61. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\) และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 6
2. 7
3. 10
4. 17

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}

62. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

63. กำหนดให้ \(g(x)=\left[f(x)\right]^{4}\) ถ้า \(f(1)=2\) และ \(f^{\prime}(x)=\frac{5}{x}\) แล้วค่าของ \(g^{\prime}(1)\) คือข้อใดต่อไปนี้

1. 100
2. 120
3. 140
4. 160

วิธีทำ  ข้อนี้ให้เอาฟังก์ชัน \(g\) มาดิฟครับซึ่งการดิฟฟังก์ชัน\(g\) นั้นต้องดิฟแบบใช้ กฎลูกโซ่ ก็คือดิฟใน แล้วดิฟนอกนั่นแหละคับ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}g(x)&=&\left[f(x)\right]^{4}\\g^{\prime}(x)&=&4\left[f(x)\right]^{3}f^{\prime}(x)\\g^{\prime}(x)&=&4\left[f(x)\right]^{3}\frac{5}{x}\\so\\g^{\prime}(1)&=&4\left[f(1)\right]^{3}(5)\\g^{\prime}(1)&=&(4)(2)^{3}(5)\\g^{\prime}(1)&=&(4)(8)(5)\\g^{\prime}(1)&=&160\end{array}

64. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{3}}{g(x)}\) โดยที่ \(g(2)=f^{\prime}(2)=3\) แล้ว \(g^{\prime}(2)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 11
2. 12
3. 13
4. 14

วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าต้องใช้การดิฟผลหารครับ แต่ก่อนอื่นเราหา \(f(2)\) เอาไว้ก่อนได้ใช้แน่นอนคับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{\left(x^{2}-1\right)^{3}}{g(x)}\\f(2)&=&\frac{\left(2^{2}-1\right)^{3}}{g(2)}\\f(2)&=&\frac{27}{3}\\f(2)&=&9\end{array}

ต่อไปหา \(g(x)\) เลยครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{\left(x^{2}-1\right)^{3}}{g(x)}\\g(x)&=&\frac{\left(x^{2}-1\right)^{3}}{f(x)}\\g^{\prime}(x)&=&\frac{f(x)\frac{d}{dx}(x^{2}-1)^{3}-(x^{2}-1)^{3}f^{\prime}(x)}{(f(x))^{2}}\\g^{\prime}(x)&=&\frac{f(x)\cdot 3\cdot (x^{2}-1)^{2}\cdot 2x-(x^{2}-1)^{3}f^{\prime}(x)}{(f(x))^{2}}\\g^{\prime}(2)&=&\frac{f(2)\cdot 3\cdot (2^{2}-1)^{2}\cdot (2)(2)-(2^{2}-1)^{3}f^{\prime}(2)}{(f(2))^{2}}\\g^{\prime}(2)&=&\frac{[9\cdot 3\cdot 9\cdot 4]-[27\cdot 3]}{9^{2}}\\g^{\prime}(2)&=&12-1\\g^{\prime}(2)&=&11\quad\underline{Ans}\end{array}

67.กำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+b\) และ \(g(x-1)=6x+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นค่าคงตัว ถ้า \(f(x)=g(x)\) เมื่อ \(x=1,2\) และ \((f+g)(1)=8\) แล้ว \((f\circ g^{-1})(16)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{31}{9}\)
2. \(\frac{61}{9}\)
3. \(10\)
4. \(20\)

วิธีทำ แน่นอนข้อนี้ถ้าให้เราเราต้องหาค่าของ \(a,b,c\) ให้ได้ก่อน ดังนั้นต้องมีอย่างน้อย 3 สมการถึงจะแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) ได้ ไปหาสมการกันเลยคับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+b\\f(1)&=&a(1)^{2}+b\\f(1)&=&a+b\quad\cdots (1)\\g(x-1)&=&6x+c\\g(2-1)&=&6(2)+c\\g(1)&=&12+c\quad \cdots (2)\end{array} 

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((1)=(2)\)

