิฟเอาครับ พอดิฟเสร็จ สมมติเราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((a,b)\) เราก็เอา \(a\) ไปแทนในตัวแปร x ที่เราดิฟเอาไว้เราก็จะได้ความชันของเส้นโค้งในจุด \((a,b)\) ครับ ฟังแล้วอาจจะงงเริ่มทำเลยดีกว่าครับ
2) \(y=\frac{6}{x+1}\) ที่จุด \((2,2)\)
วิธีทำ ดิฟเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{6}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)(0)-(6)(1+0)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{-6}{(x+1)^{2}}\end{array}
ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,2)\) คือ \(\frac{-6}{(2+1)^{2}}=\frac{-2}{3}\)
ต่อไปหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง เนื่องจากความชันเส้นโค้งก็คือความชันของเส้นตรงที่สมผัสเส้นโค้ง และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((2,2)\) เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการเป็น
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
\[y-2=-\frac{2}{3}(x-2)\]
จัดสมการนิดหน่อยจะได้
\[y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}+2\]
\[y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\]
2. ถ้ากราฟของ \(y=ax\) ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของ \(y=3x^{2}+8\) ที่จุด \((1,11)\) จงหาค่าของ \(a\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ เราก็แค่ดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง อย่าลืมนะครับเส้นสัมผัสเส้นโค้งก็คือเส้นตรงนั่นเองครับและเส้นตรงนี้ขนานกับ กราฟของ \(y=ax\) ซึ่ง \(y=ax\) ก็คือสมการเส้นตรงนั่นเอง ดังนั้นมันขนานกันความชันย่อมเท่ากัน เริ่มดิฟเลย
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&6x\end{array}
ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(6(x)=6(1)=6\)
นั่นคือ \(a=6\) นั่นเอง
3.จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\) เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้
1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) จุด \((2,1)\)
วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ
\(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) ดังน้น สมการเส้นโค้งคือ
\begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(x^{2}-3x+2)}dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\end{array}
จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\)
ต่อไปหาค่า \(C\) เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด \((2,1)\) ดังแทน \(x\) ด้วย 2 และแทน \(y\) ด้วย 1 ลงไปในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(C\) จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\\1&=&\frac{2^{3}}{3}-3\frac{2^{2}}{2}+2(2)+C\\1&=&\frac{8}{3}-6+4+C\\C&=&\frac{1}{3}\end{array}
เมื่อเราได้ค่า \(C\) แล้ว ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ
\(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)
2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) จุด \((0,5)\)
วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ
\(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ
\begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(2x^{3}+4x}\\y&=&2\frac{x^{4}}{4}+4\frac{x^{2}}{2}\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\end{array}
จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\) ต่อไปก็ทำเหมือนข้อข้างบนคือหาค่า \(C\) ครับผม ก็เส้นโค้งเส้นนี้ผ่านจุด \((0,5)\) ดังนั้นแทน \(x\) ด้วย 0 และแทน \(y\) ด้วย 5 ลงไปในสมการเส้นโค้งจะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\\5&=&\frac{0^{4}}{2}+2(0)+C\\C&=&5\end{array}
ดังนั้น
สมการเส้นโค้งคือ
\(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)
สรุป เกี่ยวกับความชันเส้นโค้งนิดหนึ่งนะครับ
ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \(P\) และมีความชันเท่ากับ \(y^{\prime}\)
ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \(P(x,y)\) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด \(P\)
