การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

การแจงแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

ในหัวข้อนี้ว่าด้วยเรื่องของการหาค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มพอได้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแล้ว นำค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนั้นมาเขียนให้อยู่ในรูปตารางหรือกราฟ ตารางหรือกราฟที่แสดงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนี้ ถูกเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น (probability distribution)

ต่อไปเดี๋ยวเราไปดูการทำโจทย์เกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้

จำนวนข้อที่ตอบถูก	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
จำนวนนักเรียน(คน)	0	1	2	5	6	3	8	7	3	3	2

ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง

วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ

0 นักเรียนตอบไม่ถูกเลย

1 นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ

2 นักเรียนตอบถูกสองข้อ

\(\vdots\quad\vdots\)

10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ

ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า

นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน

นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน

นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน

นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน

นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน

จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)

เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(P(X=x)\)	0	\(\frac{1}{40}\)	\(\frac{2}{40}\)	\(\frac{5}{40}\)	\(\frac{6}{40}\)	\(\frac{3}{40}\)	\(\frac{8}{40}\)	\(\frac{7}{40}\)	\(\frac{3}{40}\)	\(\frac{3}{40}\)	\(\frac{2}{40}\)

2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ

\begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)

จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า

ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก 10 ตัว

ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว

ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว

ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)

ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)

ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)

โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว

\(z\)	0	1	2	3	4	5
\(P(Z=z)\)	\(\frac{6}{36}=0.17\)	\(\frac{10}{36}\)	\(\frac{8}{36}\)	\(\frac{6}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)

กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z