นั่นคือ 

\begin{array}{lcl}a+b&=&12+c\\a+b-c&=&12\quad (A)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}f(2)&=&2^{2}a+b\\f(2)&=&4a+b\quad\cdots (3)\\g(3-1)&=&6(3)+c\\g(2)&=&18+c\quad\cdots (4)\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((3)=(4)\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}4a+b&=&18+c\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}(f+g)(1)&=&8\\f(1)+g(1)&=&8\\a(1)^{2}+b+6(2)+c&=&8\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

ต่อไปแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) กันเลย

\begin{array}{lcl}a+b-c&=&12\quad\cdots (A)\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

นำสมการ \((A)-(C)\) จะได้

\begin{array}{lcl}-2c&=&16\\\color{red}{c}&=&-8\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A),(B)\) เสร็จแล้วนำ \((B)-(A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3a&=&6\\\color{green}{a}&=&2\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(2\) และแทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}2+b+8&=&12\\\color{blue}{b}&=&2\end{array}

ก่อนจะหาคำตอบหาอันนี้รอไว้ก่อนคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x-1)&=&6x+c\\g(4-1)&=&6(4)-8\\g(3)&=&16\\so\\g^{-1}(16)&=&3\end{array}

เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g^{-1})(16)&=&f(g^{-1}(16))\\&=&f(3)\\from\quad f(x)=ax^{2}+b\\so\\&=&f(3)\\&=&3^{2}a+b\\&=&2\cdot 9+2\\&=&18+2\\&=&20\quad\underline{Ans}\end{array}

68.กำหนดให้ \(f(x)=3x+1\) และ \((f\circ g)^{\prime}(x)=3x^{2}+1\) ถ้า \(g(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{0}^{1} g(x) dx\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ต้องหาฟังก์ชัน \(g\) ให้ได้ก่อนครับ ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มาแหละคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(x)&=&3x^{2}+1\\\displaystyle\int (f\circ g)^{\prime}dx&=&\displaystyle\int 3x^{2}+1 dx\\(f\circ g)(x)&=&x^{3}+x+c\\f(g(x))&=&x^{3}+x+c\\3g(x)+1&=&x^{3}+x+c\\g(x)&=&\frac{x^{3}+x+c-1}{3}\\from\quad g(0)=1\\so\\g(0)&=&\frac{c-1}{3}\\1&=&\frac{c-1}{3}\\c&=&4\end{array}

เมื่อเรารู้ว่า \(c=4\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(g(x)=\frac{x^{3}+x+3}{3}=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1\)

เริ่มหาคำตอบกันเลย เราได้หน้าตาของฟังก์ชัน \(g\) แล้ว

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}g(x) dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1 dx\\&=&\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{2}}{6}+x|_{0}^{1}\\&=&\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+1\\&=&\frac{1+2+12}{12}\\&=&\frac{15}{12}\\&=&\frac{5}{4}\end{array}

71.กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม ซึ่ง \(f(0)=1=f(1)\) ถ้า \(f^{\prime}(0)=1\) และ\(\displaystyle_{-1}^{1} f(x)dx=6\) แล้ว \(f(-1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -7
2. -1
3. 13
4. 15

วิธีทำ  ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดให้พหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนก็คือ

\[f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\]

เมื่อ \(a,b,c,d\) คือค่าคงตัว

ต่อไปเราก็หาค่าคงตัวก็คือหาค่า \(a,b,c,d\) ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มานั่นแหละไม่ยากมากเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f^{\prime}(x)&=&3ax^{2}+2bx+c\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+c\\1&=&c\\\color{red}{c}&=&1\end{array}

ต่อไปหาค่า \(d\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(0)=1\\so\\f(0)&=&0+0+0+d\\1&=&d\\\color{green}{d}&=&1\end{array}

ต่อไปหา \(a,b\) ต่อไปอีก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(1)=1\\so\\f(1)&=&a+b+c+d\\c=1,d=1\\so\\f(1)&=&a+b+1+1\\1&=&a+b+2\\\color{blue}{a+b}&=&-1\end{array}

