-
ประเภทเมทริกซ์
วันนี้จะกล่างถึงประเภทต่างๆของเมทริกซ์ ซึ่งมีหลายประเภทมากๆจำเป็นต้องเรียนรู้เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนเนื้อหาในระดับที่สูงๆขึ้นไป เราไปดูกันเลยว่ามี เมทริกซ์อะไรบ้าง
ก่อนที่จะรู้จักประเภทของเมทริกซ์มาดูนิยามของ เมทริกซ์ กันก่อนครับ
Definition In mathematics , a matrix is a rectangular array of mumber such as
\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&5\\6&19\\4&8\end{bmatrix},\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix} \)
ข้างบนเป็นนิยามของเมทริกซ์ในภาษาอังกฤษ ถ้าแปลเป็นภาษาชาวบ้านให้เข้าใจง่ายๆ
เมทริกซ์คือ จำนวนต่างๆที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม เช่น
\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix} หรือ
\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix}
เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ใช้สัญลักษณ์ \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\) แทนเมทริกซ์ศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติต่างๆ เช่น
\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวและในแต่ละหลักเท่ากัน เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\4&7\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\) ก็คือมี 2 แถวและ 2 หลัก เท่ากัน
\(\begin{bmatrix}3&1&1\\6&4&1\\9&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\) ก็คือมี 3 แถวและ 3 หลักเท่ากัน
เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ทุกตัว เช่น
\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix) แบ่งออกเป็น
เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เช่น
\(\begin{bmatrix}2&3&4\\0&2&8\\0&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เช่น
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\2&3&0\\3&4&3\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
ไดอาโกนัลเมทริกซ์ (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์ สมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์หมด เช่น
\(\begin{bmatrix}3&0\\0&4\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&8\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
\(\begin{bmatrix}8&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&8&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}\) มีมิติ \(4\times 4\)
เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์ที่สลับที่ในระหว่างแถวกับหลักที่สมนัยกันแล้วยังคงเป็นเมทริกซ์เดิม เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (32)
ข้อนี้เป็นข้อที่เกี่ยวกับกับ อินเวอร์สของเมทริกซ์ \(2\times \) นะคับผม ดังนั้นขอทบทวนเกี่ยวกับสูตรก่อน ซึ่งสูตรในการหาอินเวอร์เมทริกซ์ \(2\times \) เป็นดังนี้
กำหนดให้
\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\end{array}
ยกตัวอย่างเช่น
กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(A^{-1}\)
วิธีทำ
จาก
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{ad}{bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{(1)(4)-(2)(3)}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}
ต่อไปเรามาดูตัวอย่างกันเลยครับผม
32. กำหนด \(A\) และ \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) โดยมี
\((AB)^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\) และ
\(B=\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}\) จงหา \(A\)
วิธีทำ
ข้อนี้เราจะใช้วิธีการมองกลับด้าน คือ ดูที่สูตรแล้วทำกลับเพื่อหาเมทริกซ์ \(AB\)
จาก
\begin{array}{lcl}(AB)^{-1}&=&\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\\(AB)^{-1}&=&-\frac{1}{8}\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\end{array}
จากตรงนี้
\(\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\)
เมื่อเอาไปเทียบกับสูตรทำให้เราได้ว่า
\(AB=\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\)
ผมกำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2b&4a+3b\\2d&4c+3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\quad\cdots\ (1)\end{array}
จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}
\begin{array}{lcl}4a+3b&=&15\\4a+(3)(1)&=&15\\a&=&\frac{15-3}{4}\\a&=&3\end{array}
\begin{array}{lcl}2d&=&4\\d&=2\end{array}
\begin{array}{lcl}4c+3d&=&26\\4c+(3)(2)&=&26\\4c+6&=&26\\c&=&\frac{26-6}{4}\\c&=&5\end{array}
ดังนั้น
\[A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\]
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (37)
37. กำหนดให้ \(\begin{bmatrix}1&-1\\-\frac{3}{2}&2\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\end{bmatrix}\) แล้ว \(det[5(A^{-1}+B^{t})]\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ หา \(A^{-1}\) ก่อนครับ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(2)(1)-(-1)(-\frac{3}{2})}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}
ต่อไปหา \(B^{t}\)
\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}A^{-1}+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-\frac{1}{2}\\\frac{11}{4}&\frac{3}{2}\end{bmatrix}\\so\\det(A^{-1}+B^{t})&=&(2)(\frac{3}{2})-(\frac{11}{4})(-\frac{1}{2})\\&=&3+\frac{11}{8}\\&=&\frac{35}{8}\end{array}
ต่อไปก็ไปหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}det[5(A^{-1}+B^{t})]&=&5^{2}det(A^{-1}+B^{t})\\&=&25\times \frac{35}{8}\\&=&\frac{875}{8}\\&=&109.375\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (42)
42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)
ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)
โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}
ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}
ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\) และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)
ดังนั้น
\(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (43)
43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\)
ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -6
- 6
- -12
- 12
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}
พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)
\begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}
สิ่งที่ต้องรู้คือ
\(IC=C\)
\(\det I=1\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (44)
44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)
ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 40
- 42
- 80
- 82
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า
\(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)
เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย
\begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}
แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)
ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (52)
51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\) ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร
เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}
จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\)
นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)