ข้อความข้างบนถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆก็คือ ถ้าเราเอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ ค่าที่ดิฟได้จะเป็นความชันของเส้นโค้งนั้นและความชันนี้ยังเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งด้วย
ต่อไปลองไปทำโจทย์ที่มันหลากหลายกว่าเดิมครับผม
1. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(x^{2}-y^{2}=7\) ณ จุดสัมผัส \((4,3)\)
วิธีทำ จากสมการเส้นโค้งที่เขากำหนดมากให้คือ \(x^{2}-y^{2}=7\) จัดสมการให้อยู่ในรูป \(y=f(x)\) เพื่อที่จะดิฟง่ายๆหน่อย
\begin{array}{lcl}x^{2}-y^{2}&=&7\\y^{2}&=&x^{2}-7\\y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\end{array}
ต่อไปหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งโดยการนำสมการเส้นโค้งมาดิฟ จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{2}(x^{2}-7)^{-1/2}\cdot 2x\\&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\end{array}
เนื่องเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((4,3)\) ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเสั้นโค้งคือ
\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\\&=&4(4^{2}-7)^{-1/2}\\&=&(4)\cdot 9^{-1/2}\\&=&\frac{4}{3}\end{array}
ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\)
ต่อไปเราก็หาสมการของเส้นสัมผัสเสันโค้งนี้ อย่าลืมนะเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็นเส้นตรง ซึ่งสมการเส้นตรงก็คือ
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) เรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(\frac{4}{4}\) ดังนั้น \(m=\frac{4}{3}\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(4,3\) ดังนัั้นต้องแทน \(x_{1}=4\) และแทน \(y_{1}=3\) จึงได้สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็น
\begin{array}{lcl}y-3&=&\frac{4}{3}(x-4)\\3(y-3)&=&4(x-4)\\3y-9&=&4x-16\\3y-4x+7&=&0\end{array}
ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ\(3y-4x+7=0\)
2.ถ้าความชันของเส้นสัมผัสซึ่งสัมผัสกราฟ \(y=5x^{2}+cx\) ที่จุด \((3,-12)\) มีค่าเท่ากับ \(8\) แล้ว \(c\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ เรานำเส้นโค้งมาดิฟหรือมาหาอนุพันธ์กันเลยเพื่อที่จะได้ความชันออกมา เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}+cx\\y^{\prime}&=&10x+c\end{array}
เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ 8 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}10x+c&=&8\end{array} และสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด \((3,-12)\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}10x+c&=&8\\10(3)+c&=&8\\30+c&=&8\\c&=&-22\quad \underline{Ans}\end{array}
3.จุดบนเส้นโค้ง \(y=x^{2}-3x-4\) ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \(1\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ หาจุด\((x,y)\) ใดๆบนเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \((1)\) ซึ่งเรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งในจุดสัมผัส ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้ง นะคับดิฟเลย
\begin{array}{lcl}y=x^{2}-3x-5\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\\1&=&2x-3\\x&=&2\end{array}
ดังนั้นเรารู้ค่า\(x=2\) ดังนั้นเอาไปแทนค่าในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(y\) ต่อจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x-4\\y&=&2^{2}-3(2)-4\\y&=&-6\end{array}
ดังนั้นจุดบนเส้นโค้งคือ \((2,-6)\)
4. เส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\) ที่จุด \((-2,\frac{35}{3})\) ถ้าเส้นตรง \(L_{2}\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ที่จุด \((0,\frac{23}{3})\) แล้ว จงหาสมการของเส้นตรง \(L_{2}\)
วิธีทำ หาความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) ก่อนนะคับ หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้งที่จุดสัมผัสนั่นแหละจะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\\\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\end{array} แทน \(x\) ด้วย \(-2\) ลงไปสมการเส้นโค้งที่เราดิฟก็จะได้ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\)ออกมาครับ ได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\\&=&2(-2)^{2}+4(-2)-2\\&=&-2\end{array}
