-
ประเภทเมทริกซ์
วันนี้จะกล่างถึงประเภทต่างๆของเมทริกซ์ ซึ่งมีหลายประเภทมากๆจำเป็นต้องเรียนรู้เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนเนื้อหาในระดับที่สูงๆขึ้นไป เราไปดูกันเลยว่ามี เมทริกซ์อะไรบ้าง
ก่อนที่จะรู้จักประเภทของเมทริกซ์มาดูนิยามของ เมทริกซ์ กันก่อนครับ
Definition In mathematics , a matrix is a rectangular array of mumber such as
\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&5\\6&19\\4&8\end{bmatrix},\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix} \)
ข้างบนเป็นนิยามของเมทริกซ์ในภาษาอังกฤษ ถ้าแปลเป็นภาษาชาวบ้านให้เข้าใจง่ายๆ
เมทริกซ์คือ จำนวนต่างๆที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม เช่น
\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix} หรือ
\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix}
เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ใช้สัญลักษณ์ \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\) แทนเมทริกซ์ศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติต่างๆ เช่น
\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวและในแต่ละหลักเท่ากัน เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\4&7\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\) ก็คือมี 2 แถวและ 2 หลัก เท่ากัน
\(\begin{bmatrix}3&1&1\\6&4&1\\9&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\) ก็คือมี 3 แถวและ 3 หลักเท่ากัน
เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ทุกตัว เช่น
\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix) แบ่งออกเป็น
เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เช่น
\(\begin{bmatrix}2&3&4\\0&2&8\\0&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เช่น
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\2&3&0\\3&4&3\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
ไดอาโกนัลเมทริกซ์ (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์ สมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์หมด เช่น
\(\begin{bmatrix}3&0\\0&4\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&8\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
\(\begin{bmatrix}8&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&8&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}\) มีมิติ \(4\times 4\)
เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์ที่สลับที่ในระหว่างแถวกับหลักที่สมนัยกันแล้วยังคงเป็นเมทริกซ์เดิม เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (37)
37. กำหนดให้ \(\begin{bmatrix}1&-1\\-\frac{3}{2}&2\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\end{bmatrix}\) แล้ว \(det[5(A^{-1}+B^{t})]\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ หา \(A^{-1}\) ก่อนครับ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(2)(1)-(-1)(-\frac{3}{2})}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}
ต่อไปหา \(B^{t}\)
\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}A^{-1}+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-\frac{1}{2}\\\frac{11}{4}&\frac{3}{2}\end{bmatrix}\\so\\det(A^{-1}+B^{t})&=&(2)(\frac{3}{2})-(\frac{11}{4})(-\frac{1}{2})\\&=&3+\frac{11}{8}\\&=&\frac{35}{8}\end{array}
ต่อไปก็ไปหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}det[5(A^{-1}+B^{t})]&=&5^{2}det(A^{-1}+B^{t})\\&=&25\times \frac{35}{8}\\&=&\frac{875}{8}\\&=&109.375\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (52)
51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\) ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร
เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}
จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\)
นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)
-
สมบัติเมทริกซ์
1. การเท่ากันของเมทริกซ์ เมทริกซ์ A และ เมทริกซ์ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ
1) มีมิติเดียวกัน
2) สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน เช่น
\(\begin{bmatrix}5&a\\6&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\)
แสดงว่า \(a=1\quad , b=4\)
ตัวอย่าง 1 กำหนด \(A=\begin{bmatrix}3x-2&2x\\2y+3&3y\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}10&2x\\-5&3y\end{bmatrix}\)
