67.กำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+b\) และ \(g(x-1)=6x+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นค่าคงตัว ถ้า \(f(x)=g(x)\) เมื่อ \(x=1,2\) และ \((f+g)(1)=8\) แล้ว \((f\circ g^{-1})(16)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{31}{9}\)
2. \(\frac{61}{9}\)
3. \(10\)
4. \(20\)

วิธีทำ แน่นอนข้อนี้ถ้าให้เราเราต้องหาค่าของ \(a,b,c\) ให้ได้ก่อน ดังนั้นต้องมีอย่างน้อย 3 สมการถึงจะแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) ได้ ไปหาสมการกันเลยคับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+b\\f(1)&=&a(1)^{2}+b\\f(1)&=&a+b\quad\cdots (1)\\g(x-1)&=&6x+c\\g(2-1)&=&6(2)+c\\g(1)&=&12+c\quad \cdots (2)\end{array} 

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((1)=(2)\)

นั่นคือ 

\begin{array}{lcl}a+b&=&12+c\\a+b-c&=&12\quad (A)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}f(2)&=&2^{2}a+b\\f(2)&=&4a+b\quad\cdots (3)\\g(3-1)&=&6(3)+c\\g(2)&=&18+c\quad\cdots (4)\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((3)=(4)\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}4a+b&=&18+c\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}(f+g)(1)&=&8\\f(1)+g(1)&=&8\\a(1)^{2}+b+6(2)+c&=&8\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

ต่อไปแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) กันเลย

\begin{array}{lcl}a+b-c&=&12\quad\cdots (A)\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

นำสมการ \((A)-(C)\) จะได้

\begin{array}{lcl}-2c&=&16\\\color{red}{c}&=&-8\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A),(B)\) เสร็จแล้วนำ \((B)-(A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3a&=&6\\\color{green}{a}&=&2\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(2\) และแทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}2+b+8&=&12\\\color{blue}{b}&=&2\end{array}

ก่อนจะหาคำตอบหาอันนี้รอไว้ก่อนคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x-1)&=&6x+c\\g(4-1)&=&6(4)-8\\g(3)&=&16\\so\\g^{-1}(16)&=&3\end{array}

เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g^{-1})(16)&=&f(g^{-1}(16))\\&=&f(3)\\from\quad f(x)=ax^{2}+b\\so\\&=&f(3)\\&=&3^{2}a+b\\&=&2\cdot 9+2\\&=&18+2\\&=&20\quad\underline{Ans}\end{array}