ดังนั้น เส้นตรง \(L_{1}\) มีความชันเท่ากับ \(-2\) และเส้นตรง \(L_{1}\) ผ่านจุด \((-2,\frac{35}{3})\) ดังนั้นเส้นตรง \(L_{1}\) จึงมีสมการคือ
\begin{array}{lcl}L_{1}: y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{35}{3}&=&(-2)(x+2)\\y-\frac{35}{3}&=&-2x-4\\3y-35&=&-6x-12\\3y+6x-23&=&0\end{array}
นั่นก็คือ สมการเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3y+6x-23=0\) ความจริงสมการเส้นตรง \(L_{1}\) ไม่ต้องหาออกมาก็ได้นะ ผมดูโจทย์ผิดนึกว่าให้หาสมการเส้นตรง \(L_{1}\)
เขาให้หาสมการเส้นตรง \(L_{2}\) ซึ่งเส้นตรงนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ซึ่งเส้นตรงที่ตั้งฉากกันเอาความชันมาคูณกันจะได้เป็น \(-1\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า เส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(2\) และเส้นตรง \(L_{2}\) นี้ผ่านจุด \((0,\frac{23}{3})\) ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการเป็น
\begin{array}{lcl}L_{2}:y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{23}{3}&=&2(x-0)\\3y-23&=&6x\\3y-6x-23&=&0\end{array}
ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการคือ \(3y-6x-23=0\)
ต่อไปมาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งในหนังสือของ สสวท. บ้าง ผมจะทำให้ดูแค่บางข้อพอเป็นตัวอย่างให้ดูเท่านั้นนะคับ เพื่อจะได้ทำข้ออื่นได้
1. จงหาความชันของเส้นโค้งต่อไปนี้ ณ จุดที่กำหนดให้ และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น
1) \(y=x^{2}-3x\) ที่จุด \((3,0)\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\end{array}
ดังนั้น ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (3,0) คือ \(2(3)-3=3\)
ต่อไปเราได้อีกว่า เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (3,0) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย
ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-0&=&3(x-3)\\y&=&3x-9\end{array}
เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (3,0) แบบนี้
2) \(y=5x^{2}-6\) ที่จุด (2,14)
วิธีทำ ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนครับ
\begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}-6\\\frac{dy}{dx}&=&10x\end{array}
ดังนั้น
เส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด (2,14) เท่ากับ 10(2)=20
เรายังได้อีกว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (2,14) ก็มีความชันเท่ากับ 20 เช่นเดียวกัน
ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-14&=&20(x-2)\\y-14&=&20x-40\\y&=&20x-26\end{array}
เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2,14) แบบนี้
3) \(y=x-x^{2}\) ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\)
วิธีทำ ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนเลย แต่ข้อนี้เขาให้แค่พิกัด \(x\) คือ \(\frac{1}{2}\) เราต้องหาพิกัด \(y\) เองนะคับ ไปดูต่อกันเลย
\begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\\frac{dy}{dx}&=&1-2x\end{array}
ดังนั้นที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(1-2\frac{1}{2}=0\) ความชันที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีค่าเป็น 0 แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่ากับ 0 ด้วย หรือก็คือ เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ขนานกับแกน \(X\) นั่นเองครับ หรือก็คือสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการอยู่ในรูป \(y=c\) นั่นเองนะ มองภาพออกไหมเอ่ย เราก็หาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งกันเลย ก็คือ เอาค่า \(x=\frac{1}{2}\) ไปแทนในสมการเส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\&=&\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}
สรุปก็คือ
เส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่า 0 นั่นเองครับ
และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด \(x=\frac{1}{2}\) มีสมการเป็น \(y=\frac{1}{4}\) นั่นเองครับ ดูรูปประกอบด้านล่างได้เลยคับ
2. กำหนดให้ \(f(3)=-1\) และ \(f^{\prime}(3)=5\) จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\)
วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้ความรู้ประโยชน์อะไรเลย เป็นการเล่นลิ้นเล่นคำของผู้ออกโจทย์เฉยๆ
จากโจทย์เขาให้หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\) หรือความหมายอีกอย่างของประโยคนี้ก็คือเส้นสัมผัสเส้นโค้งเส้นนี้มันวิ่ง่ผ่านจุด \(x=3\)
และโจทย์บอกอีกว่า \(f^{\prime}(3)=5\) ประโยคนี้มันบอกเราว่าเส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด \(x=3\) เท่ากับ 5 เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีวิ่งผ่านจุด \(x=3\) ด้วย แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ก็มีความชันเท่ากับ 5 เหมือนกัน
และอีกประโยคหนึ่งที่โจทย์บอกว่า \(f(3)=-1\) ความหมายก็คือ ถ้า \(x=3\) จะได้ค่า \(y=-1\)
สรุปก็คือ
เจ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 5 และมีวิ่งผ่านจุด \((3,-1)\) ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้คือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-(-1)&=&5(x-3)\\y+1&=&5x-15\\y&=&5x-16\end{array}
3. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเป็น 3 และสัมผัสเส้นโค้ง \(y=-x+x^{2}\) ที่จุด \((a,b)\) แล้ว จงหา \(a\) และ \(b\)
วิธีทำ ข้อนี้ลองวาดกราฟดูนะคับจะได้มองเห็นภาพ ใครจะวาดกราฟไปวาดตามลิงค์นี้ได้เลยนะคับ วาดกราฟออนไลน์โดยใช้ Geogebra วาดออกมาได้คร่าวๆประมาณนี้คับ
ขั้นตอนแรกให้เราไปหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\) ซึ่งจะได้
\begin{array}{lcl} f(x)&=&-x+x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&-1+2x\\\text{ดังนั้น}\quad \text{ความชันเส้นโค้ง ณ จุด a}\\f^{\prime}(a)&=&-1+2(a)\end{array}
เนื่องจากเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(a\) และมีความชันเท่ากับ 3 จึงทำให้ได้ว่าความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วยนั่นคือ
\(2a-1=3\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}2a-1&=&3\\2a&=&3+1\\a&=&\frac{4}{2}\\a&=&2\end{array}
ตอนนี้เราได้ ค่า \(a=2\) แล้วนะคับ ต่อไปเราก็คือค่าของ \(b\) ถ้าเราดูดีๆเนียะจะเห็นว่าคู่อันดับ \((a,b)\) ก็คือ
\(a\) ก็คือพิกัด \(x\)
\(b\) ก็คือพิกัด \(y\)
ดังนั้น ถ้าเราอยากรู้ค่า \(b\) ก็คืออยากรู้ค่า\(y\) นั่นเอง จากสมการเส้นโค้ง
\(y=-x+x^{2}\) แทน \(2\) ลงไปใน \(x\) จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&-x+x^{2}\\&=&-2+2^{2}\\&=&-2+4\\&=&2\end{array}
นั่นคือ \(b=2\) นั่นเองคับ
คำตอบของข้อนี้คือ \(a=2\) และ \(b=2\) นั่นเองคับ
4. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) และขนานกันเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=x^{3}\) ที่จุด \((1,1)\)
วิธีทำ ลองวาดกราฟคร่าวๆนะคับ การวาดกราฟทำโจทย์ไม่ต้องวาดให้ถูกต้อง 100% ก็ได้นะ วาดพอให้มองเห็นสถานการณ์ที่โจทย์ถามจะได้กราฟ ดังรูปด้านล่าง
ขั้นตอนแรกหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(1,1)\) ก่อนคับ จะได้ว่า
\begin{array}f(x)&=&x^{3}\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}\\ \text{ดังนั้น ณ จุด (1,1) เส้นโค้งมีความชัน}\\f^{\prime}(1)&=&3(1)^{2}\\&=&3\end{array}
เนื่องจากเส้นสัมเส้นโค้งผ่านจุด \((1,1)\) ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย จึงทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย เพราะสองเส้นนี้มีขนานกัน ดังนั้น ตอนนี้เรารู้ว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 นั่นคือเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาสมการเส้นตรงนี้ได้ด้วย
จากสมการเส้นตรงมีรูปแบบสมการคือ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) จะได้
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&3(x-2)\\y-3&=&3x-6\\y&=&3x-6+3\\y&=&3x-3\end{array}
นั้นคือ เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีสมการคือ \(y=3x-3\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (65)
65. สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\sqrt[3]{x^{2}+2}\) ที่จุด \(x=5\) คือข้อใดต่อไปนี้
- \(10x-27y+31=0\)
- \(5x-13y+14=0\)
- \(27x-10y-105=0\)
- \(13x-5y-50=0\)
วิธีทำ ข้อนี้อยากให้พวกเราไปอ่านเรื่องนี้ก่อน ความชันของเส้นโค้ง ซึ่งข้อสรุปในการหาความชันเส้นโค้งคือ เอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ เมื่อดิฟออกมาแล้วสิ่งที่ได้คือ เป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส ดังรูปด้านล่าง แต่เวลาทำข้อสอบจริงๆไม่มีรูปให้ดูนะคับ ผมเอามาให้ดูเพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้น แต่ที่แน่ๆ ต้องดิฟให้เป็น โดยเฉพาะการดิฟรูท
เริ่มทำกันเลย ดิฟสมการเส้นโค้งเพื่อหาความชันของเส้นสัมผัส
\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&(x^{2}+2)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x\\y^{\prime}&=&\frac{2x}{3(x^{2}+2)^\frac{2}{3}}\\x=5\\y^{\prime}&=&\frac{2(5)}{3(27)^{2/3}}\\y^{\prime}&=&\frac{10}{27}\end{array}
นั่นก็คือที่จุด \(x=5\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\) และที่จุดนี้มีค่า \(y\) คือ
\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&\sqrt[3]{27}\\y&=&3\end{array}
นั่นก็คือ ที่จุด \(x=5,\quad y=3\) เส้นสัมผัสเส้นเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\) ซึ่งมีสมการคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&\frac{10}{27}(x-5)\\27(y-3)&=&27\times \frac{10}{27}(x-5)\\27y-81&=&10(x-5)\\27y-10x-81+50&=&0\\27y-10x-31&=&0\\10x-27y+31&=&0\quad\underline{Ans}\end{array}
-
อินทิเกรต
วันนี้ผมจะทำการเฉลยแบบฝึกหัดปริพันธ์ไม่จำกัดเขตหรือว่าอินทิเกรตไม่จำกัดเขตนั่นเองครับให้ผู้ที่สนใจได้ดู ได้ศึกษาอ่านเองเพื่อเป็นความรู้พื้นฐาน สำหรับคนที่ไม่มีเงินเรียนพิเศษ จะได้มีเฉลยไว้ดู สามารถอ่านและศึกษา แบบฝึกหัดพวกนี้เพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. และหนังสืออื่นๆที่เกี่ยวกับข้อง จะได้มีความรู้ที่กว้างและทำข้อสอบได้ต่อไป มาดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตกันเลยครับ
1. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้
1) \(\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx&=&\int x^{4}dx+\int 3x^{2}dx+\int 5xdx\\&=&\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx+5\int xdx\\&=&\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+c\end{array}
2)\(\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx&=&\int 2x^{3}dx-\int3x^{2}dx+6\int dx-\int 2x^{-2}dx\\&=&2\int x^{3}dx-3\int x^{2}dx+6\int dx-2\int x^{-2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+6x+\frac{2}{x}+c\end{array}
3) \(\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx&=&\int x^{10}dx-\int x^{-3}dx\\&=&\frac{x^{11}}{11}+\frac{1}{2x^{2}}+c\end{array}
4)\(\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}}&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{4}}dx\\&=&\int x^{-2}dx+2\int x^{-4}dx\\&=&-\frac{1}{x}-\frac{2}{3x^{3}}+c\end{array}
5) \(\int \sqrt{x}dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int \sqrt{x}dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&\frac{2x\sqrt{x}}{3}+c\end{array}
6) \(\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx-\int x^{\frac{2}{3}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}+c\end{array}
7. \(\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\\&=&\int x^{-2}dx-\int\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}dx\\&=&-\frac{1}{x}-x^{\frac{1}{2}}+c\\&=&-\frac{1}{x}-\sqrt{x}+c\end{array}
8)\(\int x^{2}(x-3)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int x^{2}(x-3)dx&=&\int x^{3}dx-\int 3x^{2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+c\end{array}
9) \( \int \sqrt{x}(x+1)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int\sqrt{x}(x+1)dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}(x+1)dx\\&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\end{array}