ถ้า \(A=B\) แล้วจงหาเมทริกซ์ \(A,\quad B\)
วิธีทำ จากโจทย์เขากำหนดให้ว่าเมทริกซ์ A เท่าก้ับ เมทริกซ์ B ดังนั้น สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันจะเท่ากัน จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3x-2&=&10\quad\cdots \quad (1)\\2x&=&2x\quad\cdots (2)\\2y+3&=&-5\quad\cdots (3)\\3y&=&3y\quad\cdots (4)\end{array}
จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}3x-2&=&10\\3x&=&12\\x&=&\frac{12}{3}\\x&=&4\end{array}
จากสมการ \((3)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2y+3&=&-5\\2y&=&-8\\y&=&\frac{-8}{2}\\y&=&-4\end{array}
ดังนั้น \(x=4,\quad y=-4\) แล้วเอาค่า \(x\) กับ \(y\) นี้ไปแทนค่าในเมทริกซ์นะคับจะได้
\(2x=2(4)=8\)
\(3y=3(-4)=-12\)
นั่นคือ จะได้เมทริกซ์ A และ B คือ
\(A=B=\begin{bmatrix}10&8\\-5&-12\end{bmatrix}\)
2. การบวกกันของเมทริกซ์
บทนิยาม \(A,B\) เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ \(m\times n\) แล้ว
\(A+B=\begin{bmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\)
จากนิยามของบนนั่นคือเมทริกซ์จะบวกกันได้ก็ต่อเมื่อ
1) มีมิติเดียวกัน
2) นำสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบวกกันกลายเป็นสมาชิกของเมทริกซ์ใหม่ในตำแหน่งเดียวกัน เช่น
\(\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2&0\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+(-2)&1+0\\3+1&4+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\4&6\end{bmatrix}\)
ตัวอย่าง 2 กำหนด \(\begin{bmatrix}-1&2\\-2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-3\\5&-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\) จงหา \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)
วิธีทำ นำฝั่งซ้ายของสมการบวกกันก่อนเลยครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}(-1)+1+a&2+(-3)+b\\-2+5+c&4+(-6)+b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&-1+b\\3+c&-2+d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\quad\cdots (1)\end{array}
จากสมการ \((1)\) จะได้
\(a=-3\)
\(-1+b=2\to b=3\)
\(3+c=2\to c=-1\)
\(-2+d=-1\to d=1\)
นั่นก็คือ
\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&3\\-1&1\end{bmatrix}\)
สรุปสมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์
ถ้ากำหนด \(A,B,C\) เป็นเมทริกซ์ใดๆและมีมิติเดียวกันแล้ว
1. \(A+B=B+A\) สมบัติการสลับที่
2. \(A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)\) สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
3. \(A+B=A\) แสดงว่า \(B\) เป็นเมทริกซ์ที่เป็นเอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์ \(A\) ดังนั้น เมทริกซ์ \(B\) จะเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติเดียวกันกับเมทริกซ์ \(A\)
4. \(A+B=\underline{0}\) แสดงว่า \(A\) และ \(B\) เป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน
3. การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ การนำเอาสเกลาร์ใดๆ \(a\) คูณเมทริกซ์คือ การคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น เช่น
\[a\begin{bmatrix}3&2&7\\0&2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3a&2a&7a\\0&2a&3a\end{bmatrix}\]
และในทางกลับกันก็สามารถดึงตัวร่วมออกมาจากทุกๆ สมาชิกได้ เช่น
\(\begin{bmatrix}3&6&9\\12&15&-3\\1&5&-6\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&-1\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}&-2\end{bmatrix}\)
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
1. \(-A=(-1)A\)
2. \(a(A+B)=aA+aB\) เมื่อ \(A,B\) คือเมทริกซ์มิติเดียวกัน และ \(a\) คือจำนวนจริงใดๆ
ตัวอย่าง 3 กำหนด \(A=\begin{bmatrix}1&-3&0\\4&2&-5\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2&-3&1\\5&4&2\end{bmatrix}\)
จงหา \(2A,-3B,2A+(-3B)\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2A&=&2\begin{bmatrix}1&-3&0\\4&2&-5\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-6&0\\8&4&-10\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}
\begin{array}{lcl}-3B&=&-3\begin{bmatrix}-2&-3&1\\5&4&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&9&-3\\-15&-12&-6\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}
