ควอร์ไทล์

ดังนั้นจากรูปจะได้ว่า \(Q_{1}=5 \quad , Q_{2}=7\quad , Q_{3}=9\)

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายคับพอดีว่า ข้อมูลมันสามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วนได้พอดี ก็เลยง่ายแต่ถ้าข้อมูลไม่สามารถแบ่งได้ เราก็จะทำอีกวิธีหนึ่งคับ เดียวจะกล่าวถึงอีกต่อไป

ส่วน Decile และ Percentile ก็คอนเซปต์คล้ายๆกันคับ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดข้อมูลดังต่อไปนี้

10 12 15 20 25 26 28 29 33 34 36 38 40 42 42

จงหา ควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ  จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 2 เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากมาให้เราแล้ว และข้อมูลเยอะกว่าจากที่เคยยกตัวอย่างในตัวอย่างที่ 1 ฉนั้นถ้าเรามานั้่งจับข้อมูลมาเรียงเป็นส่วนๆเหมือนตัวอย่างที่1 ก็จะเสียเวลาถ้าข้อมูลเยอะ ฉนั้นวิธีการทำถ้าข้อมูลมีเยอะจะมีวิธีการทำดังนี้

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก่อน ข้อนี้โจทย์เรียงมาให้เรียบร้อย

2. คำนวณหาตำแหน่งของ ควอร์ไทล์ใดๆ ซึ่งมีสูตรในการคำนวณดังนี้

\(Q_{r}=\frac{r}{4}(N+1)\)

เมื่อ r คือควอร์ไทล์ใดๆ  และ

N คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด

ดังนั้นข้อนี้ให้หา \(Q_{3}\) นั่นคือ r=3 , N=15

ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ 3 คือ \(Q_{3}=\frac{3}{4}(15+1)=12\)

ข้อควรระวังข้อนี้ไม่ได้ตอบ  12 นะครับ คำตอบคือข้อมูลตัวที่ 12 นะระว้งด้วย

ข้อมูลตัวที่ 12  คือ  38

ดังนั้น \(Q_{3}=38  \) Ans

ตัวอย่างที่ 3 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 10 จำนวนประกอบด้วยจำนวนต่อไปนี้

4 8 8 9 14 15 18 18 22 25

ควอร์ไทล์ที่สามของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด(o-net 49)

วิธีทำ ข้อนี้เรียงข้อมูลมาให้แล้วฉนั้นคำนวณหาตำแหน่งเลย

\(Q_{3}=\frac{3}{4}(10+1)\)

\(Q_{3}=\frac{33}{4}=8.25\)

ควอร์ไทล์ที่สามคือข้อมูลตัวที่ 8.25 ซึ่งต่างจากข้อข้างบนเพราะไม่ใช่จำนวนเต็มก็ต้องมีการคำนวณต่ออีก

ก็ใช้บัญญัติไตรยางค์ในการคำนวณง่ายๆ

เราต้องไปดูข้อมูลตำแหน่งที่ 8 คือ 18  และข้อมูลตำแหน่งที่ 9 คือ 22

ตำแหน่งต่างกัน 1 (9-8=1)ข้อมูลต่างกัน 4(22-18=4)

ตำแหน่งต่างกัน 0.25 (8.25-8)ข้อมูลต่างกัน \(\frac{4}{1}\times 0.25=1\)

นั่นคือข้อมูลในตำแหน่งที่ 8 และข้อมูลในตำแหน่งที่ 8.25 มีข้อมูลมีค่าต่างกันอยู่  1

ข้อมูลในตำแหน่งที่ 8 คือ 18 ข้อมูลตัวที่ 8.25 ต้องเป็น 19 (เพราะต้องต่างกันอยู่ 1 นะ)

ดังนั้น \(Q_{3}=19\) Ans ไม่ยากใช่ไหม 555

ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามากดังนี้ 5 10 12 20 x 26 30 42 47 y ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 45 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 26.4 แล้ว ควอร์ไทล์ที่สองของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด(o-net 57)

วิธีทำข้อนี้ดูเหมือนจะยาก ไม่ยากครับแต่ยุ่งเฉยๆเพราะหลายขั้นตอนเหลือเกิน ต้องหา x ก้บ y ให้ได้่ก่อน

โจทย์ให้หา ควอร์ไทล์ที่ 2

ตำแหน่งของ \(Q_{2}=\frac{2}{4}(10+1)=5.5\)

ควอร์ไทล์ที่สองคือข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 5.5 ซึ่งเกี่ยวของกับค่า x  แต่การที่เราจะหาค่า x ได้ต้องหาค่า y ก่อน เริ่มหาเลยครับ

โจทย์บอกว่า พิสัย =45  ซึ่ง พิสัย = ข้อมูลมากสุด - ข้อมูลน้อยสุด ดังนั้น

\(พิสัย = y-5\)

\(45=y-5\)

\(y=50\)

ต่อไปหา x  ครับ  หา x จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต(\(\bar{x}\))ครับ

\(\bar{x}=\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+y}{10}\)

\(26.4=\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+50}{10}\)

\(26.4=\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+50}{10}\)

\(26.4=\frac{242+x}{10}\)