10) \(\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx&=&\int x^{-2}dx-\in 2x^{-3}dx\\&=&\int x^{-2}dx-2\int x^{-3}dx\\&=&-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+c\end{array}
11) \(\int (x^{2}+5x+1)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl} \int (x^{2}+5x+1)dx&=&\int x^{2}dx+\int 5xdx+\int 1dx\\&=&\int x^{2}dx+5\int xdx+\int 1dx\\&=&\int \frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}+x+c\end{array}
12) \(\int (6\sqrt{x}+15)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (6\sqrt{x}+15)dx&=&\int 6x^{\frac{1}{2}}dx+\int 15dx\\&=&4x^{\frac{3}{2}}+15x+c\\&=&4x\sqrt{x}+15x+c\end{array}
13) \(\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx&=&\int x^{3}dx+\int 5x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\int x^{3}dx+5\int x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{5x^{3}}{3}+6x+c\end{array}
14) \(\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx&=&\int 6x^{-\frac{1}{2}}dx+\int 8x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&6\int x^{-\frac{1}{2}}dx+8\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&12x^{\frac{1}{2}}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&12\sqrt{x}+\frac{16}{3}x\sqrt{x}+c\end{array}
2. ถ้า \(f^{\prime}(x)=x\) และ \(f(x)=2\) แล้ว จงหา \(f(x)\)
วิธีทำ กำหนดให้ \(\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)=x\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\int\frac{dy}{dx}dx&=&\int xdx\\y&=&\int xdx\\y&=&\frac{x^{2}}{2}+c\end{array}
จะได้ \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}+c\)
เนื่องจาก \(f(2)=2\)
จะได้
\begin{array}{lcl}2&=&\frac{2^{2}}{2}+c\\c&=&0\end{array}
ดังนั้น \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}\)
3. จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\) เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้
1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) จุด \((2,1)\)
วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) คือ \(x^{2}-3x+2\)
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&x^{2}-3x+2\end{array}
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\int (x^{2}-3x+2)dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\)
แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,1)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=2\) จะได้ \(y=1\)
แทนค่า \(x\) ด้วย \(2)\) และแทน \(y\) ด้วย \(1\) ในสมการ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\) จะได้
\begin{array}{lcl}1&=&\frac{2^{3}}{3}-\frac{3}{2}(2^{2})+2(2)+c\\c&=&\frac{1}{3}\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)
2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) จุด \((0,5)\)
วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ \(2x^{3}+4x\)
นั้นคือ \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\int (2x^{3}+4x)dx\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\end{array}
ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\)
แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((0,5)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=0\) จะได้ \(y=5\)
แทน \(x\) ด้วย \(0\) และแทน \(y\) ด้วย \(5\) ในสมการ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\) จะได้ \(c=5\)
ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)6
4. จงหาความเร็ว \(v(t)\) และตำแหน่งของวัตถุ \(s(t)\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดความเร่ง \(a(t)\) และตำแหน่งของวัตถุเมื่อ \(t=0\) ดังนี้
1) \(a(t)=6-2t,\quad 0\leq t\leq 3,\quad v(0)=5,k\quad s(0)=0\)
วิธีทำ จาก \(\frac{dv}{dt}=a(t)=6-2t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\int\frac{dv}{dt}dt&=&\int(6-2t)dt\\v&=&6t-t^{2}+c_{1}\end{array}