\begin{array}{lcl}2A+(-3B)&=&\begin{bmatrix}2&-6&0\\8&4&-10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&9&-3\\-15&-12&-6\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}8&3&-3\\-7&-8&-16\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}
4. การลบกันของเมทริกซ์
บทนิยาม การลบกันระหว่างเมทริกซ์\( A\) และ\( B\) ใช้สัญลักษณ์ \( A-B\) โดยที่ \(A-B=A+(-1)B\)
ดังนั้น การลบกันของเมทริกซ์จึงใช้สมบัติเดียวกันกับการบวกกันของเมทริกซ์ ซึ่งก็คือ การนำเอาเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันลบกันโดยใช้สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันลบกัน เช่น
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}3&5\\4&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3-1&5-2\\4-(-1)&2-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&3\\5&-1\end{bmatrix}\end{array}
5. การคูณกันของเมทริกซ์
บทนิยาม ให้ \(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\) และ \(B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{n\times p}\) ผลคูณของเมทริกซ์ \(A\) และ \(B\) เขียนแทนด้วย \(AB\) ซึ่งมีมิติ \(m\times p\) กำหนดโดย
\(AB=\begin{bmatrix}c_{ij}\end{bmatrix}_{m\times p}\) และ \(c_{ij}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)
สำหรับการคูณเมทริกซ์ถ้าอ่านนิยามอ่านจะเข้าใจยากหน่อย สามารถศึกษาเพิ่มเติมตามยูทูบได้ครับ
สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์
ถ้า \(A,B,C\) เป็นเมทริกซ์ใดๆ และ \(k,s\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. \(AB\neq BA\) การคูณเมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่
2. \(A^{k}=A\cdot A\cdot A\cdots \cdot A\) (k ตัว)
เช่น \(A^{3}=A\dot A\dot A\) อย่างไรก็ตาม \(A^{3}\) หรือ \(A^{k}\) อาจไม่สามารถหาได้เพราะเงื่อนไขของมิติของเมทริกซ์ แต่ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสจะสามารถหาค่าของ \(A^{k}\)ได้เสมอ
3. \(A\dot I =A\) โดยที่ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติเดียวกับ \(A\)
4. \(A(B+C)=AB+AC\)
5. \(B+C)A=BA+CA\)
6. \(A(BC)=(AB)C\)
7. \((kA)(sB)=(ks)(AB)\)
8. \((A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2} \neq A^{2}+2AB+B^{2}\)
9. \((A-B)(A+B)=A^{2}+AB-BA-B^{2}\neq A^{2}-B^{2}\)
10. ถ้า \(AB=\underline{0}\) แล้ว \(A\) หรือ \(B\) ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ \(\underline{0}\)
6. ทรานสโพสของเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้า \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) แล้วทรานสโพสของ \(A\quad (transpose fo A)\) เขียนแทนด้วย \(A^{T}\) หรือ \(A^{t}\) คือเมทริกซ์ \(m\times n\) ที่มีหลักที่ \(i\) เหมือแถวที่ \(i\) ของเมทริกซ์ \(A\) เมื่อ \(i=1,2,3,4,\cdots ,m\) นั่นคือ \(A^{t}=[a_{ji}]_{n\times m}\)
สรุปง่ายๆก็คือ ถ้าเรามีเมทริกซ์ A และต้องการหาทรานสโพสเมทริกซ์ A ก็คือ เอาแถวของเมทริกซ์ A มาเปลี่ยนเป็นหลักแทน ยกตัวอย่างเช่น
ตัวอย่าง 4 กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\)
จงหา \(A^{T},(A^{T})^{T}\quad B^{T}\)
วิธีทำ
\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^{T}=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\Rightarrow (A^{T})^{T}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)
\(B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\Rightarrow B^{T}=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\)
เราจะสังเกตเห็นว่า\(B=B^{T}\) เรียกเมทริกซ์ที่เมื่อนำไปทรานโพสแล้วได้ตัวมันเองว่า เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix)
ตัวอย่าง 5 กำหนดให้ \(C=\begin{bmatrix}0&-1&2\\1&0&-3\\-2&3&0\end{bmatrix}\) จงหา \(C^{T}\)
วิธีทำ
\(C=\begin{bmatrix}0&-1&2\\1&0&-3\\-2&3&0\end{bmatrix}\Rightarrow -C=\begin{bmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{bmatrix}\)
\(C^{T}=\begin{bmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{bmatrix}\)
จะสังเกตเห็นว่า \(C^{T}=-C\) เรียกเมทริกซ์ \(C\) ว่าเมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew symmetric matrix)
สมบัติที่สำคัญของการทรานสโพส
1. สัญลักษณ์ของทรานสโพสคือ \(A^{T}\)
2. ถ้า \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) แล้ว \(A^{T}=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}\)
3. \((A^{T})^{T}=A\)
4. \((kA)^{T}=kA^{T}\)
5. \((A\pm B)^{T}=A^{T}\pm B^{T}\)
6. \((A\cdot B)^{T}=B^{T}A^{T}\)