\(26.4 \times 10=242+x\)

\(264-242=x\)

\(x=22\)

เริ่มทำต่อเพื่อหาคำตอบเลยครับ

ตำแหน่งห่างกัน 1 (6-5) ข้อมูลต่างกัน 4 (26-22)

ตำแหน่งห่างกัน 0.5 (5.5-5) ข้อมูลจะต่างกัน \(\frac{4}{1}\times 0.5=2\)

ดังนั้นข้อมูลตัวที่ 5 และ ข้อมูลตัวที่ 5.5 มีค่าต่างกัน 2

ข้อมูลตัวที่ 5 คือ 22  ข้อมูลตัวที่ 5.5 ต้องเป็น 24 (เพราะต่างกัน 2)

แต่การคำนวณหาคำตอบในข้อนี้ เนื่องจาก ตำแหน่งที่ 5.5 เป็นตำแหน่งของข้อมูลที่อยู่ตรงกลางระหว่างตำแหน่งที่ 5 กับตำแหน่งที่ 6 ดังนั้น เอาข้อมูลในตำแหน่งที่ 5 กับ 6 มาหาค่าเฉลี่ยก็ได้ครับ

\(Q_{2}=\frac{22+26}{2}=24\)  แต่ที่ทำการเทียบบัญญัติไตรยางค์ให้ดูเผื่อมันไม่อยู่ตรงกลางจะได้ทำได้

ข้อนี้ก็ตอบเลย

\(Q_{2}=24\) Ans

เป็นไงบ้างข้อสอบ o-net ไม่ยากครับสนุกดีนะผมว่า

ลิงค์นี้เป็นการหาควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ ไปอ่านดูได้คับเตรียมตัวก่อนสอบ

ดูวิดีโอประกอบครับสำหรับคนขี้เกียจอ่าน

ต่อไป ก็ไปลองทำแบบฝึกหัด ควอร์ไทล์ที่เป็นข้อสอบ o-net บ้างครับ ออกทุกปีเลยครับ

O-net 57

32.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามากดังนี้ \(5,10,12,20,x,26,30,42,47,y\)  ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 45 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 26.4 แล้ว ควอร์ไทล์ที่สองของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใด

1. 20
2. 21
3. 23
4. 24
5. 25

วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากคับง่ายมากๆ

เขาบอกว่าพิสัยเท่ากับ 45 นั่นคือเอาข้อมูลสูงสุด ลบ ข้อมูลต่ำสุด เท่ากับ 45 นั่นเองครับจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}y-5&=&45\\y&=&45+5\\y&=&50\end{array}

นั่นคือเราได้ว่า \(y=50\)  นั่นเองครับ

เขาบอกอีกข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ \(26.4\) นั่นคือเราจะได้สมการนี้ครับ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+y}{10}\\26.4&=&\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+50}{10}\\26.4&=&\frac{242+x}{10}\\242+x&=&26.4\times 10\\x&=&264-242\\x&=&22\end{array}

นั่นคือ เราจะได้ข้อมูลดังนี้  5,10,12,20,22,26,30,42,47,50

ต่อไปเราก็หาควอร์ไทล์ที่สองครับ ซึ่งต้องหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่สอง\(Q_{2}\)ก่อนครับ

ตำแหน่ง \(Q_{r}=\frac{r}{4}(N+1)\)

ตำแหน่ง \(Q_{2}=\frac{2}{4}(10+1)=5.5\)

นั่นคือ \(Q_{2}\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 5.5 ครับ นั่นคืออยู่ตรงกลางระหว่างข้อมูลตำแหน่งที่ 5 กับตำแหน่งที่ 6

ข้อมูลตำแหน่งที่ 5 คือ 22

ข้อมูลตำแหน่งที่ 6 คือ 26

ดังนั้น \(Q_{2}=\frac{22+26}{2}=24\) นั่นเองครับ ตอบ 24

O-net 51

34. ช้อมูลชุดหนึ่ง ถ้าเรียงจากน้อยไปมากแล้ว ได้เป็นลำดับเลขคณิตต่อไปนี้

\(2,5,8,\cdots ,92\)

ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 68
2. 69
3. 71
4. 72

วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าเป็นข้อสอบที่สวยครับเพราะว่าเป็นการบูรณาการระหว่างการวัดตำแหน่งที่ข้อมูล กับ ลำดับเลขคณิต 

ข้อนี้ก่อนที่เราจะหาควอร์ไทล์ที่ 3 ได้เราต้องรู้ก่อนว่าข้อมูลที่เรียงเป็นลำดับเลขคณิตนี้มีทั้งหมดกี่พจน์ หรือก็คือข้อมูลมีกี่ตัวนั้นเอง ดังนั้นเราไปหากันเลย ทุกคนคงจำได้นะครับว่า สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)  เริ่มเลย ซึ่ง \(a_{1}=2,d=5-2=3\)

\begin{array}{lcl}a_{n}&=&a_{1}+(n-1)d\\92&=&2+(n-1)(3)\\92&=&2+3n-3\\n&=&\frac{93}{3}\\n&=&31\end{array}

