-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (58)
58. กำหนดให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก
เซตของจำนวนจริง \(x\) ทั้งหมดที่ทำให้ \((x+3)^{2}+(x+3)^{4}+(x+3)^{6}+\cdots +(x+3)^{2n}+\cdots \) เป็นอนุกรมลู่เข้าคือข้อใด
- \((-4,-2)\)
- \([-2,1)\)
- \((2,4)\)
- \(-\infty ,-2)\)
- \((-1,1)\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ตรวจสอบอนุกรมที่เขาให้มาจะเห็นว่ามันเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ และมีอัตราส่วนร่วม \(r=\frac{(x+3)^{4}}{(x+3)^{2}}=(x+3)^{2}\)
ซึ่งอนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้าเมื่อ \(|r|<1\) ดังนั้นเราก็หาคำตอบได้จากตรงนี้เลยคับ
\begin{array}{lcl}|r|&<&1\\|(x+3)^{2}|&<&1\\(x+3)^{2}&<1&\\(x+3)^{2}-1&<&0\\(x+2)(x+4)&<&0\end{array}
แสดงว่า \(-4<x<-2\)
ดังนั้นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ \(x\in (-4,-2)\)