59. กำหนดให้ \(f(x)=\sqrt{2x+4}\) ค่าของ \(f^{\prime}(0)\) คือข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{1}{4}\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(1\)
4. \(2\)

วิธีทำ ดิฟเลยครับ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\sqrt{2x+4}\\f(x)&=&(2x+4)^{\frac{1}{2}}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}(2x+4)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(2x+4)\\&=&\frac{1}{2}(2x+4)^{-\frac{1}{2}}(2)\\&=&\frac{1}{(2x+4)^{\frac{1}{2}}}\\so\\f^{\prime}(0)&=&\frac{1}{(2(0)+4)^{\frac{1}{2}}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{4}}\\&=&\frac{1}{2}\quad \underline{Ans}\end{array}

60. ค่า \(x\) ที่ทำให้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2x^{2}-1}{x}\) มีค่าเท่ากับ \(4\) คือข้อใดต่อไปนี้

1. \(\pm\sqrt{2}\)
2. \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
3. \(\pm 2\)
4. \(\pm\frac{1}{2}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้ไปอ่านเรื่องความชันของเส้นโค้ง  นั่นก็คือต้องอาศัยความรู้การดิฟนั่นเอง  ก็คือดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2x^{2}-1}{x}\\y^{\prime}&=&\frac{d}{dx}\left(\frac{2x^{2}-1}{x}\right)\\&=&\frac{x\frac{d}{dx}(2x^{2}-1)-(2x^{2}-1)\frac{d}{dx}x}{x^{2}}\\&=&\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}\end{array}

นี้คือ  \(\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}\) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส แต่เขาต้องการให้หา \(x\) เมื่อความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ \(4\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\frac{x(4x)-(2x^{2}-1)(1)}{x^{2}}&=&4\\\frac{4x^{2}-(2x^{2}-1)}{x^{2}}&=&4\\\frac{4x^{2}-2x^{2}+1}{x^{2}}&=&4\\4x^{2}-2x^{2}+1&=&4x^{2}\\-2x^{2}+1&=&0\\2x^{2}-1&=&0\\x^{2}&=&\frac{1}{2}\\x&=&\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\\x&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}