หา \(b\) ต่ออีก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d \quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+x+1\quad dx&=&6\\\frac{ax^{4}}{4}+\frac{bx^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\quad |_{-1}^{1} &=&6\\\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{3}+\frac{1}{2}-1\right)&=&6\\\frac{2b}{3}+2&=&6\\b&=&\frac{12}{2}\\b&=&6\end{array}

จาก \(a+b=-1\) และ\(b=6\) ดังนั้นจะได้ \(a+6=-1\) จึงได้ว่า \(a=-7\)  

ณ ตอนนี้เราได้ว่า

\(a=-7\)

\(b=6\)

\(c=1\)

\(d=1\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(x)&=&-7x^{3}+6x^{2}+x+1\\so\\f(-1)&=&7+6-1+1\\f(-1)&=&13\quad\underline{Ans}\end{array}

ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ

จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์  สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2  แบบ  

แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้  \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)

แบบที่ 2  ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)

ดูรูปประกอบ

                                    แบบที่ 1

                                     แบบที่ 2

จากรูปความสัมพันธ์  แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า  ฟังก์ชัน จำไว้เลย

แต่

ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ

1. กำหนดให้

\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)

\(B=\{1,2,3,\cdots ,11,12\}\)

\(S=\{(a,b)\in A\times B|b=2a+\frac{a}{2}\}\)

จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 51)

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า \(b\) ต้องเป็นตัวเลขที่เป็นจำนวนเต็มเหล่านี้คือ \(1,2,3,\cdots ,11,12\) ซึ่ง \(b=2a+\frac{a}{2}\) ดังนั้นตรง \(\frac{a}{2}\) ต้องหารกันลงตัว นั่นคือ \(a\) ต้องเป็นตัวเลขที่หารด้วย \(2\) ลงตัว แสดงว่าค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(2,4,6\) ต่อไปเราก็ไปหาว่า ถ้า \(a\) เป็น \(2,4,6\) จะได้ \(b\) เป็นตัวอะไรบ้างเริ่มเลย

ถ้า \(a=2\) จะได้ \(b=2(2)+\frac{2}{2}=5\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((2,5)\)

ถ้า \(a=4\) จะได้ \(b=2(4)+\frac{4}{2}=10\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((4,10)\)

ถ้า \(a=6\) จะได้ \(b=2(6)+\frac{6}{2}=15\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((6,15)\) ซึ่งจะเห็นว่าคูอันดับนี้ไม่อยู่ใน \(A\times B\) เพราะ \(15\) ไม่ได้อยู่ในเซต \(B\) 

ดังนั้นเราจะได้เซต \(S=\{(2,5),(4,10)\}\) นั่นคือ \(S\) มีสมาชิก \(2\) ตัวนั่นเอง

2. ถ้า \(A=\{1,2,3,4\}\) และ \(r=\{(m,n)\in A\times A | m\leq n\}\) แล้วจำนวนสมาชิกในความสัมพันธ์ \(r\)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 8
2. 10
3. 12
4. 16

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายสุดๆแล้ว ดูที่เงื่อนไขในเซต \(r\) คือให้เอา \(A\times A\) แล้วเลือกเอาตัวที่สมาชิกที่ตัวหน้าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหลัง ดังนั้น จะได้ \(r\) ที่มีหน้าตาดังนี้

\(r=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)\}\) นั่นคือ \(r\) มีสมาชิก \(10\) ตัวนั่นเอง

3. ถ้ากราฟของ \(y=x^{2}-2x-8\) ตัดแกน \(X\) ที่จุด \(A,B\) และมี \(C\) เป็นจุดวกกลับ แล้ว รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50 ข้อ 25)