ดังนั้นมีข้อมูลทั้งหมด 31 ตัวนั้นเองครับ

ต่อไปหาควอร์ไทล์ที่ 3  เริ่มจากหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ 3 \((Q_{3})\) ก่อน

ตำแหน่งของ \(Q_{r}=\frac{r}{4}(N+1)\)

ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}(31+1)=24\)

นั้นคือ \(Q_{3}\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 24 หรือถ้าเราพูดในเรื่องของลำดับข้อมูลนี้ก็คือพจน์ที่ 24 นั่นเองครับ\(a_{24}\)

จาก  \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}a_{24}&=&a_{1}+(24-1)d\\&=&2+(23)(3)\\&=&71\end{array}

นั่นคือควอร์ไทล์ที่ 3 เท่ากับ \(71\) นั่นเอง

1. จากการทดสอบระดับสติปัญญาของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 20 คน ปรากฏผลดังนี้ \(82,84,86,90,93,94,95,95,97,98,100,102,104,105,105,108,110,112,115,120\) จงหา \(Q_{3},D_{4}\) และ \(P_{80}\)

วิธีทำ ก่อนอื่นต้องเอาข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามากก่อน แต่โจทย์ใจดีเรียงมาให้แล้ว หาตำแหน่งก่อน

ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3(20+1)}{4}=15.75\) ดังนั้น \(Q_{3}\) เป็นข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ \(15.75\) นั่นก็คือ

\(Q_{3}=105+(3\times 0.75)=107.25\)

ตำแหน่งของ \(D_{4}=\frac{4(20+1)}{10}=8.4\) ดังนั้น \(D_{4}\) เป็นข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ \(8.4\) นั่นคือ

\(D_{4}=95+(2\times 0.4)=95.8\)

ตำแหน่งของ \(P_{80}=\frac{80(20+1)}{100}=16.80\) ดังนั้น \(P_{80}\) เป็นข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ \(16.80\) นั่นก็คือ

\(P_{80}=108+(2\times 0.8)=109.6\)

แบบฝึกหัดและหัวอื่นๆที่เกี่ยวข้อง

• ควอร์ไทล์
• ควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
• เดไซล์
• เดไซล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• เปอร์เซนไทล์
• การหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

ควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

\begin{array}{lcl}Q_{r}&=&\frac{r}{4}\times N\\Q_{2}&=&\frac{2}{4}\times 50\\Q_{2}&=&25\end{array}

ตอนนี้เรารู้ว่า \(Q_{2}\) นี้คือข้อมูลตัวที่ 25  นั่นเอง ไม่ใช่ตอบ 25 นะครับ ก่อนจะทำต่อขออธิบายดูรูปด้านล่างประกอบนะครับ

ดูรูปแล้วหวังว่าจะเข้าใจมากยิ่งขึ้นครับ ก็คือ เราจะได้ว่า

\(F_{L}=18\)

\(f_{x}=20\)

\(I=10\)

\(\frac{r}{4}N=25\)

จะเห็นว่า ควอร์ไทล์ที่ 2  คือข้อมูลที่อยู่ในช่วง 21-30  ดังนั้น

ขอบล่างหรือว่า \(L=21-0.5=20.5\)

เอาข้อมูลนี้ไปแทนค่าในสูตรในการหาควอร์ไทล์เลยครับ

\begin{array}{lcl}Q_{2}&=&L+\left(\frac{\frac{rN}{4}- F_{L}}{f_{x}}\right)I\\Q_{2}&=&20.5+\left(\frac{25-18}{20}\right)10\\Q_{2}&=&20.5+3.5\\Q_{2}&=&24\end{array}

แบบฝึกหัดและหัวอื่นๆที่เกี่ยวข้อง

• Quartile (ควอร์ไทล์)
• ควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
• เดไซล์
• เดไซล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• เปอร์เซนไทล์
• การหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

เดไซล์

เปอร์เซ็นไทล์

จากรูปข้างบนถ้าเราพิจารณาดีๆน่ะเราจะเห็นว่า  \(P_{50}\)   คือข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(P_{50}=Med=Q_{2}=D_{5}\)

\(P_{10}=D_{1}\)

\(P_{20}=D_{2}\)

\(P_{30}=D_{3}\)

เป็นต้น นะครับยังมีอีกหลายตัว่นะที่มันเท่ากัน ลองคิดต่อเองแล้วกันครับ

ตำแหน่งของ เปอร์เซ็นไทล์ที่ r ใดๆ หาได้จาก   \(P_{r}=\frac{r}{100}(N+1)\)

เมื่อ N คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด

เราไปดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าครับ

ตัวอย่างที่ 1จากข้อมูลที่กำหนดให้จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 15

10 12 15 20 25 26 28 29 33 34 36 38 40 42 42

วิธีทำ ขั้นตอนแรก ต้องเรียงข้อมูลก่อนเรียงจากน้อยไปหามากนะ

ขั้นตอนที่ 2  หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 15    \(P_{15}=\frac{15}{100}(15+1)=2.4\)

นั่นคือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 15 คือข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 2.4 คืออยู่ระหว่างตำแหน่งที่ 2 กับ 3

เทียบบัญญัติไตรยางค์หาคำตอบเลยครับ

ตำแหน่งห่างกัน 1 (3-2) ข้อมูลต่างกัน 3 (15-12)