จาก\(v(0)=5\) จะได้ \(c_{1}=5\)
ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v(t)=-t^{2}+6t+5\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
จาก \(\frac{ds}{dt}=v(t)=-t^{2}+6t+5\)
จะได้ \begin{array}{lcl}\int\frac{ds}{dt}dt&=&\int (-t^{2}+6t+5)dt\\s&=&-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t+c_{2}\end{array}
จาก \(s(0)=0\) จะได้ \(c_{2}=0\)
ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s(t)=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
5.โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที
กำหนดให้ \(g=9.8 เมตร/วินาที^{2}\) จงหา
1) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้
วิธีทำ โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง \(a=-g=-9.8 เมตร/วินาที^{2}\)
หรือ \(a=\frac{dv}{dt}=-9.8\)
จะได้ \(\int\frac{dv}{dt}dt=\int -9.8dt\)
ดังนั้น \(v=-9.8t+c_{1}\)
โยนวัตถูขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที
นั่นคือ ขณะ \(t=0\) และ \(v=98\)
จาก \(v=-9.8t+c_{1}\)
จะได้ \(c_{1}=98\)
ดังนั้น \(v=-9.8t+98\)
จาก \(\frac{ds}{dt}=\int (-9.8t+98)dt\)
ดังนั้น \(s=-4.9t^{2}+98t+c_{2}\)
เมื่อ \(t=0\) จะได้ \(s=0\) และ \(c_{2}=0\)
ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ \(s=-4.9t^{2}+98t\)
2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด
วิธีทำ วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ \(v=0\)
จาก \(v=-9.8t+98\)
จะได้
\begin{array}{lcl}0&=&-9.8t+98\\t&=&10\end{array}
ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที
6.จากการทดลองเพาะเชื้อปรสิตในจานเพาะเชื้อ พบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์) ณ เวลา \(t\) สัปดาห์ คือ \(\frac{d N(t)}{dt}=1200t^{2}-15t\) จงหาจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดให้จำนวนปรสิตเริ่มต้นคือ 600 ตัว
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า เขากำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรีย ณ เวลา \(t\) ใดๆ มาให้ ก็คือกำหนด \(\frac{d N(t)}{dt}\) มาให้ แต่โจทย์ให้เราหาจำนวนแบคที่เรียน ณ เวลา \(t\) ใดๆ นั่นคือเขาให้เราหา \(N(t)\) ในเวลา \(t\) ใดๆ นั่นเอง จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}N(t)&=&\int\frac{d N(t)}{dt}dt\\&=&\int (1200t^{2}-15t^{4})dt\\&=&\frac{1200t^{3}}{3}-\frac{15t^{5}}{5}+c\\&=&400t^{3}-3t^{5}+c\end{array}
โจทย์บอกมาอีกว่า จำนวนปรสิต เริ่มต้นคือ 600 ตัว จากตรงนี้เราได้ว่า \(N(0)=600\) เรานำตรงนี้ไปหาค่า \(c\) จะได้
\begin{array}{lcl}N(t)&=&400t^{3}-3t^{5}+c\\N(0)&=&400(0)^{3}-3(0)^{5}+c\\600&=&c\\c&=&600\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(c\) แล้ว นั่นคือจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆคือ
\(N(t)=400t^{3}-3t^{5}+600\) นั่นเองครับ
7. อัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ \(x\) นับจาก ค.ศ. 2000 สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน \(f(x)=2.17x^{2}-9.74x+19.956\) โดยที่ \(15\leq x\leq 40\) จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ. 2015 ถึง 2040
วิธีทำ โจทย์กำหนดอัตราเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานมาให้ ดังนั้นถ้าเราอยากรู้ ฟงก์ชันการใช้พลังงานในบ้าน เราต้องเอาอัตราการเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานภายในบ้านมาอินทิเกรต
กำหนดให้ \(F(x)\) คือ การใช้พลังงานภายในบ้าน ดังนั้น
\begin{array}{lcl}F(x)&=&\int f(x) dx\\&=& \int(2.17x^{2}-9.74x+19.956)dx\\&=&\frac{2.17}{3}x^{3}-4.87x^{2}+19.956x+c\end{array}
โจทย์ให้หาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ.2015 ถึง 2040 นั่นก็คือให้เราหา \(F(40)-F(15)\) นั่นเองคับ ได้ว่า
\(F(40)=\frac{2.17}{3}(40)^{3}-4.87(40)^{2}+19.956(40)+c=39,299.57+c\)
\(F(15)=\frac{2.17}{3}(15)^{3}-4.87(15)^{2}+19.956(15)+c=1,644.84+c\)
นั่นคือ พลังงานรวมที่บ้านอยู่อาศํยใช้ตั้งแต่ ค.ศ.2015-2040 คือ
\(F(40)-F(15)=37,654.73\) ล้านล้านบีทียู