วันนี้เรามาดูเฉลยข้อสอบ Pat1 เรื่องลำดับและอนุกรม  ทั้งที่เป็นลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต และที่เป็นแบบทั้งลำดับจำกัด  อนุกรมจำกัดและที่เป็นทั้งลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ และมีการใช้พวก สัญลักษณ์แสดงการบวก มาช่วยในการหาคำตอบของอนุกรมด้วย ก็จะมีพวกสูตรพวกนี้

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\]

และอื่นๆที่เราจะต้องใช้เช่น 

สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

\[S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\quad or\quad S_{n}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}\]

สูตรหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต

\[S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\quad or \quad S_{n}=\frac{n}{2}[a_{1}+a_{n}]\]

สูตรการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

ถ้าอนุกรมเรขาคณิตอนันต์มี \(|r|<1\) สามารถหาผลบวกได้จาก \[\frac{a_{1}}{1-r}\]

เอาละต่อไปเราเริ่มมาทำข้อสอบกันเลยดีกว่าครับผม

1. กำหนดให้อนุกรมต่อไปนี้

\(A=\displaystyle\sum_{i=1}^{1000}(-1)^{k},\quad B=\displaystyle\sum_{k=3}^{20}k^{2},\quad C=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k\quad , D=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}2(\frac{1}{2})^{k}\)

ค่าของ \(A+B+C+D\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 (ก.ค.53)/23)

วิธีทำ เอาละเรามาหาค่าของแต่ละตัวกันเลย

เริ่มที่ A ก่อน

\begin{array}{lcl}A&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{1000}(-1)^{k}\\&=&(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{3}+(-1)^{4}+\cdots +(-1)^{999}+(-1)^{1000}\\&=&(-1)+1+(-1)+1+\cdots +(-1)+1\\&=&0\end{array}

ต่อไปหาค่า B

\begin{array}{lcl}B&=&\displaystyle\sum_{k=3}^{20}k^{2}\\&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{20}k^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{2}k^{2}\\&=&\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}-(1^{2}+2^{2})\\&=&\frac{20(21)(41)}{6}-5\\&=&2870-5\\&=&2865\end{array}

ต่อไปหาค่า C

\begin{array}{lcl}C&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k\\&=&\frac{k(k+1)}{2}&=&\frac{100(100+1)}{2}\\&=&5050\end{array}

ต่อไปหาค่า D

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}2(\frac{1}{2})^{k}&=&2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}\\&=&2\left[\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+(\frac{1}{2})^{4}+\cdots\right]\\&=&2(\frac{a_{1}}{1-r})\\&=&2\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)\\&=&2\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}A+B+C+D&=&0+2865+5050+2\\&=&7915+2\\&=&7917\quad\underline{Ans}\end{array}


2. ถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}b+1}{2n^{2}a-1}=1\)  แล้วผลบวกของอนุกรม \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right)^{n}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค.52/29)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานความรู้ระหว่างลิมิตขอลำดับอนันต์ และอนุกรมอนันต์ครับ

เราไปหาลิมิตกันก่อนคับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}b+1}{2n^{2}a-1}&=&1\\\frac{b}{2a}&=&1\\so\\b&=&2a\end{array}

เมื่อเรารู้ว่า \(b=2a\) เราก็นำค่านี้ไปแทนในอนุกรมเพื่อที่จะได้หาผลบวกได้ครับ นำไปแทนเลยจะได้

\begin{array}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right)^{n}&=&(\frac{a(2a)}{a^{2}+4a^{2}})+(\frac{a(2b)}{a^{2}+4a^{2}})^{2}+(\frac{a(2b)}{a^{2}+4a^{2}})^{3}+\cdots\\&=&\frac{2a^{2}}{5a^{2}}+(\frac{2a^{2}}{5a^{2}})^{2}+(\frac{2a^{2}}{5a^{2}})^{3}+\cdots\\&=&\frac{2}{5}+(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{3}+\cdots\\&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}}\\&=&\frac{2}{5}\times \frac{5}{3}\\&=&\frac{2}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}


3. ให้ \(k\) เป็นค่าคงที่ และถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k(n^{5}+n)+3n^{4}+2}{(n+2)^{5}}=15+6+\frac{12}{5}+\cdots +15(\frac{2}{5})^{n-1}+\cdots\)  แล้ว \(k\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Pat1 ก.ค.53/40)