ตำแหน่งห่างกัน 0.4 (2.4-2) ข้อมูลต่างกัน  \(\frac{3}{1}\times 0.4=1.2\)

นั่นคือข้อมูลที่ตำแหน่งที่ 2 กับตำแหน่งที่ 2.4 มีค่าต่างกัน 1.2

ดังนั้น ข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 2.4 มีค่าเป็น 12+1.2 =13.2

\(P_{15}=13.2\)    Ans

ตัวอย่างที่ 2  พิจารณาข้อมูลต่อไปนี้

10 5 6 9 12 15 8 18

ค่าของ \(P_{80}\) ใกล้เคียงกับข้อใดต่อไปนี้มากที่สุด (o-net 52)

1. 15.1             2. 15.4           3.  15.7         4. 16.0

วิธีทำ ขั้นแรกนำข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามากก่อนจะได้

5 6 8 9 10 12 15 18

หาตำแหน่งของ   \(P_{80}=\frac{80}{100}(8+1)=7.2\)

นั่นคือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 7.2 ที่อยู่ระหว่างตำแหน่งที่ 7 กับ 8

ตำแหน่งห่างกัน 1 (8-7) ข้อมูลต่างกัน 3 (18-15)

ตำแหน่งห่างกัน 0.2 (7.2-7) ข้อมูลต่างกัน   \(\frac{3}{1}\times 0.2=0.6\)

นั่นคือข้อมูลตำแหน่งที่ 7 และตำแหน่งที่ 7.2 มีค่าต่างกัน 0.6

ดังนั้น เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 = 15+0.6=15.6 ซึ่งมีค่าใกล้เคียง 15.7 ตอบ ตัวเลือก 3

ตัวอย่างที่ 3   คะแนนผู้เข้าสอบ 15  คน เป็นดังนี้

45  54  59  60  62  64  65  68  70  72  73  75  76  80  81 

ถ้าเกณฑ์ในการสอบผ่าน คือ ต้องได้คะแนนไม่ต่ำกว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นคะแนนต่ำสุดของผู้ที่สอบผ่าน

1. 68  คะแนน     2. 70 คะแนน    3. 72 คะแนน   4. 73 คะแนน

วิธีทำ ข้อนี้คือให้ค่า\(P_{60}\) นั่นเอง ทำเหมือนเดิมคับ คือ น้ำข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามากก่อน ดังนี้

45  54  59  60  62  64  65  68  70  72  73  75  76  80  81 

ต่อไป หาตำแหน่งของ   \(P_{60}\)   ซึ่งหาได้จาก

ตำแหน่ง   \(P_{60}=\frac{60(15+1)}{100}=9.6\)

ดังนั้น   \(P_{60}= 70+(2\times 0.6)=71.2 \)    คะแนน   ใครส่งสัยบรรทัดนี้ว่าได้มาอย่างไรไปดูตัวอย่างข้างบนนะคับ

ดังนั้นคะแนนต่ำสุดที่จะสอบแล้วผ่านเกณฑ์คือ 71.2  คะแนน ซึ่งจากตัวเลือกที่ถูกต้องที่สุดคือ

ตอบ ตัวเลือกที่ 3

ตัวอย่างที่ 4  ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จำนวนต่อไปนี้

6  8  9  12  12  15  15  16  18  19  

20  20  21  22  23  24  25  30  30

ควอไทล์ที่ 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซ็นไทล์ที่ 45 เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  เรื่องนี้มีค่าควอไทล์มาเกี่ยวข้องด้วย ต้องมีความรู้เรื่องควอไทล์ด้วย

ข้อนี้เขาถามว่า  \(Q_{3}-P_{45}\)   มีค่าเป็นเท่าไร

หาตำแหน่งของ   \(Q_{3}=\frac{3(19+1)}{4}=15\)

ดังนั้น ควอไทล์ที่ 3 คือข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 15 ไปนับข้อมูลที่โจทย์ให้มาว่าตัวที่ 15 คือเลขอะไร และอย่าลืมว่าต้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อนนะครับ แต่โจทย์เรียงให้แล้วสบายเลย ข้อมูลตัวที่ 15 คือ 23

ดั้งนั้น   \(Q_{3}=23\)

 ต่อไป หาตำแหน่งของ   \(P_{45}=\frac{45(19+1)}{100}=9\)   เปอร์เซ็นไทล์ที่ 45 คือข้อมูลตัวที่  9  นั้่นเอง ไปนับดูเหมือนเดิม

จะได้ว่า  \(P_{45}=18\)

Ans   \(Q_{3}-P_{45}=23-18=5\)    เป็นไงบ้างคับไม่ยากนะตัวอย่างที่ผมยกมาเป็นข้อสอบ o-net เก่า จะเห็นว่าไม่ยากเลย แต่เราต้องรู้คอนเซ็ปของพวก ควอไทล์ เปอร์เซ้นไทล์ว่าเป็นอย่างไร

ตัวอย่างที่ 5  คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 119 คนเป็นดังนี้

คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 56 เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 56 ก่อนครับ  ข้อมูลไม่ต้องเรียงโจทย์ให้มาแล้ว

