-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (61)
61. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้
\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\) และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)
แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 6
- 7
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ
\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}
จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น
\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ
โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}
ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว
จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (62)
62. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}
ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
-
เฉลย o-net ม.6 เรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1. กำหนดให้
\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(B=\{1,2,3,\cdots ,11,12\}\)
\(S=\{(a,b)\in A\times B|b=2a+\frac{a}{2}\}\)
จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 51)
- 1
- 2
- 3
- 4
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า \(b\) ต้องเป็นตัวเลขที่เป็นจำนวนเต็มเหล่านี้คือ \(1,2,3,\cdots ,11,12\) ซึ่ง \(b=2a+\frac{a}{2}\) ดังนั้นตรง \(\frac{a}{2}\) ต้องหารกันลงตัว นั่นคือ \(a\) ต้องเป็นตัวเลขที่หารด้วย \(2\) ลงตัว แสดงว่าค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(2,4,6\) ต่อไปเราก็ไปหาว่า ถ้า \(a\) เป็น \(2,4,6\) จะได้ \(b\) เป็นตัวอะไรบ้างเริ่มเลย
ถ้า \(a=2\) จะได้ \(b=2(2)+\frac{2}{2}=5\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((2,5)\)
ถ้า \(a=4\) จะได้ \(b=2(4)+\frac{4}{2}=10\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((4,10)\)
ถ้า \(a=6\) จะได้ \(b=2(6)+\frac{6}{2}=15\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((6,15)\) ซึ่งจะเห็นว่าคูอันดับนี้ไม่อยู่ใน \(A\times B\) เพราะ \(15\) ไม่ได้อยู่ในเซต \(B\)
ดังนั้นเราจะได้เซต \(S=\{(2,5),(4,10)\}\) นั่นคือ \(S\) มีสมาชิก \(2\) ตัวนั่นเอง
2. ถ้า \(A=\{1,2,3,4\}\) และ \(r=\{(m,n)\in A\times A | m\leq n\}\) แล้วจำนวนสมาชิกในความสัมพันธ์ \(r\)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 8
- 10
- 12
- 16
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายสุดๆแล้ว ดูที่เงื่อนไขในเซต \(r\) คือให้เอา \(A\times A\) แล้วเลือกเอาตัวที่สมาชิกที่ตัวหน้าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหลัง ดังนั้น จะได้ \(r\) ที่มีหน้าตาดังนี้
\(r=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)\}\) นั่นคือ \(r\) มีสมาชิก \(10\) ตัวนั่นเอง
3. ถ้ากราฟของ \(y=x^{2}-2x-8\) ตัดแกน \(X\) ที่จุด \(A,B\) และมี \(C\) เป็นจุดวกกลับ แล้ว รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50 ข้อ 25)
- 21 ตารางหน่วย
- 24 ตารางหน่วย
- 27 ตารางหน่วย
- 30 ตารางหน่วย
วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะง่ายครับผม ก่อนอื่นหาจุดตัดบนแกน \(X\) ก่อน อย่าลืมนะว่าจุดตัดบนแกน \(X\) ค่าของ \(y=0\) ดังนั้นเรามาแก้สมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เพื่อหาจุดตัดบนแกน \(X\) กันเลย
\begin{array}{lcl}y=x^{2}-2x-8\\0&=&x^{2}-2x-8\\x^{2}-2x-8&=&0\\(x-4)(x+2)&=&0\\so\\x=4,-2\end{array}
นั่นคือ กราฟนี้มีจุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\)
ต่อไปหาจุดวกกลับ เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับการดิฟในการหาจุดวกกลับ ก็คือ
- ดิฟสมการเส้นโค้งจะได้ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ
- ที่จุดวกกลับความชันของเส้นโค้งจะเท่ากับ \(0\)
เราก็เอาสมการเส้นโค้ง \(y=x^{2}-2x-8\) มาดิฟเลย ความจริงสมการนี้ก็คือพาราโบลา แบบหงายนั่นแหละตอน ม.4 เรียนมาแล้ว เริ่มดิฟเลย
\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y^{\prime}&=&2x-2\end{array}
นั้นคือตอนนี้เราได้ความชันเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ \(y^{\prime}=2x-2\)
แต่ที่จุดวกกลับความชันเส้นโค้งเท่ากับ \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาพิกัดของ \(x\) ได้โดยการนำสมการนี้ \(y^{\prime}=2x-2\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้
\begin{array}{cl}2x-2&=&\\x&=&1\end{array}
นั่นคือที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=1\)