วิธีทำ  ข้อนี้หาลิมิตไม่ยากครับจะเห็นว่าเป็นการหาลิมิตของเศษส่วนพหุนาม ซึ่งข้างล่างที่เป็นตัวส่วน สังเกตว่า \((n+2)^{5}\) เมื่อยกกำลังเสร็จสับเรียบร้อยแล้วจะเป็นพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์ของดีกรีสูงสุดเท่ากับ 1 ดังนั้นค่าของลิมิตจะเป็น\(\frac{k}{1}=k\) และฝั่งขวาของสมการจัดรูปมันจะได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ นั่นเองครับ ไปลองทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k(n^{5}+n)+3n^{4}+2}{(n+2)^{5}}&=&15+6+\frac{12}{5}+\cdots +15(\frac{2}{5})^{n-1}+\cdots\\k&=&15(\frac{2}{5})^{0}+15(\frac{2}{5})^{1}+15(\frac{2}{5})^{2}+15(\frac{2}{5})^{3}+\cdots\\k&=&15[1+\frac{2}{5}+(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{3}+\cdots]\\k&=&15(\frac{a_{1}}{1-r})\\k&=&15(\frac{1}{1-\frac{2}{5}})\\k&=&15\times \frac{5}{3}\\k&=&25\end{array}


4. กำหนดให้ \(4\) พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ \(2a+1\quad ,2b-1\quad ,3b-a\quad ,a+3b\)  เมื่อ \(a\)  และ \(b\) เป็นจำนวนจริง  พจน์ที่ 1000 ของลำดับเลขคณิตนี้เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54/17)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้สมบัติของลำดับเลขคณิตตัวอย่างเช่นลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต 

\(4,6,8,10\) ซึ่งเราจะได้ว่า \(6-4=8-6=10-8\) ดังนั้นข้อนี้เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(2b-1)-(2a+1)&=&(3b-a)-(2b-1)\\2b-2a-2&=&3b-2b-a+1\\2b-2a-2&=&b-a+1\\b-a-3&=&0\\b&=&a+3\quad \cdots (1)\end{array}

อีกหาอีกสมการหนึ่ง

\begin{array}{lcl}(3b-a)-(2b-1)&=&(a+3b)-(3b-a)\\b-a+1&=&2a\\b-3a+1&=&0\quad (2)\end{array}

แทน \(b\) ด้วย \(a+3\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}b-3a+1&=&0\\a+3-3a+1&=&0\\-2a+4&=&0\\a&=&2\end{array}

ต่อไป แทน \(a\) ด้วย \(2\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}b&=&a+3\\b&=&2+3\\b&=&5\end{array}

เมื่อเราได้ค่า \(a\) กับ \(b\) แล้ว เราเอาไปแทนค่าในลำดับที่โจทย์กำหนดให้ จะได้ 4 พจน์ดังนี้

\(5,9,13,17\) ดังนั้นจากลำดับเลขคณิตนี้จะได้ \(a_{1}=5\quad ,d=9-5=4\)

ต่อไปโจทย์ให้หาค่าพจน์ที่ 1000 ของลำดับเลขคณิต

จาก พจน์ที่ไปของลำดับเลขคณิต \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) จะได้

\begin{array}{lcl}a_{1000}&=&a_{1}+999d\\&=&5+(999)(4)\\&=&5+3996\\&=&4001\end{array}


5. ถ้า \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=A\) แล้ว

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 ก.ค.52/31)

  1. \(\frac{3}{4}+A\)
  2. \(\frac{5}{4}+A\)
  3. \(\frac{3}{4}-A\)
  4. \(\frac{5}{4}-A\)

วิธีทำ ข้อนี้ยุ่งยากพอสมควรครับ เรามาดูวิธีการทำกันเลย

จากที่โจทย์ให้มา \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=A\)

พิจารณา

\(\frac{1}{n^{4}-n^{2}}=\frac{1}{n^{2}(n^{2}-1)}=-\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}-1}\right)\)

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{4}-n^{2}}&=&A\\\displaystyle\sum-(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}-1})&=&A\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n^{2}-1}-\frac{1}{n^{2}})&=&A\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&A\\-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&A-\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}\\\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&\color{red}{\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}-A\cdots\quad (1)}\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) พิจารณา \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}\)

จะเห็นว่า

\(\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}&=&\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\\&=&\frac{1}{2}((\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots )\\&=&\frac{1}{2}((\frac{1}{1}-\not{\frac{1}{3}})+(\frac{1}{2}-\not{\frac{1}{4}})+(\not{\frac{1}{3}}-\not{\frac{1}{5}})+(\not{\frac{1}{4}}-\not{\frac{1}{6}})+(\not{\frac{1}{5}}-\not{\frac{1}{7}})+\cdots )\\&=&\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})\\&=&\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}

จะเห็นว่า

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}\)  นำส่วนนี้ไปแทนใน \((1)\)

จะได้ว่า

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\color{red}{\frac{3}{4}-A}\quad\underline{Ans}\)


6. กำหนดให้ \(a_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n-1}}{4^{n}}\)  และ

\(b_{n}=\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}\) ถ้า \(A\) และ \(B\) เป็นผลบวกของ

