61. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\) และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 6
2. 7
3. 10
4. 17

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}

62. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

67.กำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+b\) และ \(g(x-1)=6x+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นค่าคงตัว ถ้า \(f(x)=g(x)\) เมื่อ \(x=1,2\) และ \((f+g)(1)=8\) แล้ว \((f\circ g^{-1})(16)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{31}{9}\)
2. \(\frac{61}{9}\)
3. \(10\)
4. \(20\)

วิธีทำ แน่นอนข้อนี้ถ้าให้เราเราต้องหาค่าของ \(a,b,c\) ให้ได้ก่อน ดังนั้นต้องมีอย่างน้อย 3 สมการถึงจะแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) ได้ ไปหาสมการกันเลยคับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+b\\f(1)&=&a(1)^{2}+b\\f(1)&=&a+b\quad\cdots (1)\\g(x-1)&=&6x+c\\g(2-1)&=&6(2)+c\\g(1)&=&12+c\quad \cdots (2)\end{array} 

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((1)=(2)\)

นั่นคือ 

\begin{array}{lcl}a+b&=&12+c\\a+b-c&=&12\quad (A)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}f(2)&=&2^{2}a+b\\f(2)&=&4a+b\quad\cdots (3)\\g(3-1)&=&6(3)+c\\g(2)&=&18+c\quad\cdots (4)\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ทำให้เราได้ว่า \((3)=(4)\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}4a+b&=&18+c\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\end{array}

เริ่มหาสมการอีก

\begin{array}{lcl}(f+g)(1)&=&8\\f(1)+g(1)&=&8\\a(1)^{2}+b+6(2)+c&=&8\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

ต่อไปแก้สมการหาค่า \(a,b,c\) กันเลย

\begin{array}{lcl}a+b-c&=&12\quad\cdots (A)\\4a+b-c&=&18\quad\cdots (B)\\a+b+c&=&-4\quad\cdots (C)\end{array}

นำสมการ \((A)-(C)\) จะได้

\begin{array}{lcl}-2c&=&16\\\color{red}{c}&=&-8\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A),(B)\) เสร็จแล้วนำ \((B)-(A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3a&=&6\\\color{green}{a}&=&2\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(2\) และแทน \(c\) ด้วย \(-8\) ในสมการ \((A)\) จะได้

\begin{array}{lcl}2+b+8&=&12\\\color{blue}{b}&=&2\end{array}

ก่อนจะหาคำตอบหาอันนี้รอไว้ก่อนคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x-1)&=&6x+c\\g(4-1)&=&6(4)-8\\g(3)&=&16\\so\\g^{-1}(16)&=&3\end{array}

เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g^{-1})(16)&=&f(g^{-1}(16))\\&=&f(3)\\from\quad f(x)=ax^{2}+b\\so\\&=&f(3)\\&=&3^{2}a+b\\&=&2\cdot 9+2\\&=&18+2\\&=&20\quad\underline{Ans}\end{array}

68.กำหนดให้ \(f(x)=3x+1\) และ \((f\circ g)^{\prime}(x)=3x^{2}+1\) ถ้า \(g(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{0}^{1} g(x) dx\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ต้องหาฟังก์ชัน \(g\) ให้ได้ก่อนครับ ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มาแหละคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(x)&=&3x^{2}+1\\\displaystyle\int (f\circ g)^{\prime}dx&=&\displaystyle\int 3x^{2}+1 dx\\(f\circ g)(x)&=&x^{3}+x+c\\f(g(x))&=&x^{3}+x+c\\3g(x)+1&=&x^{3}+x+c\\g(x)&=&\frac{x^{3}+x+c-1}{3}\\from\quad g(0)=1\\so\\g(0)&=&\frac{c-1}{3}\\1&=&\frac{c-1}{3}\\c&=&4\end{array}

เมื่อเรารู้ว่า \(c=4\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(g(x)=\frac{x^{3}+x+3}{3}=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1\)

เริ่มหาคำตอบกันเลย เราได้หน้าตาของฟังก์ชัน \(g\) แล้ว

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}g(x) dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+1 dx\\&=&\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{2}}{6}+x|_{0}^{1}\\&=&\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+1\\&=&\frac{1+2+12}{12}\\&=&\frac{15}{12}\\&=&\frac{5}{4}\end{array}

ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ

จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์  สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2  แบบ  

แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้  \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)

แบบที่ 2  ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)

ดูรูปประกอบ

                                    แบบที่ 1

                                     แบบที่ 2

จากรูปความสัมพันธ์  แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า  ฟังก์ชัน จำไว้เลย

แต่

ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ

ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\)  จงหา 

1.1   \(f(0)\)   แทน 0  ลงไปใน x เลยครับก็จะได้

\(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)

1.2  \(f(2)\)  แทน 2 ลงไปใน  x  เลยครับจะได้

\(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\)    จงหา

1.1  \(f(x+h)\)     ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน  x+h   ลงใน x  พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x  เปลี่ยนเป็น x+h  ครับ

\(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)

1.2  \(f(x+h)-f(x)\)    อย่าลืมนะ  \(f(x+h)\)    เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)   และ 

\(f(x)=x^{2}-3x+5\)  

ดังนั้น  

\(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\)      กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ

\(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\) 

\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)

\(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)

ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ

1.  ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\)   จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\)  และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  เมื่อ \(h\neq 0\)

วิธีทำ

จาก

\(f(x)=x^{2}+3x-5\)

จะได้

\(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)

\(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)

\(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)

\(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)

\(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)

ทำอันสุดท้ายต่อครับ

\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}

2. ถ้า

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& 1 & when \quad x<1\\
& x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
& 2 & when \quad  x>3
\end{matrix}\right.\)

จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0