ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (40)

Details
Category: ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์
Hits: 221

40. ถ้า \(\arctan x=\arctan\frac{1}{4}-2\arctan\frac{1}{2}\) แล้ว \(\sin(180^{\circ}+\arctan x)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(\frac{13}{5\sqrt{17}}\)
  2. \(\frac{16}{5\sqrt{17}}\)
  3. \(\frac{-13}{5\sqrt{17}}\)
  4. \(\frac{-16}{5\sqrt{17}}\)

วิธีทำ

ข้อนี้ถ้าใครหัดทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับผกผันฟังก์ชันตรีโกณมบ่อยๆก็ไม่ยากคับ ส่งที่ต้องใช้ในข้อนี้คือ พวกสูตรผลบวกและผลต่างของมุม

ค่าฟังชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่า  เช่น

\(\sin (A+B)=\sin A\cos B +\cos A \sin B\)

\(\sin (A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B\)

\(\sin 2A =2\sin A\cos A\)

\(\cos 2A=\cos^{2} A-\sin^{2} A\)

หาอ่านเพิ่มเติมตามลิงก์นี้คับ

เริ่มทำกันเลยครับผม

กำหนดให้

\(\arctan\frac{1}{4}=A\) ดังนั้น \(\tan A=\frac{1}{4}\) แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากครับ จะได้รูปแบบนี้

จากรูปจะได้

\(\sin A=\frac{1}{\sqrt{17}}\)

\(\cos A=\frac{4}{\sqrt{17}}\)

และกำหนดให้

\(\arctan\frac{1}{2}=B\) ดังนั้น \(\tan B=\frac{1}{2}\) แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากครับ จะได้รูปแบบนี้

จากรูปจะได้

\(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\cos 2B=\cos^{2}B-\sin^{2}B=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\)

\(\sin 2B=2\sin B\cos B=2\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}\)

จากด้านบนที่เรากำหนดให้ \(arctan\frac{1}{4}=A\) และ \(arctan\frac{1}{2}=B\) จะได้ว่า

\(\arctan x=A-2B\) 

ตอนนี้ข้อมูลครับแล้วเราก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\sin (180^{\circ}+\arctan x)&=&\sin 180^{\circ}\cos(\arctan x)+\cos 180^{\circ}\sin(\arctan x)\\\color{red}{hint:}\quad \sin 180^{\circ}=0\\\quad  \cos 180^{\circ}=-1\\&=&(-1)\sin(\arctan x)\\&=&(-1)\sin(A-2B)\\&=&(-1)[\sin A\cos 2B-\cos A\sin 2B]\\&=&(-1)[\frac{1}{\sqrt{17}}\frac{3}{5}-\frac{4}{\sqrt{17}}\frac{4}{5}]\\&=&\frac{13}{5\sqrt{17}}\quad\underline{Ans}\end{array}

fShare