การหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดโดยใช้อนุพันธ์

ฟังก์ชัน ม.4

ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ

จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์ สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2 แบบ

แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้ $r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}$

แบบที่ 2 ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ $s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}$

ดูรูปประกอบ

                                    แบบที่ 1

                                     แบบที่ 2

จากรูปความสัมพันธ์ แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน จำไว้เลย

แต่

ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ

ตัวอย่าง 1 ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1) $\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}$

เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน

2) $\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}$

เป็นฟังก์ชัน

3) $\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}$

เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ

4) $\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}$

ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1

5) $\{(2,3),(2,4),(2,5)\}$

ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ

6) $\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} $

โดยที่ $\quad$ $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$

ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y   ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ $(-1)^{2}=1$

(0,0) เพราะ $0^{2}=0$

(1,1) เพราะ $1^{2}=1$

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

$\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}$

นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

7) $\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}$

โดยที่ $\quad$ $A=\{1,2,3,4,5\}$

ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี $\quad$ $ (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

$\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$

นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน

8) $\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}$

ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1) เพราะ $(-1)^{2}=1$

(1,1) เพราะ $1^{2}=1$

(0,0) เพราะ $0^{2}=0$

ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้

$\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}$ $\quad$ จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน

นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันเพิ่ม กับฟังก์ชันลดนะครับ ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะใช้การประยุกต์เกี่ยวกับอนุพันธ์เพื่อหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ลดในช่วงใดบ้าง แต่ก่อนที่จะไปดูเนื้อหาตรงนี้ เรามาดูทบทวนนิยามของฟังก์เพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อน ซึ่งเรียนมาตั้งแต่ ม.4 แล้วนะครับ

นิยาม

$f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $I$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก $x_{1},x_{2}$ ใดๆที่อยู่ในช่วง $I$ ถ้า $x_{1}<x_{2}$ แล้ว $f(x_{1})<f(x_{2})$

$f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $I$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก $x_{1},x_{2}$ ใดๆที่อยู่ในช่วง $I$ ถ้า $x_{1}<x_{2}$ แล้ว $f(x_{1})>f(x_{2})$

หรือถ้าพูดเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ ถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มและค่า y ก็เพิ่มตามด้วยหรือ ค่า x ลด ค่า y ก็ลดตามด้วย ฟังก์นั้นจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

แต่ถ้า ฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มแต่ค่า y กลับลดลง หรือ ค่า x ลด แต่ค่า y กลับเพิ่มขึ้นคือแปรผกผันกัน ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลด

ต่อไปเราจะประยุกต์เรื่องของอนุพันธ์ในการหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดครับ ดูต่อด้านล่างเลย

$f (x_{1}) > f (x_{2})$

ทฤษฎีบท ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง $A\subset D_{f}$

1. ถ้า $f^{\prime}(x)<0$ สำหรับทุก $x$ ในช่วง $A$ แล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง $A$

2. ถ้า $f^{\prime}(x)>0$ สำหรับทุก $x$ ในช่วง $A$ แล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง $A$

อ่าน ทฤษฎีบทแล้ว ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดเพื่อดูว่าฟังก์ชันไหนเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

แบบฝึกหัด

1. จงหาช่วงซึ่งฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

1) $f(x)=3-2x-x^{2}$

วิธีทำ จาก

$f(x)=3-2x-x^{2}$

$f^{\prime}(x)=-2-2x=-2(1+x)$

ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ $-2(1+x)>0$

\begin{array}{lcl}-2(1+x)&>&0\\1+x&<&0\\x&<&-1\end{array}

จะเห็นว่า $f^{\prime}(x)=-2(1+x)>0$ เมื่อ $x<-1$

ตามทฤษฎีบท จะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(-\infty,-1)$

ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ $-2(1+x)<0$

\begin{array}{lcl}-2(1+x)&<&0\\1+x&>&0\\x&>&-1\end{array}

จะเห็นว่า $f^{\prime}(x)=-2(1+x)<0$ เมื่อ $x>-1$

ตามทฤษฏีบท จะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $(-1,\infty)$

ดูภาพประกอบ ผมจะวาดกราฟให้ดูโดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับ ดูภาพประกอบจะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น และที่สำคัญอย่าลืม นิยาม ของฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม

2) $f(x)=2x^{2}-x-3$

วิธีทำ จาก

$f(x)=2x^{2}-x-3$

$f^{\prime}(x)=4x-1$

ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\begin{array}4x-1&>&0\\x&>&\frac{1}{4}\end{array}

จะเห็นได้ว่า $f^{\prime}(x)=4x-1>0$ เมื่อ $x>\frac{1}{4}$

นั่นก็คือ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(\frac{1}{4},\infty)$

และอีกอัน

\begin{array}{lcl}4x-1&<&0\\x&<&\frac{1}{4}\end{array}

จะเห็นว่า $f^{\prime}(x)=4x-1<0$ เมื่อ $x<\frac{1}{4}$

นั่นก็คือ $f$ เป็นฟัง์ชันลดบนช่วง $(-\infty,\frac{1}{4})$

ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

3)$f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$

วิธีทำ จาก

$f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5$

$f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)=6(x+3)(x-2)$

จะเห็นได้ว่า

\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&>&0\end{array}

เมื่อ $x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)$ สำหรับการแก้สมการนี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้นะครับ ช่วงและการแก้อสมการ

ซึ่งจากการแก้อสมการ

$f^{\prime}(x)>0$ เมื่อ $x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)$ ดังนั้น

$f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)$

อีกอันหนึ่ง

\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&<0&\end{array}

เมื่อ $x\in (-3,2)$ นั่นก็คือ

$f^{\prime}(x)<0$ เมื่อ $x\in (-3,2)$ ดังนั้น

$f$ เป็นฟ้งก์ชันลดในช่วง $x\in (-3,2)$

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1- ม.6

ดาวน์โหลดข้อสอบ - ใบงาน - แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์

เฉลย - ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์

บทความอ่านนอกเวลา - บทความอื่นๆ

ฟังก์ชัน ม.4

ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Latest News/บทความล่าสุด (2)

ดาวน์โหลดหนังสือคณิตศาสตร์ - ข้อสอบแข่งขัน - ข้อสอบเข้ามหาลัย