68.กำหนดให้ \(f(x)=3x+1\) และ \((f\circ g)^{\prime}(x)=3x^{2}+1\) ถ้า \(g(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{0}^{1} g(x) dx\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ต้องหาฟังก์ชัน \(g\) ให้ได้ก่อนครับ ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มาแหละคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(x)&=&3x^{2}+1\\\displaystyle\int (f\circ g)^{\prime}dx&=&\displaystyle\int 3x^{2}+1 dx\\(f\circ g)(x)&=&x^{3}+x+c\\f(g(x))&=&x^{3}+x+c\\3g(x)+1&=&x^{3}+x+c\\g(x)&=&\frac{x^{3}+x+c-1}{3}\\from\quad g(0)=1\\so\\g(0)&=&\frac{c-1}{3}\\1&=&\frac{c-1}{3}\\c&=&4\end{array}

เมื่อเรารู้ว่า \(c=4\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(g(x)=\frac{x^{3}+x+3}{3}=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1\)

เริ่มหาคำตอบกันเลย เราได้หน้าตาของฟังก์ชัน \(g\) แล้ว

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}g(x) dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1 dx\\&=&\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{2}}{6}+x|_{0}^{1}\\&=&\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+1\\&=&\frac{1+2+12}{12}\\&=&\frac{15}{12}\\&=&\frac{5}{4}\end{array}

71.กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม ซึ่ง \(f(0)=1=f(1)\) ถ้า \(f^{\prime}(0)=1\) และ\(\displaystyle_{-1}^{1} f(x)dx=6\) แล้ว \(f(-1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -7
2. -1
3. 13
4. 15

วิธีทำ  ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดให้พหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนก็คือ

\[f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\]

เมื่อ \(a,b,c,d\) คือค่าคงตัว

ต่อไปเราก็หาค่าคงตัวก็คือหาค่า \(a,b,c,d\) ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มานั่นแหละไม่ยากมากเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f^{\prime}(x)&=&3ax^{2}+2bx+c\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+c\\1&=&c\\\color{red}{c}&=&1\end{array}

ต่อไปหาค่า \(d\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(0)=1\\so\\f(0)&=&0+0+0+d\\1&=&d\\\color{green}{d}&=&1\end{array}

ต่อไปหา \(a,b\) ต่อไปอีก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(1)=1\\so\\f(1)&=&a+b+c+d\\c=1,d=1\\so\\f(1)&=&a+b+1+1\\1&=&a+b+2\\\color{blue}{a+b}&=&-1\end{array}

หา \(b\) ต่ออีก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d \quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+x+1\quad dx&=&6\\\frac{ax^{4}}{4}+\frac{bx^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\quad |_{-1}^{1} &=&6\\\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{3}+\frac{1}{2}-1\right)&=&6\\\frac{2b}{3}+2&=&6\\b&=&\frac{12}{2}\\b&=&6\end{array}

จาก \(a+b=-1\) และ\(b=6\) ดังนั้นจะได้ \(a+6=-1\) จึงได้ว่า \(a=-7\)  

ณ ตอนนี้เราได้ว่า

\(a=-7\)

\(b=6\)

\(c=1\)

\(d=1\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(x)&=&-7x^{3}+6x^{2}+x+1\\so\\f(-1)&=&7+6-1+1\\f(-1)&=&13\quad\underline{Ans}\end{array}