อนุกรม \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) และ \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) ตามลำดับ แล้ว \(A+B\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ A-net นะคับ โหดๆพอๆกับข้อสอบ Pat 1 เรียกว่าเป็นพี่เป็นน้องกันก็ว่าได้ข้อสอบพวกนี้ ถึงจะยากแต่ก็น่าทำนะคับ สนุกดี แก้เหงา สร้างสมาธิได้ดีเยี่ยม การจะทำข้อสอบพวกนี้ได้ ต้องอ่านหนังสือพื้นฐานก่อนนะคับ หนังสือที่อ่านได้และปูพื้นฐานได้ดี คือ หนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท.  ส่วนสำนักอื่น บางที่ก็สรุปกันมากไปหน่อย สรุปจะคนอ่านไม่ได้ concept ได้แต่ความจำ พอมาเจอข้อสอบที่ยากก็จะไปไม่เป็น เอาละเรามาดูวิธีการทำข้อนี้เลยครับ

พิจารณา \(a_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n-1}}{4^{n}}\)

จะเห็นว่า

\(a_{1}=\frac{2^{2}+3^{0}}{4}\)

\(a_{2}=\frac{2^{3}+3^{1}}{4^{2}}\)

\(a_{3}=\frac{2^{4}+3^{2}}{4^{3}}\)

\(a_{4}=\frac{2^{5}+3^{3}}{4^{4}}\)

\(a_{5}=\frac{2^{6}+3^{4}}{4^{5}}\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}&=&\frac{2^{2}+3^{0}}{4}+\frac{2^{3}+3^{1}}{4^{2}}+\frac{2^{4}+3^{2}}{4^{3}}+\frac{2^{5}+3^{3}}{4^{4}}+\frac{2^{6}+3^{4}}{4^{5}}+\cdots\\&=&\color{red}{(\frac{2^{2}}{4}+\frac{2^{3}}{4^{2}}+\frac{2^{4}}{4^{3}}+\frac{2^{5}}{4^{4}}+\cdots)}+\color{green}{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4^{2}}+\frac{3^{2}}{4^{3}}+\frac{3^{3}}{4^{4}}+\cdots)}\end{array}

จะเห็นว่าอนุกรมก้อนสีแดง เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) ซึ่งสามารถหาผลบวกได้จากสูตร\(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=&2\end{array}

และจะเห็นอีกว่า ก้อนสีเขียว ก็เป็นอนุกรมเรขาคณิตเหมือนกันมี \(r=\frac{3}{4}\) และผลบวกคือ

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{4}}\\&=&1\end{array}

จับก้อนอนุกรมสีแดงกับอนุกรมก้อนสีเขียวบวกกันจะได้ \(2+1=3\)

ดังนั้น 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A=3\)

ตอนนี้ได้ค่า \(A\) แล้ว ไปหาค่า \(B\) กันต่อเลยคับ

จากที่กำหนดให้  \(b_{n}=\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}\)

ซึ่งจะเห็นว่า \(1+2+3+\cdots +n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)

ดังนั้น 

\(b_{n}=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\)

เราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=&2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=&2[(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+\cdots]\\&=&2[(\frac{1}{1}-\not{\frac{1}{2}})+(\not{\frac{1}{2}}-\not{\frac{1}{3}})+(\not{\frac{1}{3}}-\not{\frac{1}{4}})+(\not{\frac{1}{4}}-\not{\frac{1}{5}})+\cdots]\\&=&2[1-0]\\&=&2\end{array}

ดังนั้น

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B=2\)

โจทย์ข้อนี้เขาให้หาค่าของ \(A+B\) จึงได้ว่า

\(\color{green}{A+B=3+2=5\quad\underline{Ans}}\)


7. กำหนดให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก

เซตของจำนวนจริง \(x\) ทั้งหมดที่ทำให้ \((x+3)^{2}+(x+3)^{4}+(x+3)^{6}+\cdots +(x+3)^{2n}+\cdots \) เป็นอนุกรมลู่เข้าคือข้อใด

  1. \((-4,-2)\)
  2. \([-2,1)\)
  3. \((2,4)\)
  4. \(-\infty ,-2)\)
  5. \((-1,1)\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ตรวจสอบอนุกรมที่เขาให้มาจะเห็นว่ามันเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ และมีอัตราส่วนร่วม \(r=\frac{(x+3)^{4}}{(x+3)^{2}}=(x+3)^{3}\)

ซึ่งอนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้าเมื่อ \(|r|<1\) ดังนั้นเราก็หาคำตอบได้จากตรงนี้เลยคับ

\begin{array}{lcl}|r|&<&1\\|(x+3)^{2}|&<&1\\(x+3)^{2}&<1&\\(x+3)^{2}-1&<&0\\(x+2)(x+4)&<&0\end{array}

แสดงว่า \(-4<x<-2\)

ดังนั้นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ \(x\in (-4,-2)\)