วันนี้เราจะมาหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตกันครับ หรือภาษาอังกฤษก็คือ geometric mean 

ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\) เป็นข้อมูล \(N\) จำนวนซึ่งเป็นจำนวนบวกทุกจำนวนค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

\[G.M.=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{N}}\]

ในกรณีที่ \(x_{i}\)  มีความ่ถี่ \(f_{i}\)  และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}=N\)

\[G.M.=\sqrt[N]{x_{1}^{f_{1}}x_{2}^{f_{2}}x_{3}^{f_{3}}\cdots x_{k}^{f_{k}}}\]

หมายเหตุ  เนื่องจากการหาค่า G.M. ต้องมีการคำนวณหากรณฑ์ที่ N ของจำนวนซึ่งทำให้การใช้สูตรดังกล่าวข้างต้นไม่สะดวกในกรณีที่ข้อมูลมีค่ามากๆ และต้องใช้เครื่องคิดเลขในการคำนวณ ดังนั้นเพื่อความสะดวกจึงใช้ลอการิทึมช่วย โดยจะได้สูตรในการหาค่า G.M. ดังนี้

สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

\[\log G.M.=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\log x_{i}\]

สำหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

\[\log G.M.=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}\log x_{i}\]

โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}=N\)

เมื่อ \(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\) โดยที่ \(i\) คือ \(1,2,\cdots ,k\)

\(f_{i}\) แทนความถี่ของข้อมูลอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

\(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

ตัวอย่าง 1  จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ \(7.96, 13.82, 22.95, 35.34,36.54,32.23,30.65,33.46,31.21,35.83,32.16,33.87,30.82,34.26,35.82\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl} \log 7.96&=&0.9009\\log 22.95&=&1.3608\\log 36.54&=&1.5628\\log 30.65&=&1.4864\\log 13.82&=&1.1405\\log 35.34&=&1.5483\\log 32.23&=&1.5083\\log 33.46&=&1.5245\\log 31.21&=&1.4943\\log 32.16&=&1.5073\\log 30.82&=&1.4895\\log 35.82&=&1.5541\\log 35.83&=&1.5543\\log 33.87&=&1.5298\\log 34.26&=&1.5348\end{array}

เอาค่าของ \(\log x_{i}\) มาบวกกันเลยครับแล้วเอาไปแทนค่าลงในสูตรนี้ครับ

\[\log G.M.=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\log x_{i}\] 

จะได้

\begin{array}{lcl}\log G.M.&=&\frac{1}{15}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}\log x_{i}\\&=&\frac{21.6966}{15}\\&=&1.44644\end{array}

จาก

\(\log G.M.=1.44644\)

ดังนั้น

\(G.M.=10^{1.44644}=27.95375\)

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลชุดนี้ประมาณ \(27.95\)

ตัวอย่าง  ถ้าสิรินมีเงินใช้จ่าย 9300 บาท หรือ 93 หน่วย และต้องการใช้ให้หมดภายใน 5 วัน โดยใช้จ่ายในวันที่ 1-5 ดังนี้ 48  24  12  6  3  จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของการใช้จ่ายต่อวัน

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\log G.M.&=&\frac{1}{5}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\log x_{i}\\&=&\frac{\log 48+\log 24+\log 12+\log 6+\log 3}{5}\\&=&\frac{1}{5}(1.6812+1.3802+1.0792+0.7782+0.4771)\\&=&1.0718\end{array}

จะได้ว่า

จาก \(\log G.M.=1.07918\)

ดังนั้น \(G.M.=10^{1.07918}=11.99997\)

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของการใช้จ่ายต่อวันประมาณ 1200 บาท

หมายเหตุ  ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตมีประโยชน์ในการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลในกรณีที่ค่าของข้อมูลสูงหรือต่ำกว่าค่าอื่น รวมอยู่บางค่าหรือหลายค่ามาก กรณีเช่นนี้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลได้ดีกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต เนื่องจากค่าที่สูงหรือต่ำมากเหล่านี้จะมีผลกระทบต่อค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลไม่มากนัก