1. 21 ตารางหน่วย
2. 24 ตารางหน่วย
3. 27 ตารางหน่วย
4. 30 ตารางหน่วย

วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะง่ายครับผม  ก่อนอื่นหาจุดตัดบนแกน \(X\) ก่อน อย่าลืมนะว่าจุดตัดบนแกน \(X\) ค่าของ \(y=0\) ดังนั้นเรามาแก้สมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เพื่อหาจุดตัดบนแกน \(X\) กันเลย

\begin{array}{lcl}y=x^{2}-2x-8\\0&=&x^{2}-2x-8\\x^{2}-2x-8&=&0\\(x-4)(x+2)&=&0\\so\\x=4,-2\end{array}

นั่นคือ กราฟนี้มีจุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\)

ต่อไปหาจุดวกกลับ เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับการดิฟในการหาจุดวกกลับ ก็คือ

• ดิฟสมการเส้นโค้งจะได้ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ
• ที่จุดวกกลับความชันของเส้นโค้งจะเท่ากับ \(0\)

เราก็เอาสมการเส้นโค้ง \(y=x^{2}-2x-8\)  มาดิฟเลย ความจริงสมการนี้ก็คือพาราโบลา แบบหงายนั่นแหละตอน ม.4 เรียนมาแล้ว เริ่มดิฟเลย

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y^{\prime}&=&2x-2\end{array}

นั้นคือตอนนี้เราได้ความชันเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ \(y^{\prime}=2x-2\)

แต่ที่จุดวกกลับความชันเส้นโค้งเท่ากับ \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาพิกัดของ \(x\) ได้โดยการนำสมการนี้ \(y^{\prime}=2x-2\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{cl}2x-2&=&\\x&=&1\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=1\) 

ต่อไปหาว่าที่จุดวกกลับ พิกัด \(y\) จะเป็นเท่าใด

จากสมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\)  เราแทน \(x=1\) ลงไปในสมการก็จะได้ค่า \(y\) ออกมา

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y&=&(1)^{2}-(2)(1)-8\\y&=&-9\end{array}

นั่นคือจุดวกกลับอยู่ที่พิกัด \((1,-9)\) 

ตอนนี้ข้อมูลที่เราได้มีดังนี้ จุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\) จุดวกกลับคือ \((1,-9)\) วาดรูปคร่าวได้ประมาณนี้

ดังนั้น พื้นที่ สามเหลี่ยม \(ABC=\frac{1}{2}\times 6\times 9=27\) ตารางหน่วย

ภาพข้างล่างเป็นอีกภาพหนึ่งเอาไว้ดูเพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น

4. กำหนดให้ \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 49 ข้อที่ 5)

1. \(f\) มีค่าต่ำสุดเท่ากับ -6
2. \(f\) ไม่มีค่าสูงสุด
3. \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับ 6
4. \(f(\sqrt{\frac{9}{2}})<-6\)

วิธีทำ ถ้าเราดูจากสมการที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) เป็น พาราโบลา คว่ำ เพราะว่าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^{2}\) ติดลบ เมื่อเป็นพาราโบลาคว่ำแสดงว่า มันไม่มีค่าต่ำสุด แต่มีค่าสูงสุด ซึ่งค่าสูงสุดก็คือจุดวกกลับนั่นเองครับ หาจุดวกกลับเลยครับผม

ทำการดิฟสมการพาราโบลาเลยคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f^{\prime}(x)&=&-2x+4\end{array}

ดังนั้น เราได้ความชันของเส้นโค้งหรือความชันของพาราโบลา จุดใดๆ

ที่จุดวกกลับความชันจะเป็น \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาค่า \(x\) ได้โดยจับสมการนี้ \(f^{\prime}(x)=-2x+4\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+4\\0&=&-2x+4\\x&=&\frac{-4}{-2}\\x&=&2\end{array}

ดังนั้นที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=2\) ต่อไปหาพิกัด \(y\) บ้าง