ต่อไปหาว่าที่จุดวกกลับ พิกัด \(y\) จะเป็นเท่าใด
จากสมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เราแทน \(x=1\) ลงไปในสมการก็จะได้ค่า \(y\) ออกมา
\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y&=&(1)^{2}-(2)(1)-8\\y&=&-9\end{array}
นั่นคือจุดวกกลับอยู่ที่พิกัด \((1,-9)\)
ตอนนี้ข้อมูลที่เราได้มีดังนี้ จุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\) จุดวกกลับคือ \((1,-9)\) วาดรูปคร่าวได้ประมาณนี้
ดังนั้น พื้นที่ สามเหลี่ยม \(ABC=\frac{1}{2}\times 6\times 9=27\) ตารางหน่วย
ภาพข้างล่างเป็นอีกภาพหนึ่งเอาไว้ดูเพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น
4. กำหนดให้ \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 49 ข้อที่ 5)
- \(f\) มีค่าต่ำสุดเท่ากับ -6
- \(f\) ไม่มีค่าสูงสุด
- \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับ 6
- \(f(\sqrt{\frac{9}{2}})<-6\)
วิธีทำ ถ้าเราดูจากสมการที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) เป็น พาราโบลา คว่ำ เพราะว่าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^{2}\) ติดลบ เมื่อเป็นพาราโบลาคว่ำแสดงว่า มันไม่มีค่าต่ำสุด แต่มีค่าสูงสุด ซึ่งค่าสูงสุดก็คือจุดวกกลับนั่นเองครับ หาจุดวกกลับเลยครับผม
ทำการดิฟสมการพาราโบลาเลยคับ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f^{\prime}(x)&=&-2x+4\end{array}
ดังนั้น เราได้ความชันของเส้นโค้งหรือความชันของพาราโบลา จุดใดๆ
ที่จุดวกกลับความชันจะเป็น \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาค่า \(x\) ได้โดยจับสมการนี้ \(f^{\prime}(x)=-2x+4\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+4\\0&=&-2x+4\\x&=&\frac{-4}{-2}\\x&=&2\end{array}
ดังนั้นที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=2\) ต่อไปหาพิกัด \(y\) บ้าง
จาก
\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f(x)&=&-(2)^{2}+(4)(2)-10\\f(x)&=&-4+8-10\\f(x)&=&-6\end{array}
นั่นคือที่จุดวกกลับมีค่า \(y=-6\) หรือก็คือค่าสูงสุดเท่ากับ \(-6\) นั่นเองครับ จากตัวเลือกจะเห็นว่าที่ถูกต้องที่สุดคือ ตัวเลือก 4. เพราะว่าค่าสูงสุดเป็น \(-6\) ดังนั้นไม่ว่าจะเอาไปอะไรใส่เข้าไปใน \(f(x)\) ต้องน้อยกว่า \(-6\) เสมอ
ดูภาพประกอบด้านล่าง
5. ถ้าจุด \(P\) เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา \(y=-x^{2}+12x-38\) และ \(O\) เป็นจุดกำเนิด แล้ว ระยะห่างระหว่างจุด \(P\) และจุด \(O\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 49 ข้อ 6)
- \(\sqrt{10}\) หน่วย
- \(2\sqrt{10}\) หน่วย
- \(\sqrt{13}\) หน่วย
- \(2\sqrt{13}\) หน่วย
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือดิฟสมการพาราโบลาเพื่อหาจุดวกกลับ
\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y^{\prime}&=&-2x+12\end{array}
หาพิกัด \(x\) ของจุดวกกลับ จะได้
\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&-2x+12\\0&=&-2x+12\\x&=&\frac{-12}{-2}\\x&=&6\end{array}
ต่อไปหาพิกัด \(y\) ของจุดวกกลับ จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y&=&-(6)^{2}+12(6)-38\\y&=&72-74\\y&=&-2\end{array}
ดังนั้นจุดวกกลับคือ \((2,-6)\) นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดวกกลับกับจุดกำเนิด \(O(0,0)\) คือ
\(\sqrt{(2-0)^{2}+(-6-0)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\)
6. ถ้าเส้นตรง \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)=-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -4
- 0
- 6
- 14
วิธีทำ ข้อนี้ต้องอ่านโจทย์ดีนะคับ ข้อนี้กราฟที่เขาให้มาเป็นพาราโบลาหงายนะคับ \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรแสดงว่าจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราแค่หาพิกัด \(y\) ก็จะได้ค่าสูงสุดที่เป็นคำตอบของข้อนี้คับผม ก็ทำการดิฟเพื่อที่จะได้ความชัน แล้วเอาความชันไปเท่ากับ \(0\) เพื่อค่า \(k\) แล้วก็หาค่า \(y\) ต่อคับเริ่มเลย
\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\end{array}
ต่อไปหาค่า \(k\) จุดวกกลับความชันเท่ากับ \(0\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\\0&=&-2x+k+5\\0&=&(-2)(3)+k+5\\0&=&-6+k+5\\k&=&1\end{array}
ตอนนี้เราได้แค่ \(k\) แล้ว และจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราก็หาค่า \(y\) เลยจะได้
\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f(3)&=&-(3)^{2}+(1+5)(3)+(1^{2}-10)\\f(3)&=&-9+18-9\\f(x)&=&0\end{array}
ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ \(0\)
7. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}
ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
8. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้
\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)
และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)
ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)
แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 6
- 7
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ
\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}
จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น
\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ
โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}
ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว
จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}
-
โจทย์ฟังก์ชัน
ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\) จงหา
1.1 \(f(0)\) แทน 0 ลงไปใน x เลยครับก็จะได้
\(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)
1.2 \(f(2)\) แทน 2 ลงไปใน x เลยครับจะได้
\(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)
ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\) จงหา
1.1 \(f(x+h)\) ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน x+h ลงใน x พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x เปลี่ยนเป็น x+h ครับ
\(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)
\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)
1.2 \(f(x+h)-f(x)\) อย่าลืมนะ \(f(x+h)\) เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ
\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\) และ
\(f(x)=x^{2}-3x+5\)
ดังนั้น
\(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\) กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ
\(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\)
\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)
\(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)
ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ
1. ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\) จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\) และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) เมื่อ \(h\neq 0\)
วิธีทำ
จาก
\(f(x)=x^{2}+3x-5\)
จะได้
\(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)
\(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)
\(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)
\(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)
\(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)
ทำอันสุดท้ายต่อครับ
\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}
2. ถ้า
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& 1 & when \quad x<1\\
& x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
& 2 & when \quad x>3
\end{matrix}\right.\)จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยาก แต่ง่ายที่มองว่ายากเพราะว่าอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ เรามาลองทำไปพร้อมก้นช้าๆครับ
หา \(f(-2)\) แสดงว่า x เรามีค่าเท่ากับ -2 เนื่องจาก -2<1 กลับไปดูที่โจทย์ครับโจทย์บอกว่า
\(f(x)=1\) เมื่อ x<1 หมายความว่าถ้า x มีค่าน้อยกว่า 1 ค่าของ f(x) จะเท่ากับ 1
เนื่องจาก -2<1 ดังนั้น
\(f(-2)=1\)
หา \(f(0)\)
เนื่องจาก 0<1 ดังนั้น
\(f(0)=1\) ด้วย
หา \(f(1)\)
เราจะเห็นโจทย์เขาบอกว่า f(x)=x หรือว่าเท่ากับตัวมันเองเมื่อ \(1\leq x \leq 3\) ดังนั้นข้อนี้ x=1 ตรงตามเงื่อนไขนี้พอดี ดังนั้น
\(f(1)=1\)
หา \(f(\frac{1}{2})\)
เราจะเห็นว่าโจทย์เขาบอกว่า \(f(x)=1\) เมื่อ x<1 ความหมายคือถ้า x มันน้อยกว่าหนึ่ง f(x) มันจะเท่ากับหนึ่งเสมอ ดังนั้น x เราเท่ากับหนึ่งส่วนสองดังนั้นข้อนี้
\(f\frac{1}{2}=1\)
หา \(f(\sqrt{3})\)
เนื่องจาก \(\sqrt{3}\) มีค่าประมาณ 1.732 ดังนั้นต้องใช้ อันนี้ครับ
\(f(x)=x\) นั่นคือ
\(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\)
หา \(f(9)\)
ดูที่โจทย์บอกมาครับโจทย์บอกว่า \(f(x)=2\) เมื่อ x มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งเอ็กซ์คือเราคือเก้ามากกว่าสามอยู่แล้วดังนั้น
\(f(9)=2\)
หา \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0