ตำแหน่งของ  \(P_{56}=\frac{56(119+1)}{100}=67.2 \)         ที่นี้ปัญหามีอยู่ว่าข้อมูลตัวไหนอยู่ที่ตำแหน่งที่ 67.2

ถ้าอยากรู้ก็ต้องนำข้อมูลในตารางที่โจทย์กำหนดให้มาหาความถี่สะสม

และอันตรภาคชั้นที่ 7 ซึ่งมีคะแนนเท่ากับ 70 มีความถี่สะสมเท่ากับ 81

ดังนั้น เปอร์เซ้นไทล์ที่ 56 ต้องมีค่าอยู่ระหว่างสองอันตรภาคชั้นนี้ ดังนั้นคำตอบที่เราได้เราสามารถพยากรณ์ได้คราวๆได้ว่าคำตอบของเรานั้นต้องมีค่าอยู่ระหว่าง 65 กับ 70  แน่นอน  มาคำนวณกันดีกว่าว่า เปอร์เซ้นไทล์ที่ 56 คือตัวอะไร

ตำแหน่งห่างกัน  1 (68-67) ข้อมูลห่างกัน 5 (70-65)

ตำแหน่งห่างกัน 0.2 (67.2-67  ข้อมูลจะห่างกัน   \( 5 \times 0.2 =1\)

ดังนั้นข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่ง 67.2 และข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่ง 67 มีค่าต่างกัน 1

จากตารางที่โจทย์กำหนดให้ข้อมูลที่ตำแหน่งที่ 67 คือ 65

ดั้งนั้นข้อมูลที่อยู่ตำแหน่ง 67.2 เท่ากับ 65+1 = 66

นั่นคือ \(P_{56}=66\)         นั่นเอง

ตั้งใจอ่านนะครับเรื่องนี้เหมือนจะง่ายแต่ต้องเข้าใจคอนเซ็ปพื้นฐานก่อน ถึงจะอ่านและทำแบบฝึกหัดแล้วเข้าใจอย่างไรก็ตามที่อ่านแล้วไม่เข้าใจอย่างไรก็คอมเม้นไว้ได้เดี่ยวจะทำเวอร์ชันวิดีโอให้ดู

ลิงค์นี้เป็นการหาเปอร์เซนไทล์แต่เป็นการหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่อย่างไรก็ลองๆอ่านดูครับผม

ดูตัวอย่างเพิ่มเติมครับ   ผมพิมพ์เพิ่มเรื่อยๆนะครับตามความขยันของตัวเองครับ อย่างไรก็ลองอ่านดูครับ ไม่เข้าใจตรงไหนก็ถามได้ครับ

แบบฝึกหัด โจทย์เปอร์เซนไทล์

1. ข้อมูลเหล่านี้เป็นความสูงของคน 6 คน ได้แก่ 156 , 152 , 157 , 150 , 156 , 159  จงหา \(P_{40},Q_{2},D_{7}\)

วิธีทำ  1. เอาข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปมากก่อนครับ ได้แก่

150,152,156,156,157,159

2. หาตำแหน่งของเปอร์เซนไทล์

ดำแหน่ง \(P_{r}=\frac{r(N+1)}{100}\)

ตำแหน่ง \(P_{40}=\frac{40(6+1)}{100}=2.80\)

ดังนั้น \(P_{40}\)  คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 2.80  ครับซึ่งอยู่ระหว่างข้อมูลตัวที่ 2 และข้อมูลตัวที่ 3

จะเห็นว่าข้อมูลตัวที่ 2 คือ 152

ข้อมูลตัวที่ 3 คือ 156

ดังนั้น คำตอบของเราหรือว่า \(P_{40}\) ย่อมมีค่าอยู่ระหว่าง 152 และ 156 แน่ๆครับ ไปหากันเลยดีกว่า เทียบเอาง่ายๆเลยครับ

ตำแหน่งต่างกัน 1 (3-2) ข้อมูลต่างกัน 4 (156-152)

ตำแหน่งต่างกัน 0.8 (2.80-2)  ข้อมูลจะต่างกัน  \(\frac{4}{1} \times 0.8 =3.2\)

นั่นคือ ข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 2  กับข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 2.80  มีค่าต่างกัน 3.2  ดูรูปประกอบครับ

ข้อมูลตำแหน่งที่ 2  คือ 152

ดังนั้น  ข้อมูลตำแหน่งที่ 2.8 คือ 152+3.2=155.2   ครับ

นั่นคือ     \(P_{40}=155.2 \quad \underline{Ans}\)

ต่อไปก็หา \(Q_{2}\)  ควอร์ไทล์ที่สองโดยความหมายของมันแล้วก็คือข้อมูลที่อยู่ตรงกลางหรือหมายถึงมัธยฐานนั่นเองครับ วิธีการทำ ก็เหมือนเดิมครับ

1. นำข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามากก่อนครับ จะได้

150,152,156,156,157,159

จะเห็นว่าข้อมูลตรงกลางมีสองตัวก็เอาสองตัวนั้น มาเฉลี่ยครับ

\(Q_{2}=\frac{156+156}{2}=156\)

นั่นคือ  \(Q_{2}=156\)

ต่อไปหา \(D_{7}\)  