จาก 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f(x)&=&-(2)^{2}+(4)(2)-10\\f(x)&=&-4+8-10\\f(x)&=&-6\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีค่า \(y=-6\) หรือก็คือค่าสูงสุดเท่ากับ \(-6\) นั่นเองครับ จากตัวเลือกจะเห็นว่าที่ถูกต้องที่สุดคือ ตัวเลือก 4. เพราะว่าค่าสูงสุดเป็น \(-6\) ดังนั้นไม่ว่าจะเอาไปอะไรใส่เข้าไปใน \(f(x)\) ต้องน้อยกว่า \(-6\) เสมอ

ดูภาพประกอบด้านล่าง

5. ถ้าจุด \(P\) เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา \(y=-x^{2}+12x-38\) และ \(O\) เป็นจุดกำเนิด แล้ว ระยะห่างระหว่างจุด \(P\) และจุด \(O\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 49 ข้อ 6)

1. \(\sqrt{10}\) หน่วย
2. \(2\sqrt{10}\) หน่วย
3. \(\sqrt{13}\) หน่วย
4. \(2\sqrt{13}\) หน่วย

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือดิฟสมการพาราโบลาเพื่อหาจุดวกกลับ 

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y^{\prime}&=&-2x+12\end{array}

หาพิกัด \(x\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&-2x+12\\0&=&-2x+12\\x&=&\frac{-12}{-2}\\x&=&6\end{array}

ต่อไปหาพิกัด \(y\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y&=&-(6)^{2}+12(6)-38\\y&=&72-74\\y&=&-2\end{array}

ดังนั้นจุดวกกลับคือ \((2,-6)\) นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดวกกลับกับจุดกำเนิด \(O(0,0)\) คือ

\(\sqrt{(2-0)^{2}+(-6-0)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\)

6. ถ้าเส้นตรง \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)=-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -4
2. 0
3. 6
4. 14

วิธีทำ ข้อนี้ต้องอ่านโจทย์ดีนะคับ ข้อนี้กราฟที่เขาให้มาเป็นพาราโบลาหงายนะคับ \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรแสดงว่าจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราแค่หาพิกัด \(y\)  ก็จะได้ค่าสูงสุดที่เป็นคำตอบของข้อนี้คับผม  ก็ทำการดิฟเพื่อที่จะได้ความชัน แล้วเอาความชันไปเท่ากับ \(0\) เพื่อค่า \(k\) แล้วก็หาค่า \(y\) ต่อคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\end{array}

ต่อไปหาค่า \(k\) จุดวกกลับความชันเท่ากับ \(0\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\\0&=&-2x+k+5\\0&=&(-2)(3)+k+5\\0&=&-6+k+5\\k&=&1\end{array}

ตอนนี้เราได้แค่ \(k\) แล้ว และจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราก็หาค่า \(y\) เลยจะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f(3)&=&-(3)^{2}+(1+5)(3)+(1^{2}-10)\\f(3)&=&-9+18-9\\f(x)&=&0\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ \(0\)

7. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

8. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)

และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)

ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 6
2. 7
3. 10
4. 17

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}

ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\)  จงหา 

1.1   \(f(0)\)   แทน 0  ลงไปใน x เลยครับก็จะได้

\(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)

1.2  \(f(2)\)  แทน 2 ลงไปใน  x  เลยครับจะได้

\(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\)    จงหา

1.1  \(f(x+h)\)     ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน  x+h   ลงใน x  พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x  เปลี่ยนเป็น x+h  ครับ

\(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)

1.2  \(f(x+h)-f(x)\)    อย่าลืมนะ  \(f(x+h)\)    เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)   และ 

\(f(x)=x^{2}-3x+5\)  

ดังนั้น  

\(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\)      กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ

\(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\) 

\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)

\(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)

ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ

1.  ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\)   จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\)  และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  เมื่อ \(h\neq 0\)

วิธีทำ

จาก

\(f(x)=x^{2}+3x-5\)

จะได้

\(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)

\(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)

\(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)

\(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)

\(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)

ทำอันสุดท้ายต่อครับ

\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}

2. ถ้า

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& 1 & when \quad x<1\\
& x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
& 2 & when \quad  x>3
\end{matrix}\right.\)

จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0