เราจะเห็นว่า h มันมากกว่าศูนย์ อาจะเป็น หนึ่ง สอง สาม เมื่อนำ h+3 มันต้องมากกว่า 3 จริงไหมครับ เมื่อ มันมากกว่าสาม เราต้องใช้อันนี้ครับ
\(f(x)=2\) เมื่อ x>3 ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(f(3+h)=2\) นั่นเอง
ส่วน f(3) ใช้อันนี้ครับ \(f(x)=x\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(f(3)=3\)
สรุปก็คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}&=&\frac{2-3}{h}\\&=&-\frac{1}{h}\end{array}
3. กำหนด \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\) ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นสับเซตของ \(U\times U\) จงเขียนกราฟพร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
1) \(f(x)=2x-3\)
2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)
วิธีทำ ลองหาค่าของ \(U\times U\) ก่อนครับใครทำไม่เป็นก็ไปดูนี่ครับ ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) ก็จะได้
\(\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),\\(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\\(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),\\(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),\\(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)\}\)
นี่คือ \(U\times U\) มีสมาชิกทั้งหมด 36 ตัวครับ ต่อไปมาดูฟังก์ชันแรกก่อนครับ
1) ก็คือ \(f(x)=2x-3\) หรือก็คือ \(y=2x-3\) นั่นเองครับซึ่งก็คือ
ถ้า \(x=0\) จะได้ว่า \(y=-3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((0,-3)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=1\) จะได้ว่า \(y=-1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((1,-1)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=2\) จะได้ว่า \(y=1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((2,1)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=3\) จะได้ว่า \(y=3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((3,3)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=4\) จะได้ว่า \(y=5\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((4,5)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=5\) จะได้ว่า \(y=7\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((5,7)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ดังนั้นฟังก์ชัน
\(f(x)=2x-3\) เขียนใหม่ได้คือ
\(f(x)=\{(2,1),(3,3),(4,5)\}\)
โดเมนของฟังก์ชันนี้คือ \(\{2,3,4\}\)
เรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ \(\{1,3,5\}\)
กราฟของฟังก์ชันคือ
มาดูข้อที่สองกันครับจากฟังก์ชัน ข้อที่ 2 คือ
2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)
ดูที่เงื่อนไขฟังก์ชันนะ ก็คือทั้งเอ็กซ์และวายยกกำลังสองบวกกันแล้วต้องได้ 25 เราก็ไปดูที่ \(U\times U\) ว่ามีตัวไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ 25 บ้าง เช่น
\((3,4)\) จะเห็นว่า \(3^{2}=9\) และ \(4^{2}=16\) เห็นว่า \(9+16=25\) ตามเงื่อนไขในฟังก์ชันเลย
\((0,1)\) จะเห็นว่า \(0^{2}=0\) และ \(1^{2}=1\) เห็นว่า \(0+1=1\) ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขฟังก์ชันที่กำหนดให้
ถ้าลองๆไปดูที่ \(U\times U\) ด้านบนก็จะเห็นว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ
\((3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\)
ดังฟังก์ชัน \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\) เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้คือ
\(f=\{(3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\}\)
จะได้
โดเมนคือ \(\{3,4,0,5\}\)
เรนจ์คือ \(\{4,3,0,5\}\)
กราฟหน้าตาก็เป็นแบบนี้ครับ
4. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}
ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
5. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้
\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)
และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)
ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)
แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 6
- 7
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ
\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}
จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น
\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ
โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}
ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว
จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}