ทำเหมือนเดิมครับ

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อนครับ จะได้

150,152,156,156,157,159

2.  หาตำแหน่งของ เดไซด์ที่ 7 ครับ

ตำแหน่ง \(D_{7}=\frac{r(N+1)}{10}\)

ตำแหน่ง \(D_{7}=\frac{7(6+1)}{10}=4.9\)

ดังนั้น \(D_{7}\)  คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 4.9  ครับซึ่งอยู่ระหว่างข้อมูลตัวที่ 4 และข้อมูลตัวที่ 5

จะเห็นว่าข้อมูลตัวที่ 4 คือ 156

จะเห็นว่าข้อมูลตัวที่ 5 คือ 157

ดังนั้น คำตอบของเราหรือว่า \(D_{7}\) ย่อมมีค่าอยู่ระหว่าง 156 และ 157 แน่ๆครับ ไปหากันเลยดีกว่า เทียบเอาง่ายๆเลยครับ

ตำแหน่งต่างกัน 1 (5-4) ข้อมูลต่างกัน 1 (157-156)

ตำแหน่งต่างกัน 0.9 (4.9-4)  ข้อมูลจะต่างกัน  \(\frac{1}{1} \times 0.9 =0.9\)

นั่นคือ ข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 4  กับข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 4.9  มีค่าต่างกัน 0.9

ข้อมูลตำแหน่งที่ 4 คือ 156

ดังนั้น

ข้อมูลตำแหน่งที่ 4.9 คือ  156+0.9=156.9

นั่นคือ

\(D_{7}=156.9 \quad \underline{Ans}\)

2. จงหา \(Q_{1},D_{4}\) จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนครับแค่ข้อมูลที่ให้มาเป็นตารางแจกแจงความถี่ หรือถ้าเราเอาข้อมูลมาเขียนเรียงกันก็จะได้ ดังนี้

12,14,14,16,16,16,18,18,18,18,20, 20,20, 20 ,20, 20, 20  22,22,24

และจากตารางเราจะได้ \(N=1+2+3+4+7+2+1=20\)

ถ้าใครเข้าใจแล้วไม่ต้องเขียนเรียงข้อมูลใหม่เหมือนผมก็ได้ดูในตารางเลยครับ เรามาเริ่มทำเลยดีกว่าครับ

หา  \(Q_{1}\)  

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จะได้

12,14,14,16,16,16,18,18,18,18,20, 20,20, 20 ,20, 20, 20  22,22,24

2. หาตำแหน่งของ ควอร์ไทลที่ 1

ตำแหน่ง \(Q_{r}=\frac{r(N+1)}{4}\)

ตำแหน่ง \(Q_{1}=\frac{1(20+1)}{4}=5.25\)

ควอร์ไทล์ที่ 1 คือข้อมูลตำแหน่งที่ 5.25 ครับ

ข้อมูลตำแหน่งที่ 5  คือ 16

ข้อมูลตำแหน่งที่ 6 คือ 16

ดังนั้นข้อมูลตำแหน่งที่ 5.25 ก็คือ 16  ด้วยไม่เชื่อลองคิดตามวิธีที่ผมสอนในข้อที่ 1 ดูครับ

นั่นคือ  \(Q_{1}=16\quad \underline{Ans}\)

 หา \(D_{4}\) 

ก็ทำเหมือนเดิมครับ

1. ก็คือเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก

12,14,14,16,16,16,18,18,18,18,20, 20,20, 20 ,20, 20, 20  22,22,24

2. หาตำแหน่งของ \(D_{4}\)

ตำแหน่ง \(D_{4}=\frac{r(N+1)}{10}\)

ตำแหน่ง \(D_{4}=\frac{4(20+1)}{10}=8.4\)

เดไซด์ที่ 4 คือข้อมูลตำแหน่งที่ 8.4

ข้อมูลตำแหน่งที่ 8 คือ 18

ข้อมูลตำแหน่งที่ 9 คือ 18

ดังนั้น ข้อมูลตำแหน่งที่ 8.4  คือ 18  ด้วย ลองเทียบกันดูเหมือนข้อที่ผ่านมาที่ผมทำให้ดูนะครับ

นั่นคือ \(D_{4}=18\quad \underline{Ans}\)

3. ในการสอบครั้งหนึ่งมีนักเรียน 9 คน ที่ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับหรือน้อยกว่า 25 คะแนน ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับ 25 คะแนนจงหาจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่เข้าสอบ

วิธีทำ  ข้อควรระวังในการทำข้อนี้คือ ข้อมูลที่เขาให้มานี้เราไม่รู้ว่าเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่หรือเป็นข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถี่ ดังนั้นในการทำข้อนี้ให้ใช้วิธีการเทียบบัญญัติไตรยางค์ในการหาคำตอบครับหรือใครคิดไม่ออกดูจากรูปด้านล่างก็ได้ครับ

25% คิดเป็น 9 คน

ถ้า 100% จะคิดเป็น \(\rightarrow \frac{9}{25}\times 100=36\)  คน

4. ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 ของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์เท่ากับ 78 คะแนนและมีนักเรียน 8 คน ที่ได้คะแนนเท่ากับหรือน้อยกว่า 78 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน

วิธีทำ บัญญัติไตรยางค์เอาเลยครับ เพราะเราไม่ไม่รู้ว่าข้อมูลที่เขาให้มาเป็นแบบแจงแจงหรือไม่แจกแจง

40% คิดเป็น 8 คน

60% จะคิดเป็น \(\rightarrow \frac{8}{40}\times 60 =12\)  คน

ดังนั้นคนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนนเท่ากับ 12 คน

ดูรูปประกอบครับ

5. ถ้ามีนักเรียน 20 คน จากนักเรียนทั้งหมด 25 คน ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 92 คะแนน จงหาว่า เปอร์เซ็นไซล์ของคะแนน 92 คะแนนเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับคือเทียบบัญญัติไตรยางค์เอาเพราะเราไม่รู้ว่าข้อมูลที่โจทย์ให้มาเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่หรือไม่แจกแจงความถี่

นักเรียนมีทั้งหมด 25 คน ดังนั้น

นักเรียน 25 คนเป็น 100%

แล้วนักเรียน 20 จะคิดเป็น  \(\rightarrow \frac{100}{25}\times 20=80%\)

นั่นคือ คะแนน 92 คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 หรือก็คือ \(P_{80}=92\)   นั่นเองครับ

ดูรูปประกอบครับ

ต่อไปเรามาดูตัวอย่างข้อสอบ o-net ที่เกี่ยวกับเปอร์เซ็นไทล์กันครับ

1. จาแแผนภาพต้น-ใบของข้อมูลหนึ่งเป็นดังนี้

เปอร์เซ็นไทล์ที่ 86 ของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด [o-net 58]

วิธีทำ  ข้อนี้นอกจากจะหา Percentile(เปอร์เซนไทล์) เป็นแล้วต้องเข้าใจแผนภาพต้น - ใบ ด้วยครับ ไม่ยากครับข้อนี้ไปลองทำกันเลยครับ

ขั้นตอนที่ 1

ต้องเอาข้อมูลมาเรียงจากมากไปหาน้อยก่อนครับ บังเอิญว่าโจทย์เรียงให้เราแล้วครับสังเกตดีๆนะ

ขั้นตอนที่ 2

หาตำแหน่งของ \(P_{86}\) ครับ ซึ่งตำแหน่งหาได้จากสูตร

ตำแหน่ง \(P_{r}=\frac{r(N+1)}{100}\)

เมื่อ \(N\) คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด จากแผนภาพต้น-ใบ จะได้ว่า \(N=39\) จีงได้ตำแหน่งของ \(P_{86}\) คือ

\begin{array}{lcl}P_{86}&=&\frac{86(39+1)}{100}\\P_{86}&=&34.4\end{array}

ดังนั้นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 86 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 34.4 นั่นเองครับ หาต่อเลยจึงได้ว่าเปอร์เซ็นที่ 86 เท่ากับ \(52+0.4=52.4\) การหาค่าตรงนี้ใช้การเทียบบัญญัติไตรยางค์เอาครับใครทำไม่เป็นไปดูที่คลิปข้างบนครับ 

2. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามากดังนี้ 5  10  12  20  x  26  30  42  47  y ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 45 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 26.4  แล้วควอร์ไทล์ที่สองของข้อมูลชุดนีัเท่ากับเท่าใด [o-net 57]

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานเนื้อหานะครับ ระหว่างค่ากลางของข้อมูลกับการวัดตำแหน่งที่ข้อมูล ไม่ยากครับไปทำกันเลยครับ

จาก พิสัย = ข้อมูลสูงสุด -  ข้อมูลต่ำสุด   จึงได้ว่า

\(y-5=45\)

ดังนั้น

\(y=50\)

ต่อไปค่าเฉลี่ย \(\bar{X}=\frac{\sum x}{n}\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{\sum x}{n}\\26.4&=&\frac{5+10+12+20+x+26+30+42+47+y}{10}\\264&=&192+x+y\\264&=&192+x+50\\264&=&242+x\\x&=&264-242\\x&=&22\end{array}

หาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่สอง

ตำแหน่งควอร์ไทล์ที่สองหาได้จากสูตร \(Q_{r}=\frac{r(N+1)}{4}\)  นั่นคือ

\(Q_{2}=\frac{2(10+1)}{4}=5.5\)

ดังนั้นควอร์ไทล์ที่สองคือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 5.5 ครับ จึงได้ว่า

ควอร์ไทล์ที่สองคือ \(22+(4\times 0.5)=24\)  ตรงนี้ใครหาไม่เป็นให้ไปดุที่คลิปข้างบนนะครับเป็นการเทียบบัญญัติไตรยางค์ครับ

3.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน ถ้าควอไทล์ที่หนึ่ง  ควอร์ไทล์ที่สองและควอร์ไทล์ที่สามเท่ากับ 18,25 และ 28 ตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [o-net 50]

1. 23.4
2. 23.7
3. 24.0
4. 24.3

วิธีทำ   ข้อนี้ตอนผมอ่านแรกๆก็งงเหมือนกันคิดหาวิธีไม่ออก ก็เลยเริ่มโดยการเซ็ตให้ข้อมูลชุดนี้ประกอบไปด้วย 5 ตัว ดังนี้

