การอินทิเกรตบางทีเราไม่สามารถอินทิเกรตออกมาแบบตรงๆได้ จำเป็นต้องใช้เทคนิคบางอย่าง ซึ่งเทคนิคที่จะใช้ในวันนี้เรียกว่า เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปร  เรามาดูว่าเป็นอย่างไร 

1.จงหาค่าของ \(\int(2x^{3}+3)^{7}x^{2}dx\)

วิธีทำ ถ้าทำแบบตรงข้อนี้ไม่ได้แน่เพราะเลขยกกำลังมันเยอะ ฉะนั้นเราต้องใช้เทคนิคการอินทิเกรตสักหน่อย ก็คือใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร

คือ กำหนดให้ \(u=2x^{3}+3\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&\frac{d}{dx}(2x^{3}+3)\\&=&6x^{2}\\du&=&6x^{2}dx\\\frac{1}{6}du&=&x^{2}dx\end{array}

เมื่อเรากำหนดตัวแปรแล้ว เราก็เริ่มอินทิเกรตกันเลยครับผม จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\int(2x^{3}+3)^{7}x^{2}dx&=&\int u^{7}\frac{1}{6}du\\&=&\frac{1}{6}\int u^{7}du\\&=&\frac{1}{6}[\frac{u^{8}}{8}+c]\end{array}

เมื่อเราอินทิเกรตเสร็จแล้วเราก็แทนค่ากลับครับผม ได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{1}{6}[\frac{u^{8}}{8}+c]&=&\frac{1}{6}[\frac{(2x^{3}+3)^{8}}{8}+c]\quad \underline{Ans}\end{array}

---

2.จงหาค่าของ \(\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรนะครับถึงจะง่ายครับ ดูวิธีการทำดีๆ

กำหนดให้ \(u=(x+1\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x+1)\\&=&1\\so\\du&=&dx\end{array}

เนื่องจากที่เรากำหนดให้ \(u=x+1\) เพราะฉะนั้น \(x=u-1\) เมื่อได้ค่าตัวแปรแล้วเริ่มอินทิเกรตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx&=&\int\frac{u-1}{\sqrt{u}}du\\&=&\int u^{-1/2}(u-1)du\\&=&\int u^{-1/2}u-u^{-1/2}du\\&=&\int u^{1/2}-u^{-1/2} du\\&=&\frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}-\frac{u^{1/2}}{\frac{1}{2}}+c\\&=&\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}+c\end{array}

แทนค่ากลับนะครับ ก็คือ แทน \(u\) ด้วย \(x+1\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}&=&\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2(x+1)^{1/2}\quad\underline{Ans}\end{array}

---

3.จงหาค่าของ \(\int\sqrt[3]{x^{3}+5}x^{2}dx\)

วิธีทำ ใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรเหมือนเดิมในครับถึงจะอินทิเกรตได้

ให้ \(u=x^{3}+5\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&\frac{d}{dx}x^{3}+5\\&=&3x^{2}\\so\\\frac{1}{3}du&=&x^{2}dx\end{array}

ได้ค่าตัวแปรแล้วเอาไปแทนค่าเพื่ออินทิเกรตครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\int\sqrt[3]{x^{3}+5}x^{2}dx&=&\int u^{1/3}\frac{1}{3}du\\&=&\frac{1}{3}\int u^{1/3}du\\&=&\frac{1}{3}[\frac{u^{4/3}}{\frac{4}{3}}+c\\&=&\frac{1}{3}[\frac{3}{4}u^{4/3}+c]\end{array}

แทนค่ากลับเลยครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{1}{3}[\frac{3}{4}u^{4/3}+c]&=&\frac{1}{3}[\frac{3}{4}(x^{3}+5)^{4/3}+c]\end{array}

---

4. จงหาค่าของ \(\int (x^{4}+1)^{1/3}x^{7}dx\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนกันกับข้อที่ผ่านๆมาเลยครับผม 

กำหนดให้ \(u=x^{4}+1\) และได้ \(x^{4}=u-1\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&4x^{3}\\\frac{1}{4}du&=&x^{3}dx\end{array}  เอาไปแทนค่าแล้วอินทิเกรตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\int (x^{4}+1)^{1/3}x^{7}dx&=&u^{1/3}x^{4}\cdot x^{3}dx\\&=&\int u^{1/3}(u-1)\frac{1}{4}du\\&=&\frac{1}{4}\int (u^{4/3}-u^{1/3})du\\&=&\frac{1}{4}[\frac{u^{7/3}}{\frac{7}{3}}-\frac{u^{4/3}}{\frac{4}{3}}+c]\\&=&\frac{1}{4}[\frac{3}{7}(x^{4}+1)^{7/3}-\frac{3}{4}(x^{4}+1)^{4/3}+c]\end{array}

---

5. จงหาค่าของ \(\int (5-12x)^{4}dx\)

วิธีทำ  ข้อนี้ง่ายครับผม เห็นมันยกกำลังเยอะแบบนี้ใช้วิธีการแทนค่านะคับในการอินทิเกรต

กำหนดให้ \(u=5-12x\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&-12\\dx&=&-\frac{1}{12}du\end{array} เมื่อกำหนดตัวแปรแล้วแทนค่าลงไปเลยครับผมจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\int (5-12x)^{4}dx&=&\int u^{4}(-\frac{1}{12})du\\&=&-\frac{1}{12}[\frac{u^{5}}{5}+c]\\&=&-\frac{1}{12}[\frac{(5-12x)^{5}}{5}+c]\end{array}