A , B , C , D , E

ต่อไปก็เริ่มโดยการไปหาว่า ควอร์ไทล์ที่หนึ่งเป็นข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งไหน ซึ่งสูตรในหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ใดๆคือ

\[Q_{r}=\frac{r(N+1)}{4}\]

ดั้งนั้น

ตำแหน่งของ ควอร์ไทล์ที่หนึ่งคือ

\(Q_{1}=\frac{1(5+1)}{4}=1.5\)  ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่าง A กับ B   จะเห็นว่าโจทย์บอกว่า \(Q_{1}=18\) เราจึงได้ว่า

\(\frac{A+B}{2}=18\)  นั่นคือ \(A+B=36\)  ครับ

ตำแหน่งของ ควอร์ไทล์ที่สองคือ

\(Q_{2}=\frac{2(5+1)}{4}=3\)   ควอร์ไทล์ที่สองคือข้อมูลตัวที่สาม แสดงว่า \(Q_{3}=C=25\) นั่นเองครับ

ตำแหน่งของ ควอร์ไทล์ที่สามคือ

\(Q_{3}=\frac{3(5+1)}{4}=4.5\) ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่าง D กับ E จะเห็นว่าโจทย์บอกว่า \(Q_{3}=28\) เราจึงได้ว่า

\(\frac{D+E}{2}=28\) นั่นคือ \(D+E=56\) นั่นเองครับ

แต่โจทย์ให้เราหาค่าเฉลี่ยซึ่งก็คือ

\(\frac{A+B+C+D+E}{5}\) นั่นเองครับแทนค่าลงไปเลยจะได้ ดังนี้

\begin{array}{lcl}\frac{A+B+C+D+E}{5}&=&\frac{36+25+56}{5}\\&=&23.4\end{array}

เป็นไงบ้างครับ จริงๆก็ยากเหมือนกันนะต้องหัดทำบ่อยๆครับ ไม่รู้จะเข้าใจกันหรือเปล่าต้องอ่านพวกพื้นฐานเยอะๆนะครับ

4. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยที่ 

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=x_{3}+165\) และ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เท่ากับ 13.5 ถ้า \(x_{1}=8\) และ \(x_{2}=12\) แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เป็นเท่าไร

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต แน่นอนที่ถ้าเรารู้ว่า \(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}\) ว่ามันเท่ากับเท่าไร ก็จะหาค่าเฉลี่ยต่อไปได้ ข้อนี้ก็เริ่มทำจากสิ่งที่โจทย์ให้มาก่อน

จากให้อันนี้มา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=x_{3}+165\) จะได้

\begin{array}{lcl}x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}&=&x_{3}+165\\8+12+x_{3}+\cdots +x_{10}&=&x_{3}+165\\x_{4}+\cdots +x_{10}&=&x_{3}+165-8-12-x_{3}\\x_{4}+\cdots +x_{10}&=&145\end{array}

จากตรงนี้เราได้ว่า \(x_{4}+x_{5}+\cdots +x_{10}=145\)  นั่นก็คือเราเหลือตัวที่ต้องหาอีกหนึ่งตัวคือ เจ้า \(x_{3}\) ถ้าหาตัวนี้ได้งานก็จบครับ ไปหาต่อกันเลย

โจทย์บอกว่า \(P_{25}=13.5\) เราลองไปดูซิว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 นี้มันเป็นข้อมูลที่อยู่แหน่งที่เท่าไร

ตำแหน่ง \(P_{r}=\frac{r(N+1)}{10}\) ดังนั้น

ตำแหน่ง \(P_{25}=\frac{25(10+1)}{10}=2.75\)

ดังนั้น เจ้า 13.5 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 2.75 นั่นเอง

ที่นี้เราก็สามารถนำข้อมูลตรงนี้มาหา \(x_{3}\) ได้

ข้อมูลตำแหน่งที่ 2 หรือว่า \(x_{2}=12\) 

แล้วข้อมูลตำแหน่งที่ 3 หรือว่า \(x_{3}\) จะมีค่าเป็นเท่าไร

ตำแหน่งต่างกัน \(2.75-2=0.75\) ข้อมูลห่างกัน \(13.5-12=1.5\)

ถ้าตำแหน่งต่างกัน \(3-2=1\) ข้อมูลจะห่างกัน \(\frac{1.5}{0.75}=2\)

ดังนั้น ข้อมูล ตำแหน่งที่ 3 และตำแหน่งที่ 2 มีค่าต่างกันอยู่ 2 ทำให้เรารู้เลยว่า \(x_{3}=12+2=14\) นั่นเอง ดูรูปประกอบนะคับ

ตอนนี้เราได้ข้อมูลครบแล้ว สามารถหาค่าเฉลี่ยได้แล้วคับ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+\cdots +x_{10}}{10}\\&=&\frac{8+12+14+145}{10}\\&=&17.9\end{array}

แบบฝึกหัดและหัวอื่นๆที่เกี่ยวข้อง

• Quartile (ควอร์ไทล์)
• ควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
• เดไซล์
• เดไซล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
• เปอร์เซนไทล์